专题三-直线、圆、圆锥曲线测试题(文科)解析

1、专题三直线、圆、圆锥曲线测试题（文科）解析一、选择题： 1已知圆O的方程是x2y28x2y100，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()Axy30Bxy30C2xy60 D2xy60解析x2y28x2y100，即(x4)2(y1)27，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的直线为l，则kOM1，故kl1，y1(x3)，即xy30.2过点(1,3)且平行于直线x2y30的直线方程为()Ax2y70 B2xy10Cx2y50 D2xy50解析因为直线x2y30的斜率是，故所求直线的方程为y3(x1)，即x2y70.A3曲线y2xx3在横坐标为1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离

2、为()A. B. C. D.解析曲线y2xx3在横坐标为1的点处的纵坐标为1，故切点坐标为(1，1)切线斜率为ky|x123(1)21，故切线l的方程为y(1)1x(1)，整理得xy20，由点到直线的距离公式得点P(3,2)到直线l的距离为.A4若曲线x2y22x6y10上相异两点P、Q关于直线kx2y40对称，则k的值为()A1 B1 C. D2解析曲线方程可化为(x1)2(y3)29，由题设知直线过圆心，即k(1)2340，k2.故选D.5直线axy0(a0)与圆x2y29的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D不确定解析圆x2y29的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d得

3、该圆圆心(0,0)到直线axy0的距离d，由基本不等式可以知道，从而d10，b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()A. B. C. D2解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b2a，e215，所以e.C12已知点F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A(1，) B(，2)C(1，) D(1,1)解析依题意得，0AF2F1，故0tanAF2F11，则1，即e2，e22e10，(e1)22，所以1eb0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点

4、，O为坐标原点(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)若|AP|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|.解(1)设点P的坐标为(x0，y0)，由题意，有1.由A(a,0)，B(a,0)，得kAP，kBP.由kAPkBP，可得xa22y，代入并整理得(a22b2)y0.由于y00，故a22b2.于是e2，所以椭圆的离心率e. (2)(方法一)依题意，直线OP的方程为ykx，设点P的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AP|OA|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00.而x00，于是x0，代入，整理得(1k2)24k22

5、4.由ab0，故(1k2)24k24，即k214，因此k23，所以|k|. (方法二)依题意，直线OP的方程为ykx，可设点P的坐标为(x0，kx0)由点P在椭圆上，有1.因为ab0，kx00，所以1，即(1k2)xa2.由|AP|OA|，A(a,0)，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00，于是x0.代入，得(1k2)3，所以|k|.18(本小题满分12分)如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t

6、与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值解(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)，由相乘得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程解由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2y0(yx2)

7、，即y0(1)x2y.再设B(x1，y1)，由，即(xx1，y0y1)(1x,1y0)，解得将式代入式，消去y0，得又点B在抛物线yx2上，所以y1x，再将式代入y1x，得(1)2x2(1)y(1)x2.(1)2x2(1)y(1)2x22(1)x2.2(1)x(1)y(1)0.因0，两边同除以(1)，得2xy10.故所求点P的轨迹方程为y2x1.20(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1、F2分别为椭圆1的左、右焦点已知F1PF2为等腰三角形 (1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足2，求点M的轨迹

8、方程解(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，由题意，可得|PF2|F1F2|，即2c，整理得2210，得1(舍)或，所以e.(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2.直线PF2方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0，解得x10，x2c，得方程组的解不妨设A， B(0，c)设点M的坐标为(x，y)，则，(x，yc)由y(xc)，得cxy，于是，(x，x)，由2，即xx2，化简得18x216xy150.将y代入cxy，得c0，所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x216xy150(x0)21(本小题满分12分)已知动直线l与椭圆C

9、：1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且OPQ的面积SOPQ，其中O为坐标原点(1)证明xx和yy均为定值；(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|PQ|的最大值；(3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得SODESODGSOEG？若存在，判断DEG的形状；若不存在，请说明理由解(1)证明：1)当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称所以x2x1，y2y1，因为P(x1，y1)在椭圆上，因此1.又因为SOPQ.所以|x1|y1|.由得|x1|，|y1|1，此时xx3，yy2.2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm.由题意知m0，将其代入1得(23k2)x26kmx

10、3(m22)0.其中36k2m212(23k2)(m22)0.即3k22m2.(*)又x1x2，x1x2.所以|PQ|.因为点O到直线l的距离为d.所以SOPQ|PQ|d又SOPQ.整理得3k222m2，且符合(*)式此时，xx(x1x2)22x1x2223.yy(3x)(3x)4(xx)2.综上所述，xx3；yy2，结论成立(2)解法一： 1)当直线l的斜率不存在时由(1)知|OM|x1|.|PQ|2|y1|2.因此|OM|PQ|2.2)当直线l的斜率存在时，由(1)知：.kmm.|OM|222.|PQ|2(1k2)2.所以|OM|2|PQ|222.所以|OM|PQ|，当且仅当32，即m时，

11、等号成立综合1)2)得|OM|PQ|的最大值为.解法二：因为4|OM|2|PQ|2(x1x2)2(y1y2)2(x2x1)2(y2y1)22(xx)(yy)10.所以2|OM|PQ|5.即|OM|PQ|，当且仅当2|OM|PQ|时等号成立因此|OM|PQ|的最大值为.(3)椭圆C上不存在三点D，E，G，使得SODESODGSOEG.证明：假设存在D(u，v)，E(x1，y1)，O(x2，y2)满足SODESODGSOEG，由(1)得u2x3，u2x3，xx3，v2y2，v2y2，yy2，解得：u2xx，v2yy1.因此，u，x1，x2只能从中选取，v，y1，y2只能从1中选取，因此D、E、G只

12、能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点与SODESODGSOEG矛盾所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.22(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)，已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.(i)若AF1BF2，求直线AF1的斜率；(ii)求证：PF1PF2是定值解(1)由题设知a2b2c2，e.由点(1，e)在椭圆上，得1，解得b21，于是c2a21，又点在椭圆上，所以1，即1，解得a22.因此，所求椭圆的方程是y21.(2)由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x1my，直线BF2的方程为x1my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y10，y20.由得(m22)