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文档简介
1、,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动目录上页下页返回结束,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),机动目录上页下页返回结束,其方向用法向量指向,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,设为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:,其上一块,在xoy面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动目录上页下页返回结束,二、对坐标的曲面积分的概念
2、与性质,1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为,求单位时间流过有向曲面的流量.,分析:若是面积为S的平面,则流量,法向量:,流速为常向量:,机动目录上页下页返回结束,对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”,对稳定流动的不可压缩流体的,速度场,进行分析可得,则,机动目录上页下页返回结束,设为光滑的有向曲面,在上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R叫做被积函数;,叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对的任,2.定义.,机动目录上页下页返回结束,引例中,流过有向曲面的流体的流量为,称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;,称为R在
3、有向曲面上对x,y的曲面积分.,称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动目录上页下页返回结束,3.性质,(1)若,之间无公共内点,则,(2)用表示的反向曲面,则,机动目录上页下页返回结束,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理:设光滑曲面,取上侧,是上的连续函数,则,证:,取上侧,机动目录上页下页返回结束,若,则有,若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面取下侧,则,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,其中是以原点为中心,边长为a的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,的顶部,取上侧,的底部,取下侧,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,的前部,取前侧,的后部,取后侧,的右部,取右侧,的左部,取左侧,解:把分为上下两部分,例2.计算曲面积分,其中为球面,外侧在第一和第五卦限部分.,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,机动目录上页下页返回结束,令,向量形式,机动目录上页下页返回结束,例8.设,是其外法线与z轴正向,夹成的锐角,计算,解:,机动目录上页下页返回结束,例9.计算曲面积分,其中,解:利用两类曲面积分的联系,有,原
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