通信原理第2章.ppt

1、通信原理 2008年,通信原理电子教案,通信原理教学组编写,通信原理 2008年,通信原理电子教案,第二章 随机信号分析,通信原理 2008年,第二章 随机信号分析, 2.1 随机过程的基本概念和统计特性 2.2 平稳随机过程 2.3 高斯随机过程 2.4 随机过程通过线性系统 2.5 窄带随机过程 2.6 正弦波加窄带高斯噪声,通信原理 2008年,本章学习目标,随机过程 的 基本概念 与 统计特性; 随机过程 的 数字特征（均值、方差、相关函数）; 随机过程的 平稳性、各态历经性、自相关函数 的 性质、相关函数 与 功率谱密度 的 关系; 高斯随机过程 的 定义、性质，其 一维概率密度函数

2、 和 正态分布函数 ，高斯白噪声; 随机过程 通过 线性系统，其 输出过程 的 均值 、 自相关函数 和 功率谱密度 、带限白噪声 ; 窄带随机过程 的 表达式 ，其 包络、相位 的 统计特性 ，其 同相分量 、正交分量 的 统计特性 ； 正弦波加窄带高斯过程 的 合成包络 的 统计特性 。,通信原理 2008年,第二章 随机信号分析,载有 信息 的 信号 是 不可预测的 ，或者说 带有某种 随机性 ； 干扰 信息信号 的 噪声 更是 不可预测的 。 这些 不可预测 的 信号 和 噪声 都是 随机过程 。,但 随机信号 和 噪声 的 不可预测性 的 意义 则是 完全不同 。 随机信号的 不可预

3、测性 是它 携带信息的能力； 而 噪声的 不可预测性 则是 有害的 ，它将使 有用信号 受到污染 。,通信原理 2008年,本章将 扼要介绍 通信系统 所必需的 内容 。 即 随机过程 的 基本概念 、统计特性 及其 通过线性系统 的 分析方法 ； 并 主要介绍 用于全书的 几个 重要结论 ，这些 对于 设计 通信系统 及其 性能的评估 都是 十分 有用的 .,第二章 随机信号分析,通信系统中，随机过程 是 重要的 数学工具 。 它在 信息源 的 统计建模 、信源输出 的 数字化 、信道特性 的 描述 以及 评估 通信系统的性能 等方面 都是 很重要的 。,通信原理 2008年,2.1 随机过

4、程的基本概念和统计特性,一、随机过程,例子：设有 n 台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果表明，n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。,随机过程 更严格的定义：设 Sk (k=1, 2, ) 是随机试验。 每次试验都有一条时间波形（称为 样本函数 或 实现），记作 xi(t)，所有可能出现的结果的总体 x1(t) , x2(t) , , xn(t) , 就构成一随机过程，记作(t) 简言之， 无穷多个样本函数的总体 叫做随机过程，如图 2 - 1 所示。,通信原理

5、 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,随机过程的 基本特征 体现在两个方面：其一，它是一个 时间函数；其二，在固定某一观察时刻 t1 上，全体样本在 t1 时刻的取值 是 一个不含 t 变化的 随机变量。,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,二、 随机过程的统计特性,设(t) 表示 一 随机过程，在任意给定时刻 t1T ，(t1) 小于或等于某一数值 x1 的概率 P (t1)x1 ，简记为 F1( x1 , t1 ) ，即,称为 随机过程(t) 的 一维分布函数 。,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,随机过程的 一维分布函数 或

6、 一维概率密度函数仅仅描述了 随机过程 在各个孤立时刻上 的 统计特性 , 而 没有说明 随机过程 在不同时刻 取值之间的 内在联系 ，为此 需要 进一步 引入 二维分布函数 。,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,则称 f2 ( x1, x1; t1 , t2 ) 为(t) 的 二维概率密度函数 。 同理，可定义(t) 的 n 维分布函数 和 n 维概率密度函数 ：,显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。但问题的复杂性也随之增加。 在 一般实际问题 中， 掌握 二维分布函数 就已经足够了。,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,三、随

