高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件2 新人教A版必修4.ppt

1、第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角,【知识提炼】1.任意角(1)概念：平面内一条_绕着_从一个位置_到另一个位置所成的图形.(2)要素：,射线,端点,旋转,(3)分类：,逆时针,顺时针,没有,2.象限角,原点,x轴的非负半轴,第几象限角,3.终边相同的角,|=+k360，kZ,整数个,周角,【即时小测】1.判断.(1)终边与始边重合的角是零角.()(2)终边相同的角一定相等()(3)第一象限角一定不是负角.()(4)终边在x轴上的角既是第一象限角也是第二象限角.(),【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k360(kZ)，不一定是零角.(2)错误.如-10与350终边相同，但

2、是不相等.(3)错误.如-330角是第一象限角，但它是负角.(4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限.答案：(1)(2)(3)(4),2.下列各组角中，终边不相同的是()A.60与-300B.230与950C.1050与-300D.-1000与80【解析】选C.A终边相同.因为60-(-300)=360；B终边相同.因为230-950=-2360；C终边不相同.因为1050-(-300)=3360+270D终边相同.因为-1000-80=-3360.,3.请在下表中填空,【解析】因为181=180+1，所以181是第三象限角；因为406=360+46，所以406是第一象限角；因为-750=-

3、2360-30，所以750与-30终边相同，所以750是第四象限角.答案：第三象限角第一象限角第四象限角,4.将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数_.【解析】将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角为35-60=-25，将35角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为35+2360=755.答案：-25755,5.将-885化为+k360(0360，kZ)的形式是_【解析】-885=195+(-3)360.答案：195+(-3)360,【知识探究】知识点1任意角的概念观察图形，回答下列问题：问题1：角的概念是通过什么方式进行推广的？问题2

4、：掌握角的概念应注意角的哪些要素？,【总结提升】1.角的概念的推广(1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转“方向”，得到正角、负角和零角.(2)表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.,2.用旋转来描述角时需要注意的三个要素(1)旋转中心：射线旋转时绕的端点.(2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了.(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360.于是就会出现720，-540等角度.,知识点2象限角与终边相同

5、的角观察图形，回答下列问题：,问题1：定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么？问题2：终边相同的角之间有什么关系？问题3：如何用集合符号表示各象限角、终边落在坐标轴上的角？,【总结提升】1.定义的前提条件(1)研究象限角、终边相同的角时，必须注意前提条件：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合.(2)如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴的非负半轴重合，则没有象限角、终边相同角的概念.,2.象限角的集合表示,3.对终边相同的角的说明所有与角终边相同的角，连同角在内(而且只有这样的角)，可以用式子+k360，kZ表示.在运用时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能

6、漏掉.(2)是任意角.(3)k360与之间用“+”号连接，如k360-30应看成k360+(-30)(kZ).(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.,【拓展延伸】终边落在坐标轴上的角的集合表示,【题型探究】类型一与任意角有关的概念的辨析【典例】1.给出下列说法：(1)终边在y轴非负半轴上的角是直角.(2)始边相同而终边不同的角一定不相等.(3)三角形的内角必是第一、二象限角.(4)第四象限角一定是负角.(5)|=k180，kZ=0，180，360.,其中正确说法的个数是()A.1B.2C.3D.42.将分针拨快10分钟，则分针所转过的

7、度数为_.,【解题探究】1.典例1中，直角、三角形的内角、负角的大小分别是多少度？象限角是如何定义的？提示：直角是度数为90的角、三角形的内角是大于0小于180的角、负角是小于0的角.角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限就是第几象限的角.2.典例2中，分针的旋转方向是顺时针和逆时针？提示：分针的旋转方向是顺时针.,【解析】1.选A.(1)错误.-270是终边在y轴非负半轴上的角但不是直角.(2)正确.相等的角始边相同则终边必相同，所以始边相同而终边不同的角一定不相等.(3)错误.三角形的内角可以是直角，它既不是第一象限角，也不是第二象限角.(4)错误.如271是第四象

8、限角，但不是负角.(5)错误.0，180，360|=k180，kZ,2.将分针拨快10分钟，分针顺时针旋转60，所以分针所转过的度数为-60.答案：-60,【方法技巧】1.角的表示的技巧(1)通常用希腊字母，等表示，如“角”或“”，也可以简化为“”.(2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“”)，如“AOB”.(3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负.,2.判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.,【变式训练】射线OA绕端点

9、O顺时针旋转80到OB位置，接着逆时针旋转250到OC位置，然后再顺时针旋转270到OD位置，则AOD=_.,【解析】如图：AOD=AOB+BOC+COD=(-80)+250+(-270)=-100.答案：-100,类型二终边相同的角的表示和应用【典例】1.(2015成都高一检测)若角与的终边垂直，则与的关系是()A.=+90B.=90C.=k360+90，kZD.=k360+90，kZ,2.在与10030角终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角.(2)360720内的角.,【解题探究】1.典例1中，角的终边如何旋转后与终边相同？提示：角的终边顺(逆)时针旋转90后与终边相同.2

