29 数学思想、方法应用篇7探索性问题

1、 网络课程 内部讲义 探索性问题探索性问题 1 教 师：苗金利 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 1 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 探索性问题探索性问题 1 一、知识要点一、知识要点 1数学问题由条件、结论、解题依据、解题方法等因素构成。条件的不完备，结论的不唯一， 解题方法的多样性是数学开放题的基本特殊。目前高考多为：题目本身没有给出明确的结论，由考生 自己通过探索、归纳、猜想

2、出结论，并证明结论的正确性。此类试题具有覆盖面广、综合性强，对学 生分析问题和解决问题的能力要求较高等特点。 2探索性问题的常见类型有： （1）条件追溯型： 这类题的外在形式是结论确定，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断，基本 解题策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件。 （2）结论探索型： 这类问题的特征具有条件而无结论，或结论的正确与否需要确定。基本解题策略是探索结论而后 论证结论。 （3）存在判断型： 这类问题是指判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图型、函数等）是否存在，或某一 结论是否成立的探索性问题。基本解题策略是：假

3、设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可 其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯 定结论的证明。 （4）方法探究型： 这里指的是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题， 难度较高的构 造法即属此类型。基本解题策略是在探究过程中，需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，运用类 比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。 3解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用， 对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力均有较高要求。 常用的思想方法有：直接法；观察猜测证明；赋值法，逆

4、推反证法，分类讨论法；数形 转化；类比联想；实验归纳等方法。 www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 2 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 二、例题分析：二、例题分析： 例 1， 是两个不同的平面，m，n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断： Am n B Cn Dm 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明。 例 2记函数 f (x)的定义域为 D，若存在 0 xD,使 f (x0) = x0成立，则称以（x0,

5、 x0）为坐标的点为函 数 f (x)图象上的不动点。 （1）若函数 3 ( ) xa f x xb + = + 图象上有两个相异的关于原点对称的不动点，求 a, b 应满足的条件。 （2）在（1）的条件下，若 a = 8，记函数 f (x)图象上的两个不动点分别为 A、A，P 为函数 f (x) 图像上的另一点，且其纵坐标 yp 3，求点 P 到直线 AA的距离的最小值及取得最小值时 P 点的坐标。 （3）下述命题“若定义在 R 上奇函数 f (x)图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否 正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例。对于偶函数，又有怎样的结论？ www.J“在线名

6、师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 3 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 例 3已知数列 n a，其中 1 11 1,3,(2) n nn aaan = （1）求数列 n a的通项公式。 （2）设函数 * 3 ( )log ()() 9 n n a f anN=，数列 n b的前 n 项的和为 f (n)，求数列 n b的通项公式； （3）数列 n b的前 n 项和 Sn. 例 4已知 n a是递增数列，其前n项和为 n S， 1 1a ，且10(21)(2) nnn Saa=+， * nN （）求数列 n a的通项 n a； （） 是否存在 * , , m n kN， 使得2() mnk aaa+=成立？若存在， 写出一组符合条件的, ,m n k的 值；若不存在，请说明理由； （）设 3 2 nn n ba =， 2(