初二竞赛进阶进度一四平路06 菱形童教师

1、 1 / 13 第六讲 菱形 【菱形的定义】 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 【菱形的性质】 具有平行四边形的所有性质 四条边都相等 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线 【菱形的判定】 四条边都相等的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 有一条对角线平分一组对角的平行四边形 【菱形面积公式】 21 2 1 2 1 dddhS 菱形 （d为菱形的边，h为菱形的高； 21,d d为菱形对角线的长） 2 / 13 【菱形的性质】 【例题【例题1】 】 （1）两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形； （2

2、）两条对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形； （3）两条对角线分别平分两组对角的四边形是菱形； （4）两条对角线互相垂直且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 上述 4 个命题正确的为_. 答案： （2） 、 （3）. 【例题【例题2】 】 （1）若菱形的两条对角线长为 6cm 和 8cm，该菱形的高为_. （2）已知菱形ABCD的周长为32cm，相邻两角之比是1:3，那么菱形对边之间的距离是 _，该菱形的面积是_. 答案：4 2hcm； 2 =8 4 2=32 2Scm. （3）已知菱形的一个内角为 0 120，周长为24cm，那么两条对角线的长分别为_，该 菱形的面积为_.

3、答案：6cm和6 3cm； 2 1 6 6 318 3 2 Scm 或 2 6 3 318 3Scm （4）已知菱形的周长是16cm，面积为 2 8 3cm，则相邻的两个内角度数分别是_. 答案：答案： 8 3 2 3 4 h ， 00 60 ,120 （5）菱形的对角线之比是4:3，且周长为40cm，则菱形的面积为_. 答案：510 x 2 2 16,12 11 16 1296 22 xcm ACcm BDcm SAC BDcm （6）已知菱形的锐角是 60，边长是 20cm，则较长的对角线长为_ 解： 四边形 ABCD 是菱形， 10 4x 3x D C B A 3 / 13 AB=AD=

4、20cm，ACBD，DAB=60，OA=OC，OB=OD， BD=AD=20cm，OD=10cm，AOD=90，OA=10cm，AC=20cm 即较长的对角线是 20cm 【例题【例题3】 】 如图，在菱形 ABCD 中，BAD=80，AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F，E 为垂足， 连接 DF，求CDF 的度数 解：连接 BD，BFBAD=80ADC=100 又EF 垂直平分 AB，AC 垂直平分 BD，AF=BF，BF=DF AF=DF，FAD=FDA=40，CDF=10040=60 【例题【例题4】 】 如图，在菱形 ABCD 中，已知 E,F 分别是 BC,CD 上的点.若 A

5、E=AF=EF=AB，求C 的 度数. 4 / 13 【例题【例题5】 】 在菱形ABCD中， 100A，M、N分别是边AB，BC中点，CDMP 于P， 求NPC 的度数. 解：连 AC，延长 MN、DC 交于点 O M、N分别是边AB，BC中点 MNAC，BACBMN 又ABCD为菱形， 50DACBAC 50BMN， 可证MBN OCN ，N 为 MO 中点，又CDMP 90MPO，ONPN ， ONPC 50BMN 5 / 13 【菱形的判定】 【例题【例题6】 】 如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，连接 CF

6、（1）求证：四边形 BCFE 是菱形； （2）若 CE=4，BCF=120，求菱形 BCFE 的面积 【例题【例题7】 】 如图， 在ABCD中，BE平分ABC交AD于点E，DF平分ADC交BC于点F， BDEF.求证：四边形EBFD是菱形. 证明： （1）四边形证明： （1）四边形ABCD是平行四边， 是平行四边， ACABCDABCADC ， BE平分平分ABC，DF平分平分ADC，ABECDF ABECDF ASAAECF 在平行四边形ABCD中，ADBCADBC，DEBFDEBF， 四边形EBFD是平行四边形，BD、EF 互相平分，又BDEF，则四边形EBFD是菱形. 【例题【例题8】

7、 】 如图所示，在ABC 中，90A，BD 平分ABC， BCAG于点 G，且 BD、 AG 相交于点 E，BCDF于点 F，试证明：四边形 AEFD 是菱形. F D A E BC DE CF A B 6 / 13 【例题【例题9】 】 如图，在矩形 ABCD 和矩形 BFDE 中，若 AB=BF，求证：CFMN 【综合运用】 【例题【例题10】 】 如图，ABC 中，点 P 是边 AC 上的一动点过点 P 作直线 MNBC, 设 MN 交BCA 的 平分线于点 F. (1)求证：PE=PF (2)当点 P 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能是菱形吗？说明理由. 7 / 13 8

