概率与统计课件之卢第05讲.ppt

1、随机变量离散型随机变量连续型随机变量概率分布函数随机变量函数的分布,第二章随机变量及其分布,1,1.1随机变量,一随机变量的概念,为了更深入地研究随机现象,就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型.引入了随机变量，我们就可以用随机变量的值表示随机试验的结果,2,在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此引入了随机变量的概念,1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）,例如掷一颗骰子，观察出现的点数；观察某天从北京下火车的人数；观察昆虫的产卵数,3,2、此外，还有些试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，可以将试验结果数值化,正如裁

2、判员在运动场上不叫运动员的名字而叫运动员的号码一样，二者之间建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数,4,例1掷一颗骰子,样本空间是,用X表示掷出的点数,称X是随机变量,表示掷出的点数不超过3,是事件,并且,再看两个例子,5,将X视为上的函数,则,是事件,例1（续）,6,例2在一副扑克的52张中任取一张样本空间的每个样本点表示一张扑克,用X表示所取扑克的大小称X是随机变量,表示所取到的扑克是3,7,=草花3,黑桃3,红桃3,方块3,是事件,将X视为样本空间上的函数,则,例2（续）,8,可以看出，上述随机试验的每一个结果都对应着变量X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间

3、上的实值函数:,并且定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件,9,由此看到，随机试验的结果可以用数量来表示，因此引入随机变量的概念,定义1.1,通常将随机变量简记为X,一般用X，Y，Z，等表示随机变量,10,1、随机变量X随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值,2、由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率,说明,11,说明,3、我们用表示事件,即,即,12,4、在许多实际问题中,一个随机变量X的含义是十分清楚的,所以一般不再关心随机变量X在样本空间上是如何定义的.可以认

4、为X的所有取值就是我们的样本空间.只是在必要的时候才将自变元写出来,说明,13,引入了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来,可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点.就象数学分析中常量与变量的区别那样,二随机变量的意义,14,随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究,15,例3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品，现从中取出6件X表示取出6件产品中的次品

5、数则X就是一个随机变量它的取值为0，1，2，6,表示取出的产品全是正品这一随机事件,表示取出的产品至少有一件是次品这一随机事件,16,例4上午8:009:00在某路口观察Y表示该时间间隔内通过的汽车数则Y就是一个随机变量它的取值为0，1，,表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件,注意Y的取值是可列无穷个！,表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件,17,例5观察某生物的寿命（单位：小时）Z表示该生物的寿命则Z就是一个随机变量它的取值为所有非负实数,表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件,表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件,注意Z的取值是不可列无穷个,18,例6

6、掷一枚硬币，令,则X是一个随机变量,注意,在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量,19,例7掷一枚骰子，在例1中，我们定义了随机变量X表示出现的点数.我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义,等等,20,一.离散型随机变量的概念与性质,2.2离散型随机变量,有些随机变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职业;一批产品中次品个数;一个医学试样中白细胞个数;掷两个骰子第一次得到12点的次数;等等,21,定义2.1,如果随机变量X只取有限个值,或可列个值,则称X是离散型随机变量,简称为离散随机变量,离散型随机变量的定义,22,设X是离散型随机变量，称,离散型随机变量的概率分

7、布,定义2.2,为X的概率分布;称是概率分布列,简称为分布列,23,离散型随机变量的概率分布也常常用如下方式表达,24,说明,离散型随机变量可完全由其分布列来刻划.即离散型随机变量可完全由其可能取值以及取这些值的概率唯一确定,分布列具有如下性质,用这两条性质判断一个函数是否是概率分布,25,例1从110这10个数字中随机取出5个数字，X表示取出的5个数字中的最大值.试求X的分布列,即X的分布列为,解:X的取值为5，6，7，8，9，10.并且,26,例2将1枚硬币掷3次，X表示出现的正面次数与反面次数之差.试求X的分布列,解:X的取值为-3，-1，1，3,则X的分布列为,27,例3设离散型随机变

8、量X的分布列为,则,28,例3（续）,29,例4设随机变量X的分布列为,解:由分布列的性质，得,该级数为等比级数，故有,所以,试求常数c,30,例5设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求X的分布列.(信号灯的工作是相互独立的),PX=3=(1-p)3p,可爱的家园,31,解:以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布列为,或写成PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,3PX=4=(1-p)4,例5(续),32,以p=1/2代入，得,例5(续),33,二.几种常用的离散型随机变量,如果X

9、只取0或1，概率分布是,或,则称随机变量X服从参数为p的两点分布,1.两点分布(Bernoulli分布),记作,34,两点分布的概率背景,X表示在一次试验中事件A发生的次数令,记,则,任何一次试验，当只考虑两个互逆的结果A与时，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.就可以用两点分布来描述,35,例615件产品中有4件次品，11件正品，从中任取1件.X表示取出的一件产品中的次品数.则X的取值为0或者1，并且,36,如果随机变量X有如下的概率分布,2.二项分布(Binomial分布),则称X服从参数为n和p的二项分布,记作,37,二项分布的概率分布示意图,38,说明,1.显然，当n=1时

