双曲线及其标准方程(教师)

1、第3节 双曲线及其标准方程 三点剖析：一、 教学大纲及考试大纲要求：1掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力；3初步会按特定条件求双曲线的标准方程； 4理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）； 二重点与难点教学重点：标准方程及其简单应用教学难点：双曲线标准方程的推导及待定系数法解二元二次方程组三.本节知识理解. 1.知识框图名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面

2、内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数的关 系 （符合勾股定理的结构）， 最大，（符合勾股定理的结构）最大，可以2.要点诠释（1）双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 在同样

3、的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关（2）双曲线的标准方程的特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为（3）.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的

4、，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上精题精讲【例1】 判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值 （）分析：双曲线标准方程的格式：平方差，项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是；项的系数是正的，那么焦点在轴上，项的分母是解：是双曲线， ； 是双曲线， ；是双曲线， ； 是双曲线， 【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点p到的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程 解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,) 所求双曲线标准方程为 【例3】 已知双曲线的焦点在轴上，中心在原点，且点，在此双曲线上，求双曲线的标准方程分析：由于已知焦点在轴上，中心在原点，所

5、以双曲线的标准方程可用设出来，进行求解 本题是用待定系数法来解的，得到的关于待定系数的一个分式方程组，并且分母的次数是2，解这种方程组时利用换元法可将它化为二元二次方程组；也可将的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组 解：因为双曲线的焦点在轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为 （）则有 ，即解关于的二元一次方程组，得 所以，所求双曲线的标准方程为 【例4】 点a位于双曲线上，是它的两个焦点，求的重心g的轨迹方程 分析：要求重心的轨迹方程，必须知道三角形的三个顶点的坐标，利用相关点法进行求解 注意限制条件 解：设的重心g的坐标为，则点a的坐标为因为点a位于双曲线上，从而有，即所以，的

6、重心g的轨迹方程为 点评：求轨迹方程，常用的方法是直接求法和间接求法两种 例1是直接利用待定系数法求轨迹方程 本题则是用间接法(也叫代入法)来解题，补充本例是为了进一步提高学生分析问题和解决问题的能力 另外本题所求轨迹中包含一个隐含条件，它表现为轨迹上点的坐标应满足一个不等关系，而这一点正是学生容易忽略，造成错误的地方，所以讲解本题有利于培养学生数学思维的缜密性，养成严谨细致的学习品质 【例5】 已知的底边bc长为12，且底边固定，顶点a是动点，使，求点a的轨迹分析：首先建立坐标系，由于点a的运动规律不易用坐标表示，注意条件的运用，可利用正弦定理将其化为边的关系，注意有关限制条件解：以底边bc

7、 为轴，底边bc的中点为原点建立坐标系，这时，由得,即 所以，点a的轨迹是以为焦点，2=6的双曲线的左支 其方程为：点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的 【例6】一炮弹在某处爆炸，在a处听到爆炸声的时间比在b处晚2s(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知a、b两地相距800m，并且此时声速为340 ms，

8、求曲线的方程分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到在a处听到爆炸声的时间比b处晚2s,这里声速取同一个值 解：(1)由声速及a、b两处听到爆炸声的时间差，可知a、b两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以a、b为焦点的双曲线上因为爆炸点离a处比离b处更远，所以爆炸点应在靠近b处的一支上(2)如图，建立直角坐标系，使a、b两点在轴上，并且点o与线段ab的中点重合设爆炸点p的坐标为，则 |pa|pb|=3402=680，即 2680，340又|ab|=800， 2c=800，c=400，44400 |pa|pb|6800， 0所求双曲线的方程为 （0）例2说明，利用两个不同

9、的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置如果再增设一个观测点c，利用b、c(或a、c)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置这是双曲线的一个重要应用想一想，如果a、b两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上（爆炸点应在线段ab的中垂线上）点评：本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力【例7】求下列动圆圆心m的轨迹方程:(

10、1)与c:(x+2)2+y2=2内切，且过点a（2，0）（2）与c1：x2+(y-1)2=1和c2:x2+(y+1)2=4都外切.（3）与c1:(x+3)2+y2=9外切，且与c2:(x-3)2+y2=1内切.分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离.如果相切的c1、c2的半径为r1、r2且r1r2，则当它们外切时，|o1o2|=r1+r2;当它们内切时，|o1o2|=r1-r2.解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程.解：设动圆m的半径为r(1)c1与m内切，点a在c外|mc|=r-,|ma|=r,|ma|-|mc|=点m的轨迹是以c、a

11、为焦点的双曲线的左支，且有：a=,c=2,b2=c2-a2=双曲线方程为2x2-=1(x-)(2)m与c1、c2都外切|mc1|=r+1,|mc2|=r+2,|mc2|-|mc1|=1点m的轨迹是以c2、c1为焦点的双曲线的上支，且有：a=,c=1,b2=c2-a2=所求的双曲线方程为：4y2-=1(y)(3)m与c1外切，且与c2内切|mc1|=r+3,|mc2|=r-1,|mc1|-|mc2|=4点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支，且有：a=2,c=3,b2=c2-a2=5所求双曲线方程为：(x2)评述：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题的常用而重要的方法.（2

