映射与函数习题

1、广 州 至 慧 教 育学生姓名 就读年级 授课日期 教研院审核 【知识点回顾】1.函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个（任意性）元素x，在集合B中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y和它对应，这样的对应叫做集合A到集合B的一个函数（三性缺一不可）函数的本质：建立在两个非空数集上的特殊对应这种“特殊对应”有何特点：1).可以是“一对一” 2).可以是“多对一” 3).不能“一对多” 4). A中不能有剩余元素 5).B中可以有剩余元素判断两个函数相同：只看定义域和对应法则2.映射的概念一般地，设A、B是两个集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对

2、于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:为从集合A到集合B的一个映射（mapping）。思考：映射与函数区别与联系？函数建立在两个非空数集上的特殊对应映射建立在两个非空集合上的特殊对应1）函数是特殊的映射，是数集到数集的映射2）映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数3）映射与函数都是特殊的对应思考：映射有“三性”：“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.3.用映射定义函数(1).

3、函数的定义：如果A、B都是非空数集，那末A到B的映射f:A B就叫做A B的函数。记作：y=f (x).（2）定义域：原象集合A叫做函数y=f (x)的定义域。（3）值域：象的集合C 叫做函数y=f (x)的值域。定义：给定一个集合A到集合B的映射，且aA， bB。如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。 给定映射f：AB。则集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一的象，而集合B中的元素在集合A中不一定都有原象，也不一定只有一个原象。问题1：下图中的（1）（2）所示的映射有什么特点？ 答：发现规律：（1）对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象， 我们

4、把这样的映射称为单射。（2）集合B中的每一个元素都有原象，我们把这样的映射称为满射。定义：一般地，设A、B是两个集合。f：AB是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下，对于集合A的不同元素，在集合B中有不同的象，且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一 一映射。 单射满射一 一 映射注意：1）一 一映射是一种特殊的映射：A到B是映射，B到A也是映射。 2）映射和一一映射之间的充要关系，映射是 一 一映射的必要而不充分条件 3）一 一映射： A和B中元素个数相等。例2：判断下面的对应是否为映射 ，是否为一一映射？1）A=0,1,2,4,9,B=0,1,4,9,64,对应法则 f：a

5、 b = (a-1)2 答：是映射，不是一一映射。（如右图所示可以很容易可能出。）2）A=0,1,4,9,16,B=-1,0,1,2,3,4,对应法则 f：求平方根 ？ 答：不是映射。3）A=Z，B=N*，对应法则 f：求绝对值？ 答：不是映射。4）A=11,16,20,21,B=6,2,4,0,对应法则 f：求被7除的余数答：是映射，且是一一映射。例3：已知集合，(x,y)|x,y，f是从到的映射f:x(x+1,x2) .（）求在B中的对应元素（）(2,1)在中的对应元素解:（1）将x=代入对应关系，可得其在中的对应元素为（+1，2） （2）由题意得： x+1=2 x2=1 x=1 即（2,

6、1）在A中的对应元素为1例4：设集合A=a、b,B=c、d、e（1）可建立从A到B的映射个数 .（2）可建立从B到A的映射个数 .答：9,8（可以试着画图看看）小结：如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有 nm 个。【映射例题精解】例1在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 设A=1,2,3,4，B=3,5,7,9，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A 设A=1,4,9,B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是A中的元素开平方 设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A 设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2

7、次方+1，x属于A 解析：1、是一一映射，且是函数2、不是映射（象是有且唯一）3、是一一映射，且是函数4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。例2设A=a,b,c,B=0,1,请写出两个从A到B的映射 从A到B的映射共有23=8个：（a，b，c）（0，0，0）；（a，b，c）（0，0，1）；（a，b，c）（0，1，0）；（a，b，c）（1，0，0）；（a，b，c）（0，1，1）；（a，b，c）（1，0，1）；（a，b，c）（1，1，0）；（a，b，c）（1，1，1）。例3 假设集合m=0 -1 1 n=-2 -1 0 1 2 映射f:MN 满足条件“对任意的x属于M ,x+f

8、(x) 是奇数”，这样的映射 有_个当x=-1时，x+f(x)=-1+f(-1)恒为奇数，相当于题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”f(-1)=-2,0,2当x=0时，x+f(x)=f(0),根据题目中的限制条件“使对任意的x属于M，都有x+f(x)是奇数”可知f(0)只能等于-1和1当x=1时，x+f(x)=1+f(1)恒为奇数 f(1)=-2,0,2综上可知，只有第种情况有限制，所以这样的映射共有323=18个 例4 设集合A=-1，0，1 B=2，3，4，5，6 从A到B的映射 f满足条件 ：对每个XA 有 f（X）+X为偶数 那么这样的映射f的个数是多少？映射

9、可以多对一，要让f（X）+X偶数，当X1和1时，只能从B中取奇数，有3，5两种可能，当X0从B中取偶数有2 4 6三种，则一共有22312个 以后你学了分步与分类就很好理解啦，完成一件事有两类不同的方案,在第一类方案中有m种不同的方法,在第二类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n中不同的方法,这是分类加法计数原理;完成一件事需要两个步骤,做第一步有m种不同的方法,做第二步有n种不同的方法.那么完成这件事共有N=mn种不同的方法例5 已知：集合，映射满足，那么映射的个数是多少？思路提示：满足，则只可能，即、中可以全部为，或各取一个解：，且有当时，只有一个映射；当中恰有一个为，而另

