高中数学三角函数与向量试题及详细答案

1、高中数学三角函数与向量试题及详细答案一解答题（共30小题）1设函数f（x）=sinxcosxcos（x+）cosx，（xR）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，上的最大值2设R，f（x）=cosx（asinxcosx）+cos2（x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值3已知函数，（）求f（x）的定义域与最小正周期；（）设，若，求的大小4设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0（）若点P的坐标为，求f（）的值；（）若点P（x，y）为平面区域

2、：上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f（）的最小值和最大值5已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x）（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，求m的值6已知tan=a，（a1），求的值7已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），xR（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围8已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，aR，且（I）求函数f（x）的最小正周期（）当时，求函数f（x）的最大值和最小值9已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（）求sin2

3、tan的值；（）若函数f（x）=cos（x）cossin（x）sin，求函数的最大值及对应的x的值10已知函数（1）设0为常数，若上是增函数，求的取值范围；（2）设集合，若AB恒成立，求实数m的取值范围11已知函数f（x）=（）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（x+）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（）计算f（1）+f（2）+f（2012）的值12已知为锐角，且，函数，数列an的首项（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：an+1an；（3）求证：13已知tan2=，且324求：（1）tan；（2）14在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B点在直线y

4、=3上，M点满足，=，M点的轨迹为曲线C（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值15已知，若向量且，求f（x）的值；在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围16已知O是线段AB外一点，若，（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，OAA1、OA1A2及OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论17已知向量=（1，2），=（cos，sin），设=+t（t为实数）（1）若，求当|取最小值时实数t的值；（2）若，问：

5、是否存在实数t，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由18经过A（2，0），以（2cos2，sin）为方向向量的直线与经过B（2，0），以（2+2cos，sin）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中k（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围19已知向量，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值20已知向量=（mcos，msin）（m0），=（sin，cos其中O为坐标原点（I）若且m0，求向量与的夹角；（II）当实数，变

6、化时，求实数的最大值21已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由22已知OFQ的面积为，且（1）当时，求向量与的夹角的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程23在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设=，=，试用、表示、24正方形ABCD的边长为1，记=（

7、1）求作，（2）求|，|25如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30且|=1，|=1，|=2，若+，求+的值26例3已知27设动点M的坐标为（x，y）（x、yR），向量=（x2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由28在福建省第14届运动会（2010莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动

8、点，现在顶点A处有视角EAF设置为45的摄像机，正录制形如ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米（）试将y表示为x的函数；（）求证：ECF周长p为定值；（）求ECF面积S的最大值29如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点设TAP=，长方形PQCR的面积为S平方米（1）求S关于的函数解析式；（2）设sin+cos=t，求S关于t的表达式以及S的最大值30如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行

9、车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinx（A0，0，x0，8的图象，且图象的最高点为S（6，4）赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定MNP=120（1）求实数A和的值以及M、P两点之间的距离；（2）连接MP，设NPM=，y=MN+NP，试求出用表示y的解析式；（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？（文科）求函数y的最大值参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1设函数f（x）=sinxcosxcos（x+）cosx，（xR）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（

10、x）在（0，上的最大值考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的最值专题：计算题；综合题分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值解答：解：（I）f（x）=sinxcosxcos（x+）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+f（x）的最小正周期T=（II）函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的

11、图象，g（x）=sin（2x+）+=sin（2x）+0x2x，y=g（x）在（0，上的最大值为：点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题2设R，f（x）=cosx（asinxcosx）+cos2（x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值专题：计算题分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x），然后根据x的范围求出2x，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值解答：解：f（x）=cos

12、x（asinxcosx）+cos2（x）=asinxcosxcos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x），所以x时2x，f（x）是增函数，所以x时2x，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型3已知函数，（）求f（x）的定义域与最小正周期；（）设，若，求的大小考点：正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域专题：计算题分析：（）利用正切函数的