10、,此时，X服从两点分布,这说明，两点分布是二项分布的一个特例,第k+1项,2.称为二项分布的原因是为二项展开式,39,二项分布的概率背景,进行n重贝努里试验，设在每次试验中,X表示在n重贝努里试验中事件A发生的次数,则,40,一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果A或，或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”,再设我们重复地进行n次独立试验(“重复”是指这个试验中各次试验条件相同),每次试验成功的概率都是p，失败的概率都是q=1-p,这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型,n重贝努里试验,41,对同一目标进行n次射击，若每次射击只关心“击中目标”与“

11、未击中目标”两种情况,n重贝努里试验的例子,掷n次硬币，只关心“出现正面”与“出现反面”这两种情况;,掷n颗骰子，如果我们对每颗骰子只关心“出现六点”与“不出现六点”这两种情况;,42,注:贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求,（1）每次试验条件相同；,二项分布描述的是n重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布,（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，,且P(A)=p，,（3）各次试验相互独立.,43,设在n重贝努里试验中,每一个样本点可记作,现考虑事件,分析,44,在n次试验中，指定k次出现A(成功)，其余nk次出现(失败)，这种指定的方法有种,而对于每一种指定好的方法，有,4

12、5,因此,46,用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则,称X服从参数为n和p的二项分布，记作,XB(n,p),47,二项分布的图形,二项分布随机数演示,48,例7一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的.某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？,则答5道题相当于做5重贝努里试验,解:每答一道题相当于做一次试验,则,令X表示该学生靠猜测能答对的题数,49,例7（续）,所以,P至少能答对4道题,50,2.泊松分布(Poisson分布),如果随机变量X有如下的概率分布,记作,其中是常数.,则称X服从参数是的Poisson分布,51,泊松分布的图形,泊松

13、分布随机数演示,52,Poisson分布的应用,电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数;放射物在某一时间间隔内发射的粒子数;容器在某一时间间隔内产生的细菌数,等等.在一定条件下，都是服从Poisson分布的,Poisson分布是概率论中重要的分布之一自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布，例如,53,例81910年,著名科学家Rutherford(罗瑟福)和Geiger(盖克)观察了放射性物质钋放射粒子的情况,他们进行了N=2608次观测,每次观测7.5秒,一共观测到10094个粒子放出,下面的表是观测记录,54,55,用Y表示这块放射性钋在7.5秒内放射出的,粒子数,在N=

14、2608次重复观测中发生的频率和基本相同.见书p42图,表的最后两列表明,事件,其中的Y是服从分布的随机变量，,是7.5秒中放射出粒子的平均数,56,Poisson定理,设在n重贝努里试验中，以代表事件A在一次试验中发生的概率,它与试验总数n有关.若,则,57,Poisson定理的证明(续),对于固定的k，有,得,由,58,Poisson定理的证明(续),所以,59,Poisson定理的应用二项分布与泊松分布关系,由Poisson定理，可知,有,令,则当n比较大，p比较小时,60,上面我们提到,单击图形播放/暂停ESC键退出,61,例9为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备

15、300台，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？,解:设需配备N人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则XB(300，0.01）欲确定最小的N的取值，使得,62,查表可知，满足上式的最小的N是8,因此至少需配备8个工人,例9(续),63,例10设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法:其一，由4人维护，每人负责20台其二，由3人，共同维护80台试比较这两种方法在设备发生故

16、障时不能及时维修的概率的大小,64,解:按第一种方法.以X记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”则XB(20，0.01）,以Ai表示事件“第i人负责的台中发生故障不能及时维修”则80台中发生故障而不能及时维修的概率为,例10(续),65,按第二种方法.以Y记80台中同一时刻发生故障的台数则YB(80,0.01）故80台中发生故障而不能及时维修的概率为,第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题，可以有效地使用人力、物力资源,例10(续),66,解:随机变量X的分布律为,由已知,试求,例11设随机变量X服从参数为的Poisson分布，且已知,67,例11（续）,得,由此得方程,得解,所以,（另一个解不合题意，舍去）,68,4.超几何分布(Hypergeometric分布)H(n,M,N),如果随机变量X有如下的概率分布,则称X服从超几何分布,记作,69,超几何分布的概率背景,一批产品有N件，其中有M件次品，其余N-M件为正品现从中取出n件，X表示取出n件产品中的次品数则X的分布列为,70,如果随机变量X有如下的概率分布,5.几何分布(Geometric分布),则称X服从参数是p的几何分