高数历年考试题分类2 0求导

1、高数专题复习 公众号：MathXM95 求导 06 年试题 设函数 2 1 sin ( )2 x dy y xdx ，求。 解: 2 2 2 1111 sin ( )2sincos() 12 =sin xxxx xx (2 )2 ln2 xx ， 2 2 1 sin ( )2 1 sin ( )(2 ) x x dy dxx x 2 12 sin2 ln2 x xx 高数专题复习 公众号：MathXM95 05 年试题 已知 2 2 ln arctan1 1 x yx x ，求 y 解: 2 2 ln (arctan1 1 x yx x 22 2 22 1 11 ln 1 1 111 xxx

2、x x xx 2 2 222 2 ln 21 21 1 211 x x x x x xxx x 3 2 2 ln 1 xx x 04 年试题 若(sincos ), x dy yexx dx 则。 高数专题复习 公众号：MathXM95 高阶导数 15 年试题 设ln 1 x x e y e ，求 0 y x 解：ln(1), x yxe 1 1, 11 x xx e y ee 2 (1) x x e y e ， 故 1 04 y x 14 年试题 设 2 arcsin1yxxx,求 0 x y 高数专题复习 公众号：MathXM95 12解： 2 2 arcsin 1 x yx x ， 3

3、2 2 2 12 1 (1) y x x 0 3 x y 11 年试题 已知函数( )f x的1n阶导数 (1)2 ( )ln( 1) nxx fxee ，求 ( ) (0) n f。 解： ( )2 2 2 ( )(ln( 1) 1 ( 1) 1 nxx xx xx fxee ee ee 2 222 1 () 111 xx x xxxx ee e eeee ， 高数专题复习 公众号：MathXM95 （5 分） ( ) 1 (0) 2 n f。 （6 分） 09 年试题 已知函数( )f x的导数 2 ( )ln(1)fxxx，求 (1) f 。 【 解 析 】 2 2 2 2 ( )ln(

4、1) 1 x fxx x ， 23 222222 24 (1)424 ( ) 1(1)1(1) xxxxxx fx xxxx (1)2 f . 07 年试题 设 22 cosln 1yxx，求二阶导数 y 。 高数专题复习 公众号：MathXM95 【解析】 22 12 2cos sinsin2 2 11 xx yxxx xx . 2 22 1 2cos2 (1) x yx x 05 年试题 8.设函数 2 ( )ln 2 x f x x ， 则(1) f = 隐函数求导法 16 年试题 12求曲线 2 32 xy xye在点(0,1)处的切线 方程 12.解：等式两边对x求导得： 6()0

5、xy dydy xeyx dxdx 高数专题复习 公众号：MathXM95 0 1 (1)6 6 ,1 1 xyxy xy x xy y dy xexye dx dyxyedy dxxedx 故曲线在点(0,1)处切线方程为1(0)yx ， 即1yx 13 年试题 求由方程 2 ln x xyyye所确定的隐函数在 0 x 处的导数 0 x dy dx 。 方法一 等式两边对x求导数得： 2 ()ln2 x yxyyxyye， 即 2 (1ln )2ln x yxxyeyy ， 高数专题复习 公众号：MathXM95 所以 2 2ln 1ln x dyeyny y dxxxy 。 又因为0 x

6、 时，1y ，故 0 2 x dy dx 。 方法二 设 2 ( )ln x F xxyyye，则 2 ln2 x x Fyye ，ln1 y Fxyx ， 所以 22 ln22ln ln1ln1 xx x y Fdyyyeeyy dxFxyxxyx 。 又因为0 x 时，1y ，故 0 2 x dy dx 07 年试题 设函数( )yy x由方程 23 arcsinln0 x xyey确定，求 0 x dy dx 。 高数专题复习 公众号：MathXM95 【解析】将0 x 代入方程 23 arcsinln0 x xyey得： 3 00 ()11 xx yy 方程 23 arcsinln0

7、x xyey两边对x求导数 得： 22 2 1arcsin ln230 1 x x dydy yey ydxdx x . 将 0 0,1 x xy 代入上式得： 00 2 230 3 xx dydy dxdx 06 年试题 函数( )yy x是由方程 22y exy所确定的 隐函数，求 dy dx 在点（1，0）处的值 【解析】方法一：将方程 22y exy两边对x 高数专题复习 公众号：MathXM95 求导数得 22 22 2 y xyy e y xy ， 则 22 () y y exyyx 2 22 y y dyxx y dxey exyy 0 1 1 y x dy dx 05 年试题

