黑体辐射定律

1、基尔霍夫热辐射定律基尔霍夫热辐射定律(Kirchhoff s Law of Thermal Radiation)是德国物理学家古斯塔夫基尔霍夫(Gustav Kirchhoff)在1859年提出的一种传热定律，用来描述物体的发射率和吸收率之间的关系。一般来说，用于辐射研究的黑体模型等于1(=1)，而实际物体的吸收率小于1(10)。基尔霍夫热辐射定律给出了实际物体的辐射发射率和吸收率之间的关系。m是实际物体的发射率，Mb是相同温度下黑体的发射率。发射率定义为所以=。因此，在热平衡条件下，物体对热辐射的吸收率恒定等于相同温度下的发射率。对于扩散灰体，物体对热辐射的吸收率总是等于相同温度下的发射率，

2、不管它是否处于热平衡。不同层次的表达对于定向光谱，基尔霍夫热辐射定律表示为对于半球空间的光谱，基尔霍夫热辐射定律表示如下基尔霍夫热辐射定律表示为是纬度角，是经度角，是光谱的波长，t是温度。参考杨士明，陶文铨。传热学 .北京：高等教育出版社，2006: 356-379。王一鸣。量和单位规范用法辞典 .上海：上海词典出版社普朗克黑体辐射定律普朗克定律描述了不同温度下黑体辐射的光谱。在物理学中，普朗克黑体辐射定律(简称普朗克定律或黑体辐射定律)(英文：Plancks定律，黑体辐射定律)是一个公式，用来描述黑体发射的电磁辐射的发射率与任何温度下的电磁辐射频率之间的关系.这里辐射率是频率的函数1:该功能

3、在hv=2.82kT 2时达到峰值。如果写成波长的函数，单位立体角的发射率是3请注意，这两个函数有不同的单位：第一个函数描述单位频率间隔内的发射率，第二个函数描述单位波长间隔内的发射率。因此，和并不等同。它们之间有以下关系：通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换：电磁波的波长与频率的关系是4普朗克定律有时以能量密度谱的形式写成5:这是指单位频率单位体积的能量，单位为焦耳/(立方米赫兹)。独立于频率的能量密度可以通过对整个频域进行积分来获得。黑体的辐射场可以看作光子气体，此时的能量密度可以由气体的热力学参数决定。能量密度谱也可以写成波长的函数频域中普朗克定律(绿色)、韦

4、恩定律(蓝色)和瑞利-詹金斯定律(红色)的比较表明，韦恩定律在高频区与普朗克定律一致，瑞利-詹金斯定律在低频区与普朗克定律一致。马克斯普朗克于1900年建立了黑体辐射定律公式，并于1901年发表了该公式6。目的是改进威廉韦恩提出的韦恩近似(至于描述黑体辐射的另一个公式：瑞利-詹金斯定律由瑞利勋爵和詹金斯爵士提出，其建立时间略晚于普朗克定律)。这表明由瑞利-詹金斯公式引起的“紫外线灾难”不是普朗克建立黑体辐射定律的动机(见下面的描述)。Wayne的近似在短波范围内与实验数据符合得很好，但在长波范围内偏差很大。瑞利-詹金斯公式正好相反。普朗克公式与整个波段的实验结果一致。在推导过程中，普朗克考虑了

5、根据物质中带电振子的不同振动模式来分配电磁场的能量。普朗克公式的前提是，这些振荡器的能量只能取一些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且与频率成正比。这是普朗克的能量量子化假说，它比爱因斯坦的光子概念早至少五年提出来解释光电效应。然而，普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身是一种具有离散能量的量子化光束。他认为这种量子化只适用于封闭区域形成的空腔中的微小振子(即构成物质的原子)。在半经典语言中，束缚态必然导致量子化。普朗克没有对这个量子化假说给出更多的物理解释。他只相信这是一种数学推导方法，可以使理论和实验数据符合整个频带范围。然而，普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光

6、子假说最终成为量子力学的基石。衍生物下面的推论不是普朗克最初的推论(来源5)，需要用到电动力学、量子力学和统计力学的相关概念。考虑一个填充有L边长电磁辐射的立方体：根据经典电动力学，立方体壁表面的边界条件是电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。与束缚态粒子的波函数相似，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期本征函数的线性叠加，每个本征函数的波长在垂直于立方体壁面的三个方向上分别为1、2和3这是一个非负整数。每组值有两个线性独立的解(两个不同的模数)。根据量子力学中的谐振子理论，任何模式下的系统能级都是量子数可以看作立方体中的光子数，两种不同的模式对应于光子的两种偏振态。注意，当光子数为零时，