13、定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（）通过，化简表达式，结合（0，），求出的大小解答：解：（）由2x+k，kZ所以x，kZ所以f（x）的定义域为：f（x）的最小正周期为：（）由得tan（）=2cos2，整理得 因为（0，），所以sin+cos0 因此（cossin）2=即sin2=因为（0，），所以=点评：本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力4设函数f（）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0（）若点P的坐标为，求f（）的值；（）若点P（x，y）为平面

14、区域：上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f（）的最小值和最大值考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值专题：综合题；压轴题；转化思想分析：（I）由已知中函数f（）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（）的最小值和最大值解答：解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（）=2（II）作出平面区域（即感触区域ABC）如图所示其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）于是0f（）=且故当，即时，f（）取得最大值2当，即=0时，f（）取

15、得最小值1点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想5已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x）（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，求m的值考点：弦切互化；同角三角函数间的基本关系专题：综合题分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把

16、f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成，根据tan的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2和cos2的值，把sin2和cos2的值代入到f（）=中得到关于m的方程，求出m的值即可解答：解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x），1，从而得：f（x）的值域为（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+=所以=当tan=2，得：，代入式，解得m=2点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角

17、函数变换，属于中档题6已知tan=a，（a1），求的值考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切专题：计算题分析：利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tan=a，求出结果即可解答：解：原式=即：=点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型7已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），xR（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性专题：三角函数的图像与性质分析：（1）先化简函数得出的表达式，通过f（）f（），直接证明即可（2）先得

18、出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围解答：解：（3分）（1），f（x）是非奇非偶函数 （3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如f（0）=10，f（x）不是奇函数（2）由，得， （4分）所以即 （2分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力8已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，aR，且（I）求函数f（x）的最小正周期（）当时，求函数f（x）的最大值和最小值考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域专题：三角函数的图像与性质分析：（I）由，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入

19、f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据公式求出结果（II）根据x的范围求出2x的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x）的值域即可得到f（x）的最值解答：解：（）由已知得即，所以a=2所以f（x）=sin2x2cos2x=sin2xcos2x1=所以函数f（x）的最小正周期为（）由，得则所以所以函数y=f（x）的最大值为；最小值为点评：本题三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域是一道综合题9已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（）求sin2tan的值；（）若函

20、数f（x）=cos（x）cossin（x）sin，求函数的最大值及对应的x的值考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用三角函数的定义求出sin、cos和tan的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2tan并求出其值（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x）1，进而求正弦函数的特点求出结果解答：解：（）因为角终边经过点，所以，（3分）（）f（x）=cos（x）cossin（x）sin=cosx，xR（7分）ymax=21=1，（12分）此时，即（13分）点评：此题考查了二倍

21、角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键10已知函数（1）设0为常数，若上是增函数，求的取值范围；（2）设集合，若AB恒成立，求实数m的取值范围考点：二倍角的余弦；集合关系中的参数取值问题；二次函数的性质；正弦函数的单调性专题：计算题分析：（1）利用三角函数的降幂公式将化为f（x）=2sinx，从而f（x）=2sinx，利用f（x）在，是增函数，可得到，从而可求的取值范围；（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin2x2msinx+m2+m10，令sinx=t，则t22mt+m2+m10，t，1，记f（t）=t22m

22、t+m2+m1，问题转化为上式在t，1上恒成立问题，根据区间，1在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间，1三种情况结合二次函数的单调性即可解决解答：（本小题满分14分）解：（1）=2sinx（1+sinx）2sin2x=2sinx是增函数，（2）=sin2x2msinx+m2+m10因为，设sinx=t，则t，1上式化为t22mt+m2+m10由题意，上式在t，1上恒成立记f（t）=t22mt+m2+m1，这是一条开口向上抛物线，则或或解得：点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t22mt+m2+m10恒成立，t，1来解决，属于难题11已知函数f

