高数第一章极限存在准则.ppt

1、二、两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,第六节,机动目录上页下页返回结束,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,1.夹逼准则(准则1)(P50),证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,机动目录上页下页返回结束,例1.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,机动目录上页下页返回结束,例2.设,证:利用夹逼准则.,而,令,机动目录上页下页返回结束,，求,例,解,由夹逼准则得,函数极限与数列极限的关系及夹逼准则,1.函数极限与数列极限的关系,定理1.,有定义,为确定起见,仅讨论,的情形.,有,机动目录上页下页返回结束,定理1.,有定义,且,设,即,当

2、,有,有定义,且,对上述,时,有,于是当,时,故,可用反证法证明.(略),有,证：,当,机动目录上页下页返回结束,定理1.,有定义,且,有,说明:此定理常用于判断函数极限不存在.,法1找一个数列,不存在.,法2找两个趋于,的不同数列,及,使,机动目录上页下页返回结束,例1.证明,不存在.,证:取两个趋于0的数列,及,有,由定理1知,不存在.,机动目录上页下页返回结束,2.函数极限存在的夹逼准则,定理2.,且,(利用定理1及数列的夹逼准则或直接由极限的定义可证得),机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,例2.求,解:注意到当,时,从而,当,时,由夹逼准则,另外,当,时,同样由夹逼准

3、则,可见,圆扇形AOB的面积,二、两个重要极限,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,故有,注,注目录上页下页返回结束,当,时,注,两个重要不等式,注目录上页下页返回结束,(1)对于任何的,都有,(2)当,时,有,在这两个不等式中,等号只有在,时成立。,例3.求,例4.求,机动目录上页下页返回结束,例5.求,例6.已知圆内接正n边形面积为,证明:,证:,说明:计算中注意利用,机动目录上页下页返回结束,单调增加,单调减少,单调数列,准则II.（单调有界法则）,单调有界数列必有极限。,(证明略),机动目录上页下页返回结束,几何解释:,例3,证,极限存在.,显然,(1),是单调

4、增加的;,(2),是有界的;,存在.,(舍去),(3),极限存在.,解得,几个常用式子,(1),(2),(3)三角函数恒等变换,(4)牛顿二项式公式：,例6.设,证明数列,极限存在.(P53P54),证:利用二项式公式,有,机动目录上页下页返回结束,大,大,正,又,比较可知,机动目录上页下页返回结束,根据准则2可知数列,记此极限为e,e为无理数,其值为,即,有极限.,原题目录上页下页返回结束,又,无理数,单调有界数列必有极限,2.,证:当,时,设,则,机动目录上页下页返回结束,当,则,从而有,故,时,令,机动目录上页下页返回结束,注：2.,注：3.,当x实数趋向或时,的极限都存在且等于e。,函

5、数,注：1.可证明,“以1加非零无穷小为底,指数是无穷小的倒数,其极限为数e”.,该极限的特点:,(2)括号中1后的变量(包括符号)与幂互为倒数.,若极限呈,但第二个特点不具备,通常凑指数幂使(2)成立.,这个重要极限应灵活的记为:,则,例7.求,解:令,则,说明：若利用,机动目录上页下页返回结束,则,原式,例8.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,例9.求,解:原式=,例10.求,解:令,则,原式,例10.求,解:原式=,机动目录上页下页返回结束,练习.求,练习.求,练习.,练习.,准则,单调并且有界,设函数f(x)在点x0的某个右邻域内,则f(x)在点x0,右极限,必定存在.,单调有界数列必有极限.,函数极限也有类似的准则.,对于自变量的,不同变化过程,准则有不同的形式.,后备内容,*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理)(P55),数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数N,使当,时,证:“必要性”.,设,则,时,有,使当,因此,“充分性”证明从略.,有,柯西目录上页下页返回结束,的不同数列,内容小结,1.函数极限与数列极限关系的应用,(1)利用数列极限判别函数极限不存在,(2)数列极限存在的夹逼准则,法1找一个数列,且,使,法2找两个趋于,及,使,不存在.,函数极限存在的夹逼准则,数列极限存在的单调有