7、能级不为零，并且该电磁场的真空能量是量子效应，这是卡西米尔效应的原因。接下来，当光子数在温度为零时，我们计算真空状态下系统的内能。根据统计力学，特定模式中不同能级的概率分布由以下公式给出这里分母是系统在特定模式下的划分函数，它可以归一化概率分布。对于常规的合奏，有这里我们定义单光子的能量为系统的平均能量与配分函数的关系是这个公式是玻色-爱因斯坦统计的一个特例。由于光子是玻色子，在任何能级上光子的数量都没有限制，系统的化学势为零。系统的总能量是所有可能的单光子态的平均能量之和。考虑到在热力学极限下，立方边长L趋于无穷大，然后单光子能量近似为一个连续值，我们可以通过将平均能量与单光子的连续能量积分

8、得到系统的总能量，这需要我们首先确定在任何给定的能量范围内有多少个光子态。假设在能级总和处的单光子态的总数为(这里是所谓的光子能态密度，其具体表达式需要单独计算)，系统的总能量为为了计算态的光子能量密度的表达式，我们重写方程(1)这是向量的模每个矢量应该有两个光子态。换句话说，在给定的由向量组成的希尔伯特空间中，光子态的总数是这个空间体积的两倍。一个小的能量间隔对应于这个希尔伯特空间中一个薄球壳的厚度。由于矢量的分量不能是负的，能量间隔实际上只能对应于薄球壳总体积的1/8(这是因为矢量有三个分量，每个分量为正的概率是1/8)。因此，能量间隔中光子态的总数为将这个表达式代入方程(2)，我们得到请

9、注意，三次方是立方体积，所以能量密度的表达式可以直接获得并写成频率的谱函数。其间这是黑体辐射的能谱密度，其含义是单位体积中单位频率的能量。如果写为波长的函数，其间这是黑体辐射能量密度谱的另一种形式，其含义是每单位体积每单位波长的能量。在玻色或费米气体的情况下，需要多重对数函数展开来积分这个函数。但是在这里我们可以通过初等函数得到一个近似形式，并在数学中做代换。因此，积分变量可以写成如下表达是这个整合结果将在下面的附录中解释。因此，立方体中电磁场的总能量可由下式获得这里是立方体体积(注意：这个表达式不是斯特凡-玻尔兹曼定律，它的意思不是单位时间内单位表面积上理想黑体辐射的总能量，见斯特凡-玻尔兹

10、曼定律条目)。因为辐射是各向同性的，并且以光速传播，所以能量的发射率(每单位时间每单位表面积每单位立体角每单位频率辐射的能量)为从而得出普朗克黑体辐射定律历史参见：光子、能量均分定理和紫外线灾难许多流行的量子理论科普读物，甚至一些物理教科书，在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。尽管40多年前物理学史上的研究人员已经指出了这些错误的概念，但事实证明它们仍然难以消除。部分原因可能是普朗克量化能量的最初动机不能用几句话来解释，而且在现代人的眼中，这个原因相当复杂，因此外人不容易理解7。丹麦物理学家胡庆炉克拉夫发表了一篇文章，清楚地解释了这种错误是如何发生的。“紫外灾难”:在经典统计理论

11、中，能量均分定理预言黑体辐射的强度将在紫外区扩散到无穷远，这与事实严重相反。首先，普朗克没有量化电磁波，尽管普朗克给出了量化电磁波能量表达式，这可以在他1901年的论文和他在本文中引用的早期文献中看到6。他还在他的书热辐射理论(热辐射理论)中明确解释了量子化公式中的普朗克常数(现代量子力学中的基本常数)只是一个适用于赫兹振荡器的普通常数。第一个在理论上真正提出光量子的人是爱因斯坦，他在1905年成功地解释了光电效应。他假设电磁波本身具有量子化能量，携带量子化能量的最小单位叫做光的量子。1924年，萨特扬德拉纳特玻色发展了光子的统计力学，从而从理论上推导出普朗克定律的表达式。另一个误解是普朗克发