23、（x）=（）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（x+）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（）计算f（1）+f（2）+f（2012）的值考点：二倍角的余弦；五点法作函数y=Asin（x+）的图象专题：综合题分析：（）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；（）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值解答：解：（）由题意知，列表：x012340212101描点画图，如图所示：（）f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周

24、期为4，且2012=4503，f（1）+f（2）+f（2012）=4503=2012点评：本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力12已知为锐角，且，函数，数列an的首项（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：an+1an；（3）求证：考点：二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明专题：综合题分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tan的值求出tan2的值，根据特殊角的三角函数值以及的范围即可求出2的值，即可求出sin（2+）的值，把求出的tan2和sin2的值代入f（x）中即可确定出

25、f（x）；（2）an+1=f（an），把an代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据an2大于0，即可得证；（3）把an代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证解答：解：（1），又为锐角，所以2=，则f（x）=x2+x；（2）an+1=f（an）=an2+an，an+1an=an20，an+1an；（3），且a1=，则=，又n2时，an+1an，an+1a31，点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公

26、式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题13已知tan2=，且324求：（1）tan；（2）考点：二倍角的正切专题：计算题分析：（1）由题意，可先判断角的取值范围，得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；（2）由题意，先化简，再将tan=代入计算出答案解答：解：（1）由题意324，得2是第四象限角又tan2=，=，解得tan=（2）由题，将tan=代入得=点评：本题考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函数的基本关系等，解题的关键是利用公式灵活变形，计算求值，本题中有一易错点，即没有判断角所在的象限

27、，导致解出的正切值有两个答案，切记！三角函数化简求值题，公式较多，要注意选择公式使得解题的过程简捷本题考查了利用公式变形计算的能力14在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B点在直线y=3上，M点满足，=，M点的轨迹为曲线C（）求C的方程；（）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值考点：向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题；综合题；函数思想；整体思想分析：（）设M（x，y），由已知得B（x，3），A（0，1）并代入，=，即可求得M点的轨迹C的方程；（）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O

28、点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值解答：解：（）设M（x，y），由已知得B（x，3），A（0，1）所=（x，1y），=（0，3y），=（x，2）再由题意可知（）=0，即（x，42y）（x，2）=0所以曲线C的方程式为y=2（）设P（x0，y0）为曲线C：y=2上一点，因为y=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为yy0=x0（xx0），即x0x2y+2y0x02=0则o点到l的距离d=又y0=2，所以d=2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2点评：此题是个中档题考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查

29、了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力15已知，若向量且，求f（x）的值；在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2ac）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围考点：平面向量的综合题专题：计算题分析：利用向量共线的充要条件，可求x的值，从而可求f（x）的值；利用余弦定理求出B的值，确定出A+，然后求出函数f（A）的取值范围解答：解：由，得，或，x=2k+或，（2ac）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinAsinC）cosB=sinBcosC2sinAcosBcosBsinC=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C），A+B+C=，sin（

30、B+C）=sinA，且sinA0，cosB=，B=，0AA+，0sin（A+）1又，故函数f（A）的取值范围是（0，2点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查向量共线的充要条件16已知O是线段AB外一点，若，（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，OAA1、OA1A2及OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论考点：向量在几何中的应用专题：计算题分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于OAA1、OA1A2及OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法

31、则求得用向量、表示；（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程解答：解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，同理可得：，则=（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则；设A1、A2、A3是AB的四等分点，则；或设A1，A2，An1是AB的n等分点，则，层次2：设A1，A2，An1是AB的n等分点，层次3：设A1，A2，An1是AB的n等分点，则；证：=点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力17已知向量=（1，2），=（cos，sin），设=+t（t为

32、实数）（1）若，求当|取最小值时实数t的值；（2）若，问：是否存在实数t，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题：计算题分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t解答：解：（1）因为a=，所以=（），则=所以当时，取到最小值，最小值为（7分）（2）由条件得cos45=，又因为=，=，（）（）=5t，则有=，且t5，整理得t2+5

