立体几何解答题

1、立体几何解答题一、解答题1如图，在直三棱柱中， ，点为棱的中点求证：(1) 平面； (2)平面平面 2如图，在四棱锥中，底面是菱形， ， 平面， 是的中点， 是的中点（）求证： 平面（）求证：平面平面3如图，在四棱锥中， 底面， ， ， ， 为的中点. （1）求证： 平面；（2）过点作交于点，求证： 平面.4如图，平行四边形中， ，将沿折起到的位置，使平面平面.（1）求证： （2）求三棱锥的侧面积.5如图，正方体中， 分别是的中点.（1）求证： 平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值.6如图，三棱锥中，,，为中点，为中点，且为正三角形。（）求证： /平面；（）求证： 平面；（）若, ，求三棱锥

2、的体积。7如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱平面， 、分别是， 的中点， 求证：（）平面（）平面8如图，在四棱锥P-ABCD中,AB平面PAD,DC/AB，DC=2AB,E为棱PA上一点.（1）设O为AC与BD的交点, 若PE=2AE, 求证:OE/平面PBC；（2）若DEAP, 求证：PB DE9如图，在直三棱柱中， ，点是的中点求证：（1）；（2）平面10如图， 是正方形， 是正方形的中心， 底面， 是的中点，求证：（1）平面；（2）平面.11如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.(1) 证明：AE平面PCD； (2

3、) 求PB和平面PAD所成的角的大小.12如图在正方体中ABCD-A1B1C1D1中，（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；（2）求直线D1B与底面ABCD所成角的正弦值；（3）求二面角D1-AC-D大小的正切值.参考答案1（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）与平面内的平行，所以平面.（2）通过证明 ， 可得平面结合平面， 可得平面平面试题解析：（1）在三棱柱中， ， 又平面， 平面， 所以平面 （2）在直三棱柱中， 平面，又平面，所以 因为，所以又因为点为棱的中点，所以 又 ， 平面，所以平面 又平面，所以平面平面点睛：本题第一问考查的是直线与平面平行的判定。通过证明平面外的直

4、线与平面内的直线线平行，从而证明线面平行。寻找线线平行的一般办法有：一、利用三角形中位线定理，二、利用平形四边形的性质;三、利用两直线都垂直于同一平面，两直线平行;四、利用线面平行的性质等。2(1)见解析; (2)见解析【解析】试题分析：（1）取中点点，连，可证得四边形是平行四边形，得，根据线面平行的判断定理可得平面（2）连，由菱形可证得；由平面，可得，从而证得平面，由面面垂直的判断定理可得结论。试题解析：（1）证明：取中点点，连， 、分别是， 中点， ， 。 四边形是平行四边形， ， 平面， 平面， 平面（）连， 在菱形中， ， 为等边三角形， 是中点， ，又平面， 平面， ， ，平面，又

5、平面， 平面平面3(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析： 取的中点，连结，得出四边形为平行四边形，由此能证明平面由，判断平面，得到，结合已知和线面平行的判定定理求得。解析：（1）取的中点，连结四边形为平行四边形平面（2）. 平面平面4（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（I）证明：在中，由，所以又平面平面平面平面平面平面平面（）解：由（I）知从而在中， 又平面平面平面平面 ，平面而平面综上，三棱锥的侧面积， 考点：面面垂直的性质点评：两面垂直，其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另外一面5（1）见解析；（2）【解析】试题分析：如图，以点为坐标原点，向量分别作为轴的正方向，建立空

6、间直角坐标系设正方体棱长为.（1）设平面的法向量，由得，再由，即可证得；（2）由计算得异面直线与所成角的余弦值.试题解析：如图，以点为坐标原点，向量分别作为轴的正方向，建立空间直角坐标系设正方体棱长为，则， ， ， ， ， （1）设平面的法向量，则，即，不妨取， ，即平面； （2），即异面直线与所成角的余弦值为6（）见解析；（）见解析；（） .【解析】试题分析： 由三角形的中位线定理得到线线平行，即，所以要证平面,只需要证明，（因为平面）即可。运用等边三角形的性质和中位线定理，证得平面，再由线面垂直的性质得结合即可得证(3)运用等体积法计算三角形的面积和，即可得到解析：（）为， 为中点，, 而

