第一章习题课

1、1 第一章函数与极限 典型例题 教学要求 习 题 课 2 一、教学要求一、教学要求 1. 理解函数的概念理解函数的概念. 2. 了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性了解函数奇偶性、单调性、周期性和有界性. 3. 理解复合函数的概念，理解复合函数的概念， 4. 掌握基本初等函数的性质及其图形掌握基本初等函数的性质及其图形. 5. 会建立简单实际问题中的函数关系式会建立简单实际问题中的函数关系式. 6. 理解极限的概念理解极限的概念. 7. 掌握极限四则运算法则掌握极限四则运算法则. 了解反函数的概念了解反函数的概念. 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 3 8. 了解两个极限存在准则

2、了解两个极限存在准则, 9. 了解无穷小、无穷大了解无穷小、无穷大, 10. 理解函数在一点连续的概念理解函数在一点连续的概念. 11. 了解间断点的概念了解间断点的概念,并会判定间断点的并会判定间断点的 12. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续了解初等函数的连续性和闭区间上连续 会用等价无穷小求极限会用等价无穷小求极限. 概念概念. 类型类型. 函数的性质函数的性质. 以及无穷小的阶的以及无穷小的阶的 会用两个重要极会用两个重要极 限求极限限求极限. 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 4 .)(coslim )1ln( 1 0 2 x x x 求 2003年考研题年考研题 二、

3、典型例题二、典型例题 例例 5 例例.) sin1 tan1 (lim 3 1 0 x x x x 求求 解解 原式原式 3 1 0 sin1 sintan 1 lim x x x xx 3 1 0 lim x x )1 sin1 tan1 ( x x 1 )1( sin1 sintan 1 lim 0 x xx x xx x sintan sin1 3 1 sin1 sintan xx xx 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 6 3 0 1 sin1 sintan lim xx xx x 3 0 1 )sin1(cos )cos1(sin lim xxx xx x x x x s

4、in lim 0 2 1 11 . 2 1 e 原式原式 )sin1(cos 1 lim 0 xx x 2 0 cos1 lim x x x 2 1 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 例例. 求求 解解: x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x xx x sin 1e e2 lim 4 34 0 e 1 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 x x x x x sin e1 e2 lim 4 1 0 1 原式原式 = 1 注意此项含绝对值注意此项含绝对值 2000年考研题年考研题 8 例例, 3) 1 1 (lim 2 bax

5、x x x 已知已知. ba、求常数求常数 解解 原极限原极限= 1 1)()1( lim 2 x bxabxa x 3 01 a 3 ab 1 a 4 b 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 9 例例 , 1 lim)( 2 12 为连续函数为连续函数设设 n n n x baxx xf . ba、求求 解解 )(xf 1| x 1| x 1 x 1 x bax x 1 )1( 2 1 ba )1( 2 1 ba ,)(连续连续xf )01( f)01( f)1( f即即 1 ba )1( 2 1 ba ,1时时 x 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 10 )(xf 1

6、| x 1| x 1 x 1 x bax x 1 )1( 2 1 ba )1( 2 1 ba ,)(连续连续xf )01( f)01( f)1(f 即即 1 ba )1( 2 1 ba ,1时时 x 1 ba )1( 2 1 ba 得得 , 0 b1 a 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 11 例例. 1|1| 1 2 cos )(的连续性的连续性讨论讨论 xx xx xf 解解改写成改写成将将)(xf )(xf .),1,()(内连续内连续在在显然显然 xf 11 xx 2 cos 1 x1 x 1 xx 1 ),1 , 1( ), 1( 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习

7、题课 12 ,1时时当当 x )(lim 1 xf x )1(lim 1 x x 2 )(lim 1 xf x 2 coslim 1 x x 0 )(lim 1 xf x ,1)(间断间断在在故故 xxf )(xf 11 xx 2 cos 1 x 1 x 1 xx 1 且为且为第一类第一类间断点间断点.跳跃跳跃 )(lim 1 xf x 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 13 ,1时时当当 x )(lim 1 xf x 2 coslim 1 x x 0 )(lim 1 xf x )1(lim 1 x x . 0 )(lim)(lim 11 xfxf xx .1)(连续连续在在故故

8、xxf .), 1()1,()(连续连续在在 xf )(xf 11 xx 2 cos 1 x 1 x 1 xx 1 )1(f 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 14 bxaxxxp 23 2)( . 1,0 ab xxxxp 23 2)( 求求 设设 ba, ( (其中其中 得得 故故 )0(xx 例例 解解 是多项式是多项式, ,且且设设 为待定系数为待定系数) ) 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 )(xp baxxxxp 23 2)( 15 例例 ,等价无穷小等价无穷小 是是与与时时已知当已知当1cos1)1( ,0 3 1 2 xxx . 求常数求常数 解解1

9、1cos 1)1( lim 3 1 2 0 x x x 1)1( 3 1 2 x 1cos x 原极限原极限= 2 2 0 2 1 3 1 lim x x x 2 3 1 3 2 , 3 1 2 x 2 2 1 x 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 16 32 xx 是是x的几阶无穷小的几阶无穷小? ? 解解则则 因因 故故 6 1 k 例例 k x x xx 3 2 0 lim 3 0 k x xx x 32 0 lim k 1 第一章第一章函数与极限函数与极限习题课习题课 时，时，当当0x 阶无穷小，阶无穷小，的的设其为设其为kx , 0C x xx x 32 0 lim k 3 2 3 3 2 1 0 )1 (limxx k x k x x 6 1 0 lim 3 2 3 0 )1 (limx x 17 有无穷间断点有无穷间断点 0 x及可去间断点及可去间断点, 1 x 为无穷间断点为无穷间断点, , )1)( lim 0 xax be x x 所以所以 be xax x x )1)(