8、设函数( )yy x是由方程 22 arctanln y xy x 所确定的隐函数，求 dy dx 。 【解析】解法一：设 22 ( , )arctanln y F x yxy x ，则 高数专题复习 公众号：MathXM95 2222 112 ( , ) 2 1 x yx x y xxy y x F 22 xy xy 222 1112 ( , ) 2 1 y y x y xxy y x F 22 xy xy 故 , , x y Fx ydy dxFx y xy xy （xy） 方 法 二 ： 方 程 22 arctanln y xy x 可 写 为 22 1 arctanln() 2 y x

9、y x 视( )yy x，上式两边对x求导得 高数专题复习 公众号：MathXM95 2222 11 22 2 1 xyyxyy xxy y x ， 即 2222 xyyxyy xyxy ， 所以()y xyxy，推出 dyxy y dxxy （xy） 04 年试题 求由方程 1 sin0 2 xyy所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 。 12. 【解析】 把 y 看成 x 的函数并对和方程关于 x 求导，得 11 1( )cos( )0( ) 1 2 1cos 2 y xy y xy x y 高数专题复习 公众号：MathXM95 再一次求导，得 2 11 ( )cos( )

10、sin( )0 22 y xy y xyy x 2 1 sin( ) ( ) 1 2 1cos 2 yy x y x y 33 1sin 11 2 (1cos )(1cos ) 22 yxy yy 03 年试题 1.已知 3 ln()sinxyx yx，求 0 x dy dx 。 对数求导法 09 年试题 高数专题复习 公众号：MathXM95 设函数 1 ( )1 x f x x ， （1）求( )fx； （2）证明：当 x时，( )f x单调增加。 【解析】 （1） 1 ( )(1) x f x x 两边取对数得 1 ln( )ln(1),f xx x 两边对 x 求导数得 111 ( )

11、ln(1), ( )1 fx f xxx 则 111 ( )1ln 1 1 x fx xxx . （2） （证法一）当 x0 时， 记( )lng xx，在 1 1,1 x 上应用拉格朗日中值 定理得 高数专题复习 公众号：MathXM95 11 1(1)( ),1ggg xx 1 1 x 即 11 1 ln 1 xx 11111 ln 1 1 11 1 xxxx x 0， 于是 111 ( )1ln 1 1 x fx xxx 0， 故当x0 时，( )f x单调增加. （证法二）当x0 时，记 11 ( )ln 1 1 x xx ， 则 22 111 ( ) (1)(1)(1) x xxxx

12、x 0， 所以( )x在（0，）内单调下降. 又 11 lim( )lim ln 110 xx x xx 高数专题复习 公众号：MathXM95 当x0 时，( )x0，于是 1 ( )1( ) x fxx x 0， 故当x0 时，( )f x单调增加. 参数方程求导法 15 年试题 考试真题 设函数( )yf x由参数方程 3 tan 2 xt ytt 所确定， 则 0 dy tdx =。 解: 2 2 32 sec dy dyt dt dx dxt dt 高数专题复习 公众号：MathXM95 2 0 dy tdx 13 年试题 曲线 3 tan t x yt 在0t 相应的点处的切线方程

13、是 y 解:当0t 时, 1 0 x y , 即0t 相应的点坐标为(1,0) 2 sec 3 ln3 t dy dyt dt dx dx dt , 1 0ln3 dy tdx 所以在0t 相应的点处的切线方程是 1 0(1) ln3 yx,即 1 ln3 x y 高数专题复习 公众号：MathXM95 12 年试题 设函数( )yf x由参数方程 2 2 ln( 3) 3 xtt yt 所确定，求 dy dx （结果要化为最简形式） 解： 22 1 (1) 33 dxt dt ttt = 2 1 3t ； 2 3 dyt dt t （3 分） t t ydy t dxx （结果没有化简扣 2 分） （6 分） 11 年试题 设 3 2t xtt y ，则 0t dy dx _ 09 年试题 高数专题复习 公众号：MathXM95 若曲线 2 2 3 , (12 ) xktt yt 在 t=0 处的切线斜率为 1， 则常数 k=。 08 年试题 设参数方程 2t t xe yte 确定函数( )yy x，计算 dy dx 。 【解析】 2 2,