7、机过程的数字特征,分布函数 或 概率密度函数 虽然能够 较全面地 描述 随机过程的统计特性 。但是，有时 不易 或 不需求出 分布函数 和 概率密度函数 ，而用 随机过程 的 数字特征 来描述 随机过程的统计特性 ，更简单直观 。,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,b) 方 差,D(t) 常记为 2(t) 。可见 方差 等于 均方值 与数学期望平方 之差 。它 表示 随机过程 在时刻 t 对于均值 a(t) 的 偏离程度 。 均值和方差 描述了 随机过程 在 各个孤立时刻 的特征，为 描述 随机过程 在两个不同时刻 状态之间的联系，还需 利用 二维概率密度 引入 新的

8、数字特征 .,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,c) 相关函数,协方差函数 定义 为:,衡量 随机过程 在任意两个时刻 获得的 随机变量之间 的 关联程度 时 ，常用 协方差函数 B(t1, t2) 和 相关函数 R (t1 , t2) 来表示。,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,相关函数 定义为,由 协方差函数 与 相关函数 的 定义式 可知，二者关系 为 ：,若 a(t1) = 0 或 a(t2) = 0，则B(t1, t2) = R(t1, t2) 。 若 t2 t1 ，并令 t2 = t1 +，则 R(t1, t2) 可表示为 R (

9、t1 , t1+) 。 这说明，相关函数 依赖于 起始时刻 t1 及 t2 与 t1 之间的 时间间隔， 即 相关函数 是 t1 和的函数 。 ,通信原理 2008年,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,由于 B(t1, t2) 和 R(t1, t2) 是 衡量 同一过程 的 相关程度 ，又常分别 称为 自协方差函数 和 自相关函数 对于 两个 或 更多个 随机过程 ，可引入 互协方差 及 互相关函数 。,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程，在通信领域中占有重要地位。,一、定义,所谓 平稳随机过程 ，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。

10、 设 随机过程 (t)，tT ，若 对于 任意 n 和 任意 选定 t1t2tn ， tkT ， k = 1 , 2 , n ，以及 h 为 任意值 ， 且 x1 , x2 , , xnR ，有,统计特性与起 始时间无关,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,则 称是 狭义平稳随机过程 或 严平稳随机过程 。,具体到它的一维分布，则与时间 t 无关，而二维分布只与时间间隔 有关，即有,设有一个随机过程(t) ，它的 均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为 宽平稳随机过程 或 广义平稳随机过程 。 严平稳随机过程只要它的均方值E2(t)有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成

11、立。,数字特征与起 始时间无关,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,如果 平稳 随机过程 依 概率 1 使 下式成立,则称 该 平稳 随机过程 具有 各态历经性 。,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。 因此，只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,左端 概率数字特征

12、右端 时间数字特征,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程, 的 平均功率 的 直流功率 的 偶函数 的 上界 方差， 的交流功率,当 均值 为 0 时，有,具有 下列 主要性质：,设(t) 为 实平稳随机过程 ，则 它的 自相关函数,代入 性质 1， 2，就得到方差定义式,只与时间间隔有关,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,四、平稳随机过程的功率谱密度,确知的 非周期 功率信号 的 自相

13、关函数 与其 功率谱密度 是 一对 傅氏变换关系 。 对于 平稳随机过程 ，也有 类似的关系 ，即,于是,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,因为 R(0) 表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此， 必然是 平稳随机过程的功率谱密度函数。,简记为,关系式（2.2-18）称为 维纳-辛钦关系。,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,【例2-1】 某随机相位余弦波 ，其中 A 和 均为常数，是在 (0 , ) 内均匀分布的 随机变量。 （1） 求 的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论 是否具有各态历经性。 pp. 18 例2.4.1,均匀分布，概率密度函数,

14、通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,因为 数学期望为常数，自相关函数只与 有关，所以， 是广义平稳。,通信原理 2008年,2.2 平稳随机过程,(2) 现在来求 的时间平均，根据式(2.2-6) 可得：,比较统计平均与时间平均，得 ，因此，随机相位余弦波是各态历经的。,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,高斯过程 是通信领域中最重要的一种过程。在实践中观察到的 大多数噪声 都是 高斯过程 。,(2.3-1),|B| 归一化协方差 矩阵的行列式 bjk 归一化协方差 |B|jk |B| 中元素 bjk 的代数余因子 ak tk 时刻 数学期望 方差,通信原理 2008年,2.3