12、）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量.（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标.【例8】已知双曲线的右焦点分别为f1、f2，点p在双曲线上的左支上且|pf1|pf2|=32，求f1pf2的大小.分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形.解：点p在双曲线的左支上|pf1|-|pf2|=6|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=36|pf1|2+|pf2|2=100|f1f2|2=4c2=4(a2+b2)=100f1pf2=90评述：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化

13、.（2）题目的“点p在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点p在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索.【例9】已知f1、f2是双曲线的两个焦点，点p在双曲线上且满足f1pf2=90，求f1pf2的面积.分析：利用双曲线的定义及f1pf2中的勾股定理可求f1pf2的面积.解：p为双曲线上的一个点且f1、f2为焦点.|pf1|-|pf2|=2a=4|f1f2|=2c=2f1pf2=90在rtpf1f2中|pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2=20（|pf1|-|pf2|）2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=1620-2|pf1|pf2|=1

14、6|pf1|pf2|=2s|pf1|pf2|=1由此题可归纳出sf1pf2=b2cot评述：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用.基础达标：1.选择题（1）已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是（ ）a.3k9 b.k3c.k9 d.k3答案：c（2）方程x2+(k-1)y2=k+1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是 （ ）a.k-1 b.k1c.-1k1 d.k-1或k1答案：c（3）方程表示焦点在坐标轴上的双曲线，则是第几象限的角（ ）a.二 b.四 c.二或四 d.一或三答案：c（4）椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是 （ ） a b c 5 d 9答案：b（

15、5）设是双曲线的焦点，点p在双曲线上,且,则点p到轴的距离为( ) a 1 b c 2 d 答案：b 的面积为，从而有（6）p为双曲线上一点，若f是一个焦点，以pf为直径的圆与圆的位置关系是（）a 内切 b 外切 c 外切或内切 d 无公共点或相交答案：c （7）“ab0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（ ）a.必要但不充分条件b.充分但不必要条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件【解析】 若ax2+by2=c表示双曲线，即=1表示双曲线，则0,这就是说“ab0”是必要条件，然而若ab0,c可以等于0，即“ab0”不是充分条件.【答案】 a（8）方程=1表示双曲线，则k（ ）a

16、.(5，10)b.(，5)c.(10，+)d.(，5)(10，+)【解析】 方程=1表示双曲线，(10k)(5k)0，5k10.【答案】 a（9）在双曲线中，,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）a.x2=1b.y2=1c.x2=1d.y2=1【解析】 把椭圆的方程写成标准方程=1，椭圆的焦点坐标是(，0).双曲线与椭圆有相同的焦点，双曲线的焦点在x轴上，且c=,a=2,b2=c2a2=1,双曲线的方程为y2=1.【答案】 b（10）已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线经过点a（2，-）及点b（-，4），则双曲线的方程为（ ）a.=1 b.=1 c.=1 d.=

17、1【解析】双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为my2-nx2=1(m0,n0).把a、b两点的坐标代入得解之得【答案】d2.填空题（1）已知双曲线的焦点f1（-4，0），f2（4，0），且经过点m（2，2）的双曲线标准方程是_.答案：（2）双曲线的焦点在x轴上，且经过点m（3，2）、n（-2，-1），则双曲线标准方程是_.答案：（3）已知是双曲线的焦点，pq是过焦点的弦，且pq的倾斜角为600，那么的值为（答案： 416）（4）焦点在x轴上，中心在原点且经过点p（2，3）和q（7，6）的双曲线方程是_.【解析】 依题意可设双曲线方程为：=1(a0,b0)，即，解得双曲线的方程为=1【答案】

18、=1（5）p是双曲线x2y2=16的左支上一点，f1、f2分别是左、右焦点，则|pf1|pf2|=_.【解析】 由x2y2=16知a=4又p在双曲线x2y2=16的左支上|pf1|pf2|=2a=8即|pf1|pf2|=8.【答案】 83解答题（1）判断方程所表示的曲线。解：当时，即当时，是椭圆；当时，即当时，是双曲线；（2）求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点a（-5，2）的双曲线的标准方程。答案： （3）求经过点和，焦点在y轴上的双曲线的标准方程答案：（4）根据下列条件，求双曲线的标准方程.（a）过点p（3，），q（-，5）且焦点在坐标轴上.（b）c=,经过点（-5，2），焦

19、点在x轴上.（c）与双曲线有相同焦点，且经过点（3，2）解：（1）设双曲线方程为p、q两点在双曲线上解得所求双曲线方程为评述：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的.注意：此种设法在本书教案8.1.2备课资料例1的（1）小题已经用过，我们不难发现对于椭圆与双曲线，这种设法都可以用.（2）焦点在x轴上，c=设所求双曲线方程为(其中06)双曲线经过点（-5，2）=5或=30（舍去）所求双曲线方程是评述：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.（3）设所求双曲线方程为：(016)双曲线过点（3，2）=4或=-14（舍）所求双曲线方程为评述：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲

20、线系方程为后，便有了以上巧妙的设法.（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面.综合发展：1.已知点f1（0，-13）、f2（0，13），动点p到f1与f2的距离之差的绝对值为26，则动点p的轨迹方程为（ ）a.y=0 b.y=0(x-13或x13) c.x=0(|y|13) d.以上都不对【解析】|pf1|-|pf2|=|f1f2|，p点的轨迹为分别以f1、f2为端点的两条射线.【答案】c2.在方程mx2my2=n中，若mn0，则方程的曲线是（ ）a.焦点在x轴上的椭圆b.焦点在x轴上的双曲线c.焦点在y轴上的椭圆d.焦点在y轴上的双曲

21、线【解析】 把方程mx2my2=n写成标准方程=1mn0,0,0.方程表示焦点在y轴上的双曲线.【答案】 d3.已知点p（x，y）的坐标满足=4，则动点p的轨迹是（ ）a.椭圆 b.双曲线 c.两条射线 d.以上都不对【解析】点（1，1）与（-3，-3）的距离为44，p的轨迹是双曲线.【答案】b4.已知双曲线的方程为=1,点a、b在双曲线的右支上，线段ab经过双曲线的右焦点f2，|ab|=m,f1为另一焦点，则abf1的周长为（ ）a.2a+2mb.4a+2mc.a+md.2a+4m【解析】 a、b在双曲线的右支上，|bf1|bf2|=2a,|af1|af2|=2a,|bf1|+|af1|(|

22、bf2|+|af2|)=4a|bf1|+|af1|=4a+mabf1的周长为4a+m+m=4a+2m.【答案】 b5.已知双曲线的焦距为26，=,则双曲线的标准方程是（ ）a.=1b.=1c. =1d.=1或=1【解析】 2c=26,=,c13，a225.b2=13225=144.双曲线的标准方程为=1或=1.【答案】 d6.f1、f2为双曲线y2=1的两个焦点，点p在双曲线上，且f1pf2=90,则f1pf2的面积是（ ）a.2b.4c.8d.16【解析】 双曲线y2=1的两个焦点是f1(0，)、f2(0，)，f1pf2=90,pf12+pf22=f1f22.即pf12+pf22=20 pf

23、1pf2=2，pf122pf2pf1+pf22=4 得2pf1pf2=16，=pf1pf2=4.【答案】 b7.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x2y+20=0上，两焦点关于原点对称，则此双曲线的方程是（ ）a.=1b.=1c.=1d.=1【解析】 在方程5x2y+20=0中，令x=0得：y=10，双曲线的一个焦点在直线5x2y+20=0上又在y轴上，且两焦点关于原点对称，c=10,a=6,b2=c2a2=10036=64.双曲线的方程为=1，即=1.【答案】 d8.已知abc中，b、c是两个定点，并且sinb-sinc=sina，则顶点a的轨迹方程是（ ）a.双曲线 b.椭圆 c

24、.双曲线的一部分 d.椭圆的一部分【解析】由正弦定理得|ac|-|ab|=|bc|.b、c为定点，|bc|为常数.点a的轨迹是双曲线的一部分.【答案】c9.双曲线2x2y2=k的焦距是6，求k的值.【解】 把双曲线的方程写成标准形式，=1.当k0时，a2=,b2=k，由题知+k=9即k=6.当k0时，a2=k,b2=,k=9即k=6综上所述k=6为所求.10.过双曲线=1的一个焦点作x轴的垂线，求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离.【解】 双曲线方程为=1c=13,于是焦点f1（13，0）、f2（13，0），设过点f1的垂直于x轴的直线l交双曲线于a(13,y)(y0).,y=,即|af1|=又

25、|af2|af1|=2a=24,|af2|=24+|af1|=24+=故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为或.11.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点a（-2，-3）、（7，6），求双曲线的方程.【解】当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的方程为mx2-ny2=1(m0,n0)，则由题知解之得双曲线的方程为=1.当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为py2-qx2=1(p0,q0)，则此方程组的解使p、q都为负值，故应舍去.综上所述，所求双曲线的方程为=1.12.已知曲线c：x2y21及直线l：y=kx1.(1)若l与c有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与c交于a、b两

26、点，o是坐标原点，且aob的面积为，求实数k的值.【解】 (1)由消y，得(1k2)x22kx20由得k的取值范围为（，1）（1，1）（1，）（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），由（1）得x1x2，x1x2又l过点d(0，1)oaboadobdx1x2x1x2（x1x2）2（2）2即（）2k0或k=.13.已知双曲线=1，p为双曲线上一点，f1、f2是双曲线的两个焦点，并且f1pf2=60，求f1pf2的面积.【解】|f1f2|2=4c2=4(24+16)=160.在f1pf2中，由余弦定理得|f1f2|2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|=160.|pf1|2+|pf2|2-|pf1|pf2|=160. 又|pf1|-|pf2|=2，|pf1|2-2|pf1|pf2|+|pf2|2=96. -得|pf1|pf2|=64.=|pf