10、两个分别为，时，有个映射因此所求的映射的个数为例6 给出下列四个对应： 其构成映射的是 （ ）只有 只有 只有 只有答案： 提示：根据映射的概念，集合到集合的映射是指对于集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的值与之相对应，故选择例7若函数满足，则下列各式不恒成立的（ ） 答案： 提示：令有，正确令，有，正确令，有，正确令，则由于，于是当时，故不恒成立，故选例8已知集合，下列不表示从到的映射是（ ） 答案： 提示：选项中，则对于集合中的元素4，对应的元素，不在集合中，不符合映射的概念例9集合，那么可建立从到的映射个数是_，从到的映射个数是_答案： 提示：从到可分两步进行：第一步中的元素可有3

11、种对应方法（可对应5或6或7），第二步中的元素也有这3种对应方法则不同的映射种数反之从到，道理相同，有种不同映射例10如果函数对任意都有，试求的值解：对任意，总有，当时应有，即又，故有（，则【课堂练习】1设f:AB是集合A到集合B的映射，则正确的是 （ ）AA中每一元素在B中必有象 BB中每一元素在A中必有原象CB中每一元素在A中的原象是唯一的DA中的不同元素的象必不同2集合A=3,4,B=5,6,7,那么可建立从A到B的映射个数是_，从B到A的映射个数是_.3设集合A和B都是自然数集N，映射f:AB把集合A中的元素n影射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是 （ ）A.2 B.3 C

12、.4 D.54如果(x,y)在映射f下的象是(x+y,x-y)，那么(1,2)在映射下的原象是 （ ）A.（3，1） B.（） C. （） D.（-1，3）5.已知点(x，y)在映射f下的象是(2xy，2xy)， 求(1)点（，）在映射f下的像；（）点(4，6)在映射f下的原象. 6.设集合A1,2,3,k,B4,7,a4,a23a,其中a,kN,映射f:AB，使B中元素y3x1与A中元素x对应，求a及k的值. 【综合练习】一、选择题：1下列对应是从集合A到集合B的映射的是（ ）AA=R，B=x|x0且xR，xA，f：x|x|BA=N，B=N，xA，f：x|x1|CA=x|x0且xR，B=R，

13、xA，f：xx2DA=Q，B=Q，f：x2已知映射f:AB，其中集合A3，2，1，1，2，3，4，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的aA，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是（ ）A4B5C6D73设集合A和B都是自然数集合N，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2nn，则在映射f下，象20的原象是（ ） A2B3C4D54在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%(a,b0,ab)，则x与y的函数关系式是（ ）Ay=xBy=xCy=xDy=x5函数y=的值域是（ ） A(，1 )(1，) B(，1)(1，) C(，0 )(0，)

14、D(，0)(1，) 6下列各组中，函数f(x)和g(x)的图象相同的是（ ）Af(x)=x，g(x)=()2Bf(x)=1，g(x)=x0Cf(x)=|x|，g(x)=Df(x)=|x|，g(x)=7函数y=的定义域为（ ）Ax|1x1 Bx|x1或x1Cx|0x1D1，18已知函数f(x)的定义域为0，1，则f(x2)的定义域为（ ）A(1，0)B1，1C(0，1)D0，19设函数f(x)对任意x、y满足f(xy)=f(x)f(y)，且f(2)=4，则f(1)的值为（ ）A2BC1D210函数y=2的值域是 （ ） A2，2 B1，2C0，2 D，11若函数y=x2x4的定义域为0，m，值域

15、为，-4，则m的取值范围是（ ） A B ，4C ，3 D ，12已知函数f(1)=x1，则函数f(x)的解析式为（ ）Af(x)=x2Bf(x)=x21(x1)Df(x)=x22x2(x1)Cf(x)=x22x(x1)二、填空题：13己知集合A =1，2，3，k ，B = 4，7，a4，a23a，且aN*，xA，y B，使B 中元素y=3x1和A中的元素x对应，则a=_ _， k =_ . 14若集合M=1，0，1 ，N=2，1，0，1，2，从M到N的映射满足：对每个xM，恒使xf(x) 是偶数， 则映射f有_ _个. 15设f(x1)=3x1，则f(x)=_ _.16已知函数f(x)=x2

16、2x2，那么f(1)，f(1)，f()之间的大小关系为 .三、解答题：17（1）若函数y= f(2x1)的定义域为 1，2 ，求f (x)的定义域.（2）已知函数f(x)的定义域为，求函数g(x)=f(3x)f()的定义域. 18（1）已f ()=，求f(x)的解析式. （2）已知y=f(x)是一次函数，且有f f(x)=9x8，求此一次函数的解析式. 19求下列函数的值域：（1）y=x2x，x1，3 （2）y =（3） 20已知函数(x)=f(x)g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且()=16，(1)=8（1）求(x)的解析式，并指出定义域；（2）求(x)的值域. 21如图，动点P从单位正方形ABCD顶点A开