33、t5=0，所以存在t=满足条件（14分）点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模本题的易错点在于（）（）=5t中的t5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t518经过A（2，0），以（2cos2，sin）为方向向量的直线与经过B（2，0），以（2+2cos，sin）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中k（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围考点：向量在几何中的应用；数列与解析几何的综合专题：计算题分析：（I）根据题意知，（2cos2，s

34、in），根据共线向量定理可得（x2）sin=y（2cos2），同理（x+2）sin=y（2cos+2），两式相乘，即可得到点M（x，y）的轨迹方程；（II）设p（x0，y0）在曲线C内，得，再由|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列可得并代入求得，即可求得结果解答：解：（I），（2x）sin+y（2cos2）=0（x2）sin=y（2cos2）同理（2x）sin+y（2cos+2）=0（x+2）sin=y（2cos+2）得x24=4y2即；（II）设p（x0，y0），则化简得：代入得点评：此题是个中档题考查向量在几何中的应用，以及数列与解析几何的综合同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能

35、力19已知向量，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算专题：计算题；综合题分析：（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量，从而求出向量、的夹角；（2）向量，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果解答：解：（1）当时，所以，因而；（2），因为，所以，当0时，即，当0时，即，所以点评：此题是个中档题考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力2

36、0已知向量=（mcos，msin）（m0），=（sin，cos其中O为坐标原点（I）若且m0，求向量与的夹角；（II）当实数，变化时，求实数的最大值考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模专题：计算题；综合题分析：（）设它们的夹角为，利用向量的数量积公式表示出cos，将已知条件 代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角（II）先将利用向量模的计算公式表示成，再利用三角函数的值域求出它的最大值即可解答：解：（I）设它们的夹角为，则：=，故（6分）（II）=（10分）所以当m0时，原式的最大值是m1；当m0时，原式的最大值是m1（12分）点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决

37、；解决向量的模的最值问题，一般转化为函数的最值来解决21已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质专题：综合题；存在型；反证法分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P

38、满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为由已知得，（2分）则，解得a2=6（4分）所求椭圆方程为（5分）（2）令M（x1，y1），则（7分）点M在椭圆上，故|y1|的最大值为（8分）当时，的最大值为（9分）（3）假设存在一点P，使，（10分）PF1F2为直角三角形，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 （11分）又 （12分）2，得2|PF1|PF2|=20，（13分）即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，不存在一点P，使（14分）点评：本题考查了椭圆方程的求

39、法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力22已知OFQ的面积为，且（1）当时，求向量与的夹角的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的标准方程专题：计算题分析：（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tan的解析式，再根据m的范围，求得tan的范围，进而求得的取值范围（2）设出

40、双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出|最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数解答：解：（1）由已知得 ，tan=，m4，1tan4，arctan4（2）设双曲线方程为 =1，（a0，b0），不妨设点Q的坐标为（m，n），n0，则=（mc，n），OFQ的面积为 |n=2，n=又由=（c，0）（mc，n）=c（mc）=（1）c2，m=，|=，当且仅当c=4时，|有最小值，此时，点Q的坐标为（，），由此可得，解得 ，故所求的方程为：=1点评：本题考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，用待定系数

41、法求双曲线的方程23在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设=，=，试用、表示、考点：向量数乘的运算及其几何意义；向量的共线定理专题：计算题；数形结合；转化思想；数形结合法；综合法分析：本题是向量伯一道综合题，需要综合运用平面向量的加减法与向量的数乘运算来达到用两个基向量、表示、的目的，所研究的两个向量与两个基向量不在一个三角形中，故需要先用根据图形用与它们共线的向量将它们表示出来，然后再用两个基向量表示解答：解：如图所示，因为AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，所以=+=+（）=+（+）=（5分）因为A、H、G三点共线，