15、 高斯随机过程,式中, ak = E(tk) ， = E(tk)ak 2，|B| 为 归一化协方差 矩阵 的 行列式 ，即,|B|jk 为 行列式 |B| 中 元素 bjk 的 代数余因子，bjk 为归一化 协方差函数 ，且,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,二、重要性质,由 式(2.3-1) 可以看出，高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的 数学期望、方差 和 两两之间的归一化协方差函数 所决定。 因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。,如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由 性质(1) 知，它的 n 维

16、分布 与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的 .,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,如果高斯过程在不同时刻的取值 是 不相关 的，即对所有 j k 有 bjk= 0 ，这时 式(2.3-1) 变为,高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。,那么高斯过程中的这些随机变量也是 统计独立 的 .,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,以后 分析问题 时 ，会经常 用到 高斯过程 中 的一维分布 。 高斯过程 在 任一时刻 上 的 样值 是一个 一维 高斯随机变量 ，其 一维概率密度函数 可表示为：,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,图2-3

17、正态分布的概率密度,(3) a 表示 分布中心 ， 表示 集中程度 ， f (x) 图形 将随着 的减小 而 变高 和 变窄 。 当 a = 0 ，= 1 时，称 f (x) 为 标准正态分布的概率密度函数 。,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,当需要 求 高斯随机变量 小于 或 等于 任意取值 x 的 概率 P(x) 时，还要 用到 正态分布函数 。 正态分布函数 是 概率密度函数 的 积分 ，即,这个积分 难于计算 ，我们要 设法 把 这个积分式和 可在数学手册上查出积分值的 特殊函数 联系起来 . 一般 常用 误差函数 和 互补误差函数 ：,三、正态分布函数与误差函数,通信原理

18、 2008年,2.3 高斯随机过程,误差函数：,它是 自变量 的 递增函数 。有 下列 特性：,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,它是 自变量 的 递减函数 。有 下列 特性：,当 时（实际应用中只要 ），即可近似有：,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,经过 变量代换 ，不难得到,用 误差函数 或 互补误差函数 表示 F(x) 的 好处 是它 简明的特性 有助于 今后 分析 系统 的 抗噪声性能 .,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,比较 式(2.3-8) 与 式(2.3-10) 和 式(2.3-11) ， 可得：,互补误差函数与概率积分函数、Q函数之间的转换关系

19、,通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,四、高斯白噪声,信号在信道中传输时，常遇到这样一类噪声，它的 功率谱密度 均匀分布在整个频率范围内，即,这种噪声被称为 白噪声 ，它是 一个 理想的 宽带随机过程 。式中 n0 为 一 常数 ，单位 是 瓦/赫 。 显然，白噪声 的 自相关函数 为,(2.3-18),通信原理 2008年,2.3 高斯随机过程,这说明，白噪声只有在= 0 时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。 白噪声功率谱 和 自相关函数 的图形如下所示：,如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为 高斯白噪声 。,图2-4 白噪声的谱密度和自相关函数,通信原理 20

20、08年,2.3 高斯随机过程,我们所定义的这种白噪声在实际中是不存在的。 但是，如果 噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于 通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。,高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是 统计独立 的。,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中 必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出将是什么样的过程？,我们 只考虑 平稳过程 通过 线性时不变系统 的 情况 。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。,线性系统的响应

21、 vo(t) 等于 输入信号 vi(t) 与系统的单位冲激响应 h(t) 的卷积，即,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,若,则有,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,显然，输入过程i(t) 的 每个样本 与 输出过程o(t) 的 相应样本 之间 都满足 式(2.4-4) 的关系 。 这样，就整个过程而言，便有,假定 输入i(t) 是 平稳随机过程 ， 现在来分析系统的随机输出过程o(t) 的统计特性。,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,式中利用了 平稳性假设,由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数 H(0) 的乘积

22、，且与 t 无关。,一、输出过程 o(t) 的数学期望,且是常数,且是常数,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,二、输出过程 o(t) 的自相关函数,可见, o(t) 的 自相关函数 只依赖时间间隔而与时间起点 t1 无关。,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的 。 ,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,令,， 则有：,【例2-1】 带限白噪声。试求功率谱密度为 n0/2 的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通

23、的传输特性为：,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,解：,可见，输出噪声的功率谱密度在 |H 内是均匀的，在此范围外则为零，如图2-5(a)所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,图2-5 带限白噪声的功率谱 和 自相关函数,由此可见，带限白噪声只有在= k/2fH ( k=1, 2, 3, )上得到的随机变量才不相关。即，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。带限白噪声的平均功率：,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,四、输出过程 o(t) 的 概率分布,在已知输入