7、平面， 平面平面 （）为正三角形，且为中点。又由（）知， 又已知 平面, 平面， 又 平面, 平面， （）又， 又而平面 点睛：要证线面垂直，根据线面垂直的判定定理就要证一条直线与两条相交直线垂直，本题运用中位线定理转化证得结果，在求三棱锥体积时采用等体积法，转化顶点和底面，找出或者计算出简单的高与地面面积求结果。7（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）取中点，连结， ，由中位线定理可知， 进而得平行四边形，即可证得；（2）取得中点，连结， ，由中位线定理可证得四边形是平行四边形，进而证得， ， ， 进而可得线面垂直.试题解析：（1）取中点，连结， ，、分别为、中点，且为矩形，

8、，为平行四边形，面， 面，面（）证明：取得中点，连结， ，、分别是、的中点，平行且等于，平行且等于，四边形是平行四边形， 是的中点，平面， 平面，平面8（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）只需证得OE/PC，即可证得OE/平面PBC；（2）因为AB平面PAD， DE平面PAD， 所以ABDE，即可证得DE平面PAB，从而得证.试题解析：（1）在AOB与COD中，因为DC/AB,DC=2AB， 所以AOCO=ABCD=12，又因为PE=2AE，所以在APC中,有AOCO=AEPE=12，则OE/PC.又因为OE平面PBC，PC平面PBC，所以OE/平面PBC （2）因为AB平面P

9、AD， DE平面PAD， 所以ABDE.又因为APDE,AB平面PAB,AP平面PAB,APAB=A，所以DE平面PAB， PB平面PAD，所以DEPB.9（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用为直三棱柱，证明AC，利用AB2=AC2+BC2，说明ACCB，证明AC平面，推出AC（2）设=E，说明E为的中点，说明DE，然后证明平面试题解析：（1）（2）设BC1与B1C交点为O，连结OD，考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系10（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）连接，利用中位线有即可证得线面平行；（2）由于底面是正方形，故，而，故平面.试题解

10、析：证明：（）连接，在中， ，又平面， 平面.平面.（）底面， 平面， ，又四边形是正方形， ，平面， 平面.11(1)详见解析(2) 45.【解析】试题分析：(1) 要证明AE平面PCD，只要证明AEPC，结合AECD，即可证明结论；(2) 求PB和平面PAD所成的角的大小，说明APB就是要求的角即可求解试题解析：(1)证明 在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.1分 由条件CDAC，PAACA，2分 CD平面PAC.3分又AE平面PAC，AECD.4分由PAABBC，ABC60，可得ACPA.5分E是PC的中点，AEPC.6分 又PCCDC，综上得AE平

11、面PCD.7分(2)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.8分又ABAD，PAADA，则 AB平面PAD，9分 故PB在平面PAD内的射影为PA，则APB为PB和平面PAD所成的角.10分 在RtPAB中，ABPA，故APB45.11分所以PB和平面PAD所成的角的大小为45.12分考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质12(1) 60; (2)33; （3）2.【解析】试题分析：（1）连接AC，AD1，AD1C即为BC1与CD1所成角；（2）DD1平面ABCD，D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角；（3）连接BD交AC于

12、O，则DOAC，D1OD为二面角D1ACD的平面角.试题解析：（1）连接AC，AD1，如图所示：BC1AD1，AD1C即为BC1与CD1所成角，AD1C为等边三角形，AD1C=60，故异面直线BC1与CD1所成的角为60；（2）DD1平面ABCD，D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，在RtD1DB中，sinD1DB=直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为；（3）连接BD交AC于O，则DOAC，根据正方体的性质，D1D面AC，D1DAC，D1DDO=D，AC面D1OD，ACD1O，D1OD为二面角D1ACD的平面角设正方体棱长为1，在直角三角形D1OD中，DO=，DD1=1，tanD1OD=点睛：（1）求两条异面直线所成角的关键是作为这两条异面直线所成角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条一条直线平移与另一条相交相交或是将两条异面