8、/ 13 【例题【例题11】 】 如图， 已知ABC 的面积为 3， 且 AB=AC,现将ABC 沿 CA 方向平移 CA 长度得到EFA. （1）求ABC 所扫过图形的面积； （2）试判断 AF 与 BE 的位置关系，并说明理由； （3）BEC=15，求 AC 的长. 9 / 13 【例题【例题12】 】 如图，菱形 OABC 绕 O 顺时针旋转 90，得四边形CBOA，已知 120A，OA=1， 由 BB 、AB、 AC ，CB 围成面积为 S，求 S. 【例题【例题13】 】 如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、 N 分别是

9、边 AB、BC 的中点，求PNPM 的最小值 解：取 CD 中点 E，连PE，则可证CNP CEP ，则 PN=PE PNPM MNPEPM 又 CE=BM，CEBM，所以 BCEM 为平行四边形，ME=BC 由菱形的性质可求菱形边长为 5，PNPM 最小值为 5， P 点为 ME 与 AC 交点. MN AC B D P 10 / 13 【例题【例题14】 】 如图，在一张长 12cm，宽 5cm 的长方形纸片内，要折出一个菱形.李杰同学按照取两组 对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一） ，张红同学沿长方形的对角线 AC 折出CAE=DAC， ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（

10、见方案二）.请你通过计算，比较两名同学的折法中，哪种菱 形面积较大？ 【例题【例题15】 】 如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是线段 DF 的中点，连 结 PG，PC.若ABC=BEF =60，求 PC PG 的值. 解：连接 AC、BD 交点为 M，BF、EG 交点 N 由菱形的性质知BDAC ，CEBF 又 P 是线段 DF 的中点，N为BF中点， PNBD,则 P、G、N、E 在一条线上 同理 C、P、M、A 在一条线上 CPG 为直角三角形,又 60PCG， PC PG 3 . . 【例题【例题16】 】 如图，在四边形 ABCD 中，A

11、DC=90，AC=BC，ACB=45，E、F 分别是 AC,AB 的中点，且DEA=45，BGAC 于 G.（1）求证：四边形 AFGD 是菱形； （2）若 AC=BC=10cm， 求菱形的面积. 证明： （1）连结 CF，则 FCAB.易证1=2， 而 AC=AC,ADC=AFC=90，所以ADCAFC（AAS） 故 AD=AF，3=5 易证 FG=FA ，则3=4 即4=5 则 FGAD，且 FG=AD，所以四边形 DAFG 是平行四边形 又 AD=AF，所以平行四边形 DAFG 是菱形. P F G C D A B E N M P F G C D A B E G F E D C B A

12、11 / 13 （ 2 ） 由 于 BC=10cm ， ACB=45 ， 则 BG=25cm ， AG=2510(cm).由题意易证 25-22525-1025 2 1 ）（ 菱形ABGDAFG SS. 【例题【例题17】 】 如图，菱形 PQRS 内接于矩形 ABCD，使得 P、Q、R、S 为 AB、BC、CD、DA 上的内点.已知 PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数 n m 为矩形 ABCD 的周长，求 mn. 解解 设 AS=x、AP=y ，由菱形性质知 PRSQ，且互相平分，这样得到 8 个直角三角形，易知 PR 与 SQ 的交点是矩形 ABCD 的中心.由已知可得其中 6 个三角形的边长分别为 15、20、25.由对称性知 CQ、 CR 的长为 x、y.则 Rt?ASP 和 Rt?CQR 的三边长分别为 x、y、25，矩形面积等于 8 个 Rt?的面积之和. 则 (20+x)(15+y)=6 2 1 2015+2 2 1 xy 即 3x+4y=120 (1) 又 x2+y2=625 (2) 解之得 1 1 20 15 x y ， 2 2 44 5 117 5 x y 当 x=20 时 BC=x+BQ=40 这与 PR=30 不合.故 x= 5 44 ，y= 5 117 . 所以，矩形 ABCD 的周长为 2(1