10、.典例2中，与10030终边相同的角如何表示？计算所求角的关键是计算什么？提示：与10030终边相同的角可表示为10030+k360，kZ.计算所求角的关键是确定整数k.,【解析】1.选D.因为角与的终边垂直，所以+90或-90与的终边相同，所以=k360+90，kZ.,2.与10030角终边相同的角的一般形式为=10030+k360(kZ).(1)由10030+k3600.得k360-10030，所以又kZ，故所求的最大负角为=-50.(2)由36010030+k360720，得-9670k360-9310，又kZ，解得k=-26.故所求的角为=670.,【方法技巧】1.在0到360范围内找

11、与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角化成k360+的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止.,2.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.,【变式训练】1.与-463终边相同的角可以表示为()A.k360+463(kZ)B.k360+103(kZ)C.k360+257(kZ

12、)D.k360-257(kZ)【解析】选C.因为-463=257-2360，所以与-463终边相同的角可以表示为k360+257(kZ).,2.(2015江陵高一检测)已知角，的终边相同，那么-的终边在()A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上D.y轴的非正半轴上【解题指南】由角，的终边相同可得，=k360+(kZ)，由此可求-并得到其终边位置.,【解析】选A.因为角，的终边相同，所以=k360+(kZ)，所以-=k360(kZ)，所以-的终边在x轴的非负半轴上.,【补偿训练】已知=-1910.(1)把写成+k360(kZ，0360)的形式，指出它是第几象限的角.(2)求

13、，使与的终边相同，且-7200.【解析】(1)方法一：作除法运算，注意余数必须非负，得：-1910360=-6250，所以=250-6360，它是第三象限的角.,方法二：设=+k360(kZ)，则=-1910-k360(kZ)，令-1910-k3600，解得kk的最大整数解为k=-6，求出相应的=250，于是=250-6360，它是第三象限的角.,(2)令=250+k360(kZ)，取k=-1，-2就得到符合-7200的角.250-360=-110，250-720=-470.故=-110或-470.,类型三象限角与区间角的表示【典例】1.(2015九江高一检测)2016是第_象限角.()A.一

14、B.二C.三D.四2.(2015宿州高一检测)如图，分别写出符合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上.(2)终边落在直线OA上.(3)终边落在阴影区域内(含边界).,【解题探究】1.典例1中，2016如何改写为+k360，kZ的形式？提示：2016=216+5360.2.典例2中射线OA，OB分别可看作哪个角的终边？阴影区域第三象限的部分的边界分别可看作哪个角的终边？提示：典例2中射线OA，OB分别可看作30，60角的终边.阴影区域第三象限的部分的边界分别可看作210，240角的终边.,【解析】1.选C.2016=216+5360.216是第三象限角，所以2016也是第三象限角.2.(

15、1)终边落在射线OB上的角的集合为：|=60+k360，kZ.,(2)终边落在直线OA上的角的集合为：|=30+k360，kZ|=210+k360，kZ=|=30+2k180，kZ|=30+(2k+1)180，kZ=|=30+k180，kZ.,(3)终边落在第一象限阴影区域内(含边界)的角的集合为：|30+k36060+k360，kZ，终边落在第三象限阴影区域内(含边界)的角的集合为：|210+k360240+k360，kZ，终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：|30+k36060+k360，kZ|210+k360240+k360，kZ=|30+2k18060+2k180，kZ|30+(

16、2k+1)18060+(2k+1)180，kZ=|30+k18060+k180，kZ.,【延伸探究】1.(变换条件)若将典例2图中直线OA改为虚线，其他条件不变，第(3)问的结果如何？【解析】改为虚线说明不含此边界，终边落在阴影区域内的角的集合为：|30+k18060+k180，kZ.,2.(改变问法)若在典例2(3)中第三象限阴影区域内，试画出角的终边所在的阴影区域.【解析】因为210+k360240+k360，kZ，所以105+k180120+k180，kZ，所以角的终边所在的阴影区域如图所示.,【方法技巧】表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由

17、小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中-360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区域角集合.,【补偿训练】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.,【解析】设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成.|k360+30k360+105，kZ.|k360+210k360+285，kZ.所以角的集合应当是集合与的并集：|k360+30k360+105，kZ|k360+210k360+285，kZ=|2k180+302k180+105，kZ|(2k+1)180+30(2k+1)180+105，kZ,=|2k180+302k1

18、80+105或(2k+1)180+30(2k+1)180+105，kZ=|k180+30k180+105，kZ.,【延伸探究】1.(改变问法)本题条件下，写出终边落在阴影部分的角的集合的补集(全集为任意角构成的集合).【解析】结合图形可知，所求集合为|k180-75k180+30，kZ.,2.(增加条件，改变问法)设终边落在阴影部分的角为，试画出角+80的终边所在的阴影区域.【解析】因为+80|k180+110+80k180+185，kZ，所以角+80的终边所在的阴影区域如图所示.,易错案例判断角的终边所在区域【典例】已知为第三象限角，则终边所在的象限是_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？提示：错误的根本原因是对k180+90k180+135，kZ表示的平面区域判断出错.实际此平面区域包括第二象限和第四象限两部分.,【自我矫正】因为为第三象限角，所以k360+180k360+270，kZ，所以k1