12、展这一定律的动机不是试图解决“紫外线灾难”。“紫外线灾难”这个名称是由保罗艾伦菲斯特在1911年提出的，比普朗克定律晚了十年。紫外灾害是指当经典统计力学的能量均分定理应用于空腔中的黑体辐射(也称为空腔辐射或空腔辐射)时，系统的总能量会在紫外区发散并趋于无穷大，这显然与现实不符。普朗克自己从来不相信能量平均分配定理会永远成立，所以他没有意识到黑体辐射中有任何“灾难”。然而，仅仅五年后，随着爱因斯坦、瑞利勋爵和基思爵士的发现，这个问题变得尖锐起来。附录参见：黎曼函数和函数有一个简单的方法来计算下面的积分我们可以先用代换公式中的来计算一般形式的积分。因为分母总是小于1，我们可以通过展开把它写成收敛的

13、几何级数。这是几何级数的求和公式。等号左边的表达式是右边的求和结果，右边的几何级数的公比是。以便获得表达式的乘法相当于变成，所以我们在求和符号中给序列号加1，并取消原来的：通过变量代换，我们得到积分公式并进一步写成也就是说，以上公式形式的积分是收敛的。我们把和的部分移出积分：前面的求和系数是黎曼函数，后面的积分是函数。所以我们得到一个普遍的关系：或等同于对于我们需要的积分，积分公式的分子是，所以我们把它代入上面的方程。我们在这里使用它和(见黎曼函数和函数的相关性质)。斯特凡-玻尔兹曼定律斯特凡-玻尔兹曼定律，又称斯特凡定律，是热力学中一个众所周知的定律。其内容是：单位时间内单位面积黑体表面辐射

14、的总能量(称为物体的辐射率或能量通量密度)j*与黑体本身的热力学温度T(也称为绝对温度)的四次方成正比，即：其中辐射率j*具有功率密度(能量/(时间距离2)的维度，国际单位制的标准单位是焦耳/(秒平方米)，即瓦特/平方米。绝对温度的标准单位是开尔文，开尔文是黑体的发射率。如果它是绝对黑色的，那么。比例系数被称为斯特凡-玻尔兹曼常数或斯特凡常数。它可以从自然界中其他已知的基本物理常数中计算出来，所以它不是一个基本物理常数。该常数的值为：因此，由温度为100 K的绝对黑体的表面辐射的能量通量密度为5.67瓦/平方米，温度为1000 K的黑体的能量通量密度为56.7千瓦/平方米，依此类推。斯特凡-玻

15、尔兹曼定律是一个典型的幂律。该定律分别由斯洛文尼亚物理学家约瑟夫斯特凡和奥地利物理学家路德维希玻尔兹曼于1879年和1884年独立提出。在提出的过程中，斯特凡总结了实验数据，而玻尔兹曼从热力学理论中推导出与斯特凡的结论相同的结论，假设光(电磁波辐射)代替气体作为热机的工作介质。1879年3月20日，斯特凡在维也纳科学院的会议报告中首次公布了这一法律，标题为工作与温度(论热辐射与温度的关系)。这是唯一以斯洛文尼亚命名的物理定律。这个定律只适用于黑体这样的理想辐射源。斯特凡-玻尔兹曼定律的推导斯特凡-玻尔兹曼定律可以通过将普朗克黑体辐射定律应用于黑体表面上每个点的辐射光谱强度，然后将辐射进入的半球

16、空间表面上的结果和所有可能的辐射频率进行积分来方便地获得。在该公式中， 0黑体表面上的点的辐射进入的半球形空间表面(以辐射点为球心)是电磁波能量，其频率为单位时间辐射的黑体表面的单位面积的频率和温度t下的单位立体角。该公式包括余弦因子，因为黑体辐射在几何上严格符合朗伯余弦定律。将几何微量元素关系d=sin () d d代入上述公式并积分得到：(关于频率的玻色积分项的计算方法，请参考条目的多重对数函数)日表面温度在提出这个定律后，斯特凡用它来估算太阳的表面温度。当时，法国人查尔斯索雷特(1854 -1904)通过实验测量出，太阳发射到地球上的能量通量密度大约是加热金属板表面辐射的能量通量密度的29倍。如果将适当尺寸的圆形金属板放置在测量仪器前面适当的距离处，则可以认为测量仪器接收到的金属板发出的辐射角度与太阳光的角度基本相同。Sorett测量的金属板表面温度在1900至2000之间。Stefan推测，太阳照射地球的能量的三分之一被地球大气层吸收(当时没有公认的测量数据表明大气吸收电磁辐射)，因此实际接收的太阳辐射强度计算为29.3/2=金属板辐射强度的43.5倍。金属板的表面温度，斯特凡，取1950的中间值，即2200 K，如索列特所预测的。由于43.