42、所以存在实数m，使=m=m（+）=m+m；又D、H、F三点共线，所以存在实数n，使=n=n（）=nn因为+=，所以+n=m+（10分）因为a、b不共线，解得m=，即=（+）=+（14分）点评：本题考点是向量数乘的运算及其几何意义，考查了向量的三角形法则与向量数乘的几何意义，本题是向量的运算法则的综合运用，要注意结合图形依据向量的相关的知识进行正确转化，当画图时必画图24正方形ABCD的边长为1，记=（1）求作，（2）求|，|考点：向量加减混合运算及其几何意义专题：计算题；作图题；转化思想分析：（1）根据向量加法的平行四边形法则三角形法则和相等向量，作出，；（2）利用向量加法的三角形法则，|和|

43、进行化简，再求其值即可解答：解：（1）连接AC，则，过点A做，以AC、AF为邻边作平行四边形ACEF，则；（2）=|=0，=2点评：此题考查向量加法减法的运算以及其几何意义，熟记基础知识是解题的关键，体现了数形结合的思想，属基础题25如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30且|=1，|=1，|=2，若+，求+的值考点：向量的三角形法则；向量的模；向量的共线定理；数量积表示两个向量的夹角专题：计算题分析：直接求+的值有难度，可换一角度，把利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则来表示成与共线的其它向量的和向量，再由平面向量基本定理，进而求出+的值解答：解：如图，在OCD中，O

44、D=30，OCD=COB=90，可求|=4，同理可求|=2，=4，=2，+=6点评：本题考查平面向量加法的平行四边形法则与三角形法则，及解三角形，是一道综合题，是本部分的重点也是难点夯实基础是关键26例3已知考点：向量的加法及其几何意义；不等式的证明分析：根据向量的性质两个向量的模的差小于等于两个向量和的模小于等于两个向量模的和，注意等号成立的条件解答：解：m，nR*，|1，|1由向量的性质得到：|m|+|n|=m|+n|m+n，原不等式成立点评：本题是从向量大小的角度来解决问题，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化27

45、设动点M的坐标为（x，y）（x、yR），向量=（x2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由考点：向量的加法及其几何意义；向量的模专题：压轴题；动点型；开放型；方程思想分析：（I）把=（x2，y），=（x+2，y）代入|a|+|b|=8，根据椭圆的定义即可求得动点M（x，y）的轨迹C的方程；（）假设存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，即OAOB，设出直线l的方程，联立直线和椭圆方程，利用

46、韦达定理即可得出结论解答：解：（I）因为|a|+|b|=8，所以所以动点M的轨迹是到定点F1（2，0），F2（2，0）的距离之和为8的椭圆则曲线C的方程是（）因为直线l过点N（0，2），若直线l的斜率不存在，则l的方程为x=0，与椭圆的两个交点A、B为椭圆的顶点由，则P与O重合，与OAPB为四边形矛盾若直线l的斜率存在，设方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）由得（4k2+3）x2+16kx32=0=256k2+128（4k2+3）0恒成立由根与系数关系得：，因为，所以四边形OAPB为平行四边形若存在直线l使四边形OAPB为矩形，则，即所以x1x2+y1y2=0所以（1+k2）

47、x1x2+2k（x1+x2）+4=0即化简得：12k2+5=0与斜率存在矛盾则不存在直线l，使得四边形OAPB为矩形点评：考查向量和解析几何相结合，体现了向量的工具性，考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系问题，属难题28在福建省第14届运动会（2010莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角EAF设置为45的摄像机，正录制形如ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米（）试将y表示为x的函数；（）求证：ECF周长p为定值；（）求ECF面积S的最大值考点：已知三角函数模型的应用问题专题：计算题分析：（）利用EAF=45及和角三角函数可构建x，y之间的关系，从而得出x，y之间的函数关系式；（）关键是表达出ECF的周长，结合（）将代入化简可证；（）首先可以得到S=xy，因此要求面积的最大值，关键是求xy的最大值，利用（），结合基本不等