24、过程分布的情况下，通过下式,一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型，则系统的输出过程也是高斯型。 因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即：,总可以确定输出过程的分布。,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,由于i(t) 已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 都是一个高斯随机变量。 因此，输出过程 在 任一时刻 得到的 每一 随机变量 ，都是 无限多个 高斯随机变量 之和 。,由 概率论 得知，这个 “和” 的随机变量 也是 高斯随机变量 。,这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。

25、但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的 数字特征 已经改变 了。,通信原理 2008年,2.4 随机过程通过线性系统,结 论 ：,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,窄带系统 ，是指 其 通带宽度f f c ，且 f c 远离零频率 的 系统 。,窄带随机过程 ，随机过程 通过 以 f c 为中心频率的窄带系统的输出，即是 窄带随机过程 。,实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过程。 如用示波器观察其一个实现的波形，它是一个频率近似为 f c 、包络和相位随机缓变的正弦波。,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,图2-6

26、窄带过程的频谱和波形示意,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,因此，窄带随机过程(t) 可用下式表示：,等价式为：,其中, 式中, a(t) 及(t) 分别是(t) 的随机包络和随机相位；c(t) 及s(t) 分别称为(t) 的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波 cosc t 的变化要缓慢得多。,随机包络,随机相位,同相分量,正交分量,(2.5-2),(2.5-3 , 4),通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,一、同相和正交分量的统计特性,设窄带过程(t) 是 平稳高斯窄带过程，且 均值为零，方差 为 。,1.数学期望,已设(t) 平稳且均值为零，所

27、以,确定信号（函数），而求 数学期望 只对 随机过程 进行统计平均。,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,2. 自相关函数,式中：,(2.5-7),通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,因为(t) 是 平稳 的，故有,这就要求 式(2.5-7) 的右边也应该与 t 无关，而仅与时间间隔 有关。,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,所以，式(2.5-8) 变为,由以上分析可知，如果窄带过程(t) 是平稳的，则 与 也必将是平稳的。,(2.5-9),通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,式(2.5-9) 和 式(2.5-10) 应同时成立，故有,可见，同相分量 和正交分

28、量 具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有,(2.5-12),通信原理 2008年,(2.5-15),2.5 窄带随机过程,式(2.5-13)、(2.5-14) 说明，c(t)、s(t) 的 互相关函数 Rsc()、Rcs() 都是的奇函数，在= 0 时,这表明(t)、c(t) 和s(t) 具有 相同的 平均功率或 方差（因为 均值 皆为 0）。,R(0) 平均功率；方差是交流功率；期望均值的平方是直流功率,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,另外，因为(t) 是平稳的，所以(t) 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在 式(2.5-2)中有,所以 c(t1)

29、， s(t2) 也是 高斯随机变量，从而c(t) 、 s(t) 也是 高斯随机过程 。,对于平稳随机过程，某时刻服从高斯分布，则任何时刻都服从高斯分布,又根据 式(2.5-15) 可知， c(t) 、 s(t) 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是 统计独立 的。,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,综上所述，我们得到一个重要结论： 一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同相分量c(t) 和正交分量s(t) 也是平稳高斯过程， 而且 均值都为零，方差也相同。 此外， 在同一时刻上得到的c 和s 是互不相关的 或 统计独立的 。,通信原理 2008年,2.5 窄带随

30、机过程,二、包络和相位的统计特性,由上面的分析可知，c 和s 的 联合概率密度函数 为,偏导数矩阵的行列式,(2.5-18),统计独立,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,根据 式(2.5-3) 和 (2.5-4) ，在 t 时刻随机变量之间的关系,得到,通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,于是,注意，这里 a0 ，而 在 (0 , 2) 内取值 。 再利用概率论中边际分布知识将 对 积分， 可求得包络 的一维概率密度函数为：,(2.5-20),通信原理 2008年,2.5 窄带随机过程,可见， 服从瑞利分布。同理：,可见， 服从均匀分布。,综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零，方差为 的窄带平稳高斯过程(t) ， 其 包络 的一维分布是瑞利分布，相位 的一维分布是均匀分布。并且就一维分布而言， 与 是统计独立的，即有下式成立：,通信原理 2008年,2.6 正弦波加窄带高斯噪声,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波