高数历年考试题分类5 1定积分应用

1、高数专题复习 公众号：MathXM95 定积分应用定积分应用 1616 年试题年试题 10椭圆曲线 2 2 1 4 x y围成的平面图形绕x轴 旋转一周而成的旋转体体积V 解析: 2 22 2 22 8 (1) 43 x x Vy dxdx 1515 年试题年试题 求由曲线求由曲线cos2yxx和直线和直线0,0yx及及 4 围围 成的平面图形的面积。成的平面图形的面积。 解：所求面积：解：所求面积： 4 0 cos2Axxdx （2 2 分）分） 444 0 00 11 sin2( sin2sin2) 22 xdxxxxdx （4 4 分）分） 4 0 11 2 8484 os x 高数专题

2、复习 公众号：MathXM95 1515 年试题年试题 函数函数 3 2 2 ( ) 3 f xx （1 1）求曲线）求曲线( )yf x上相应于上相应于01x的弧段的弧段 长度长度S； （2 2）求由曲线）求由曲线( )yf x和直线和直线0 x ，1x 及及 0y 围成的平面图绕围成的平面图绕x轴旋转而成的旋转体体轴旋转而成的旋转体体 积积 x V。 （6 6 分）分） 1515解解： （1 1） 3 1 2 0 1 22 1(1)(2 21) 033 Sxdxx （3 3 分）分） （2 2） 1 34 0 1 4 0999 x Vx dxx 1313 年试题年试题 9 9已知平面图形已

3、知平面图形 1 ( , )1,0Gx y xy x ， 将图形将图形G绕绕x轴旋转一周而成的旋转体体积轴旋转一周而成的旋转体体积 V 。 2 1 1 1 ( )Vdx xx 高数专题复习 公众号：MathXM95 1313 年试题年试题 2020已知已知( )f x是定义在区间是定义在区间0 ，上的非负可上的非负可 导函数，且曲线导函数，且曲线( )yf x与直线与直线00yx，及及 (0)xt t围成的曲边梯形的面积为围成的曲边梯形的面积为 2 ( )f tt。 （1 1）求函数）求函数( )f x； （2 2）证明：当）证明：当0 x 时，时， 3 2 ( ) 3 x f xx。 2020

4、 （1 1）由题意知）由题意知 2 ( )( ) 0 t f x dxf tt ，两边，两边 对对t求导数得：求导数得：( )( )2f tf tt，且，且(0)0f， 由由( )( )2fxf tt解得解得 ( )( 2)( 2) dtdt tt f tetedtCete dtC ( 22)22 tttt eteeCtCe 。 由由(0)20fC 得得2C ， 所以所以( )2222(1) tt f tteet ， 故故( )2(1) (0) x f xexx； （2 2）设）设 3 2 ( )( )(0) 3 x F xf xxx， 则则 2 ( )2(1)2 x F xexx， ( )2

5、2 22(1)( )0 (0) xx F xexexf xx 高数专题复习 公众号：MathXM95 ，所以，所以( )F x在在(0)，内单调递增，因此，当内单调递增，因此，当 0 x 时时， 有有( )(0)0F xF， 由此可知由此可知( )F x在在 (0)，内单调递增，故当内单调递增，故当0 x 时，有时，有 ( )(0)0F xF， 即即 3 2 ( )( )0 3 x F xf xx， 所以所以 3 2 ( ),(0) 3 x f xxx。 1111 年试题年试题 1919过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线 x ye的切线的切线l，切线切线l与与 曲线曲线 x ye及及y轴围成的平

6、面图形标记为轴围成的平面图形标记为 G G，求求： （1 1）切线切线l的方程的方程； （2 2）G G 的面积的面积； （3 3）G G 绕绕x轴轴 旋转而完成的旋转体体积。旋转而完成的旋转体体积。 1919解解： （1 1）过原点作曲线）过原点作曲线 x ye的切线的切线l，设，设 切点为切点为 0 0 (,) x x e， 则有则有 0 0 0 x x e e x ，即，即 0 1x ， 因此切点因此切点(1, ) e， 故切线故切线l的方程为的方程为(1)yee x，即，即yex。 （4 4 分）分） （2 2）如图，平面图形）如图，平面图形 G G 的面积为的面积为 1 0 () x

7、 Seex dx 高数专题复习 公众号：MathXM95 （6 6 分）分） 2 1 ()1 02 x exe e x （8 8 分）分） （3 3）G G 绕绕x轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积 11 222 00 x Ve dxe x dx （1010 分）分） 22 2 11 002362 x ee ex 。 1010 年试题年试题 8 8 由曲线由曲线 1 y x 和直线和直线1,2xx及及0y 围成的围成的 平面图形绕平面图形绕x轴旋转一周所的旋转体体积轴旋转一周所的旋转体体积V 高数专题复习 公众号：MathXM95 解析解析: : 2 2 2 1 1 1 ( ) 2

8、Vdx xx 0909 年试题年试题 1919用用 G G 表示由曲线表示由曲线lnyx及直线及直线1xy， 1y 围成的平面图形。围成的平面图形。 （1 1）求）求 G G 的面积；的面积； （2 2）求求 G G 绕绕y轴旋转一周而成的旋转体的体轴旋转一周而成的旋转体的体 积。积。 1919. . 【解析【解析】 （1 1） 1 0 (1) y Aeydy = = 21 0 11 ()1 1 22 y eyye 3 . 2 e （2 2） 11 22 00 (1) y Ve dyydy = = 213 1 00 (1) 23 y ey = = 2 5 . 26 e 高数专题复习 公众号：M

9、athXM95 0707 年试题年试题 1616. .设平面图形由曲线设平面图形由曲线 3 yx与直线与直线0y 及及 2x 围成，求该图形线围成，求该图形线 y y 轴旋转所得的旋转体轴旋转所得的旋转体 体积。体积。 1616. .【解析】如图【解析】如图 1 1 所示，所求旋转体的体积为所示，所求旋转体的体积为 2 88 2 3 00 2 y Vdyy dy 8 0 5 3 364 32 55 y . . 0606 年试题年试题 9 9曲线曲线 x ye及直线及直线0 x ，1x 和和0y 所围成所围成 平面图形绕平面图形绕x轴旋转所成的旋转体体积轴旋转所成的旋转体体积 V V = =。 0404 年试题年试题 8 8 曲线曲线 1 ,2yyx x x 所围成的图形面积为所