02 平行四边形教师版初一竞赛进度一

1、12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 1 第 02 讲 平行四边形 【凸四边形的分类】 一般凸四边形 一般平行四边形 矩形 平行四边形 菱形 正方形 凸四边形 一般梯形 直角梯形梯形 特殊梯形 等腰梯形 【平行四边形的定义】 两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 【平行四边形的性质】 对角相等，邻角互补 对边平行且相等 对角线互相平分 关于对角线交点成中心对称图形 【平行四边形的判定】 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 两组对边分别相等 两组对角分别相等 两条对角线互相平分 【两平行线间的距离】 夹在两条平行线间的平行线段相等，平行线间的距离处处相等 12 教育

2、教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 2 【例题讲解例题讲解】 【例题【例题1】下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是 （ ） 【例题【例题2】在平行四边形ABCD中的，若A：B=5：4，求C的度数 【例题【例题3】如图所示，在平行四边形ABCD中，/EFAB，/GHAD，EF与GH交 于点O，求该图中的平行四边形的个数 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 3 【例题【例题4】已知如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF求证： （1）ADFCBE； （2）EBDF； （3）试判断四边形DEBF

3、的形状 【例题【例题5】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延 长线相交于点F （1）求证：ABEDFE； （2）试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论 （一边平行且相等） 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 4 A B C D E F 【例题【例题6】如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边 ABE已知BAC=30 ，EFAB，垂足为F，连结DF （1）试说明AC=EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形 解： （1） ：， 333 222 A CA B E FA EA B A

4、CA E （2）证明： 000 603090DAFEFA ，ADEF且AD=EF 【例题【例题7】如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与EB交于 点G，CE与DF交于点H试说明四边形EGFH的形状 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 5 【例题【例题8】如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，且AE=CF （1）求证：ABECDF； （2）若M，N分别是BE，DF的中点，连结MF，EN，试判断四边形MFNE是怎 样的四边形，并证明你的结论 （判定性质） （一边平行且相等） 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度

5、竞赛进度一一（2） 6 【例题【例题9】如图，、EF是平行四边形ABCD的对角线AC 上的点，CEAF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎 样的关系？并对你的猜想加以证明 猜想：BEDF 证明：四边形ABCD是平行四边形， 2 分 CBAD，CBAD BCEDAF 在BCE和DAF， CBAD BCEDAF CEAF BCEDAF 5 分 BEDF，BECDFA， BEDF 即BEDF （1）“从已知看可知”，是一种常见的思考问题的方法；在含有平行四边形的图形中，由平 行四边形的性质，可以找出许多对相等的线段和角来 （2）要证明两条线段相等，一般可证它们是一对全等三角形的对应边或平行四边形的对

6、边，必要时也可以设法证明它们都等于第三条线段 【例题【例题10】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点 F在AD上，AF=AB，求证：EF=FC E BC D A F 证明：BE=AD，AF=AB B C D E F A 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 7 AE=DF 四边形ABCD是平行四边形 AB=CD，ABCD AF=CD，EAF=D AEFDFCEF=FC 【例题【例题11】如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，ACab， BDac，ABm求m得取值范围 解： 过点C作CE/DE交DB的延长线于E，见

7、图 72 图 72 易证四边形DBEC是平行四边形，所以CEDBac，BEDCABm，即 2AEm，在ACE中，|ACCEAEACCE，即 11 |(2) 22 bcmabc 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 8 【例题【例题12】如图所示，P为等边ABC内一点，PD/AB，PE/BC，PF/AC，求证：PD PEPF为定值 【例题【例题13】如图，在平行四边形ABCD中，2ADAB，点EF、分别在BAAB、的延长 线上，且EABFAB，联结ECDF、求证：ECDF 证明：在证明：在平行四边形平行四边形ABCD中，中，/ABCD 15,24 又又,2,EABFA

8、B ADAB ADBC 0 ,23,17 1 34,571 8 0 2 A FA D B EB C D O CDC 000 1809090 O 2 G 7 6 5 4 3 1 B A F C D E 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 9 或或AEG()DCG AAS GDDC且且DO平分平分GDC 故故ECDF 【例题【例题14】已知ABC中，BAC=90，ADBC于D，角B的平分线交AD于E，EF BC交AC于F，求证：AE=FC 【例题【例题15】以平行四边形ABCD两邻边BC，CD为边向外作正三角形BCP，正三角形 CDQ，求证：APQ为正三角形 12 教

9、育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 10 【例题【例题16】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB边上的点，且 BEDF，BE与DF交于点G求证：GC平分BGD 解：如图所示，连接CE、CF，过点C作CMBE，CNDF，垂足分别为M、N 因为 1 2 BCEABCD SS ， 1 2 CDFABCD SS ，所以 BCECDF SS 1 2 BCE SBE CM ， 1 2 CDF SDF CN ，所以BEDF，所以CMCN 因为CMBE，CNDF，故GC平分BGD 作业 1.对于下列猜想，正确的给出证明，错误的举出反例 （1）一组对边平行，一组对角相

10、等的四边形是平行四边形 （2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 （4）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 （5）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 （6）一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 11 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 12 2.如图，ACD 与AEB 都是等腰直角三角形，CAD=EAB=90，四边形 ABCD 是平 行四边形，下列结论中错误

11、的是（ ） AACE 以点 A 为旋转中心，逆时针方向旋转 90后与ADB 重合 BACB 以点 A 为旋转中心，顺时针方向旋转 270后与DAC 重合 C沿 AE 所在直线折叠后，ACE 与ADE 重合 D沿 AD 所在直线折叠后，ADB 与ADE 重合 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 13 3.如图 23，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD 垂足分别为E、F （1）求证：ABECDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO 证明： （1）BF=DE 所以：BF-EF=DE-FE 即：BE=DF 由于AEBD，CFBD，

12、所以ABE和CDF均是直角三角形， 在ABE 和CDF中，AB=CD，BE=DF，由HL得ABECDF （2）证法一：由（1）ABECDF可知ABE=CDF， 所以：ABCD，又由已知可知AB=CD， 所以：四边形ABCD是平行四边形， 因此：AO=CO(平行四边形对角线互相平分) 证法二:由（1）ABECDF可知AE=CF， AEBD，CFBD，所以，AECF， 由平行四边形的判断可知，四边形AECF是平行四边形， 因此:AO=CO(平行四边形对角线互相平分) 证法三:由（1）ABECDF可知ABE= CDF， 在ABO和CDO中， ABE=CDF(已证) AOB=COD(对顶角相等) AB

13、OCDO（AAS） AB=CD(已知) 因此:AO=CO A B C D E F （第23题） 12 教育教育 寒假班寒假班 初一初一竞赛进度竞赛进度一一（2） 14 备用： 1.平面上有三个正ABD、ACE、BCF，两两共有一个顶点。求证：CD 与 EF 互相平 分。 解解: :连接连接 CD,EF,DE,DF.CD,EF,DE,DF. ABD,ACE,BCFABD,ACE,BCF 为等边三角形为等边三角形 BA=AD=BD BA=AD=BD BF=BC=FC CE=CA=EA BF=BC=FC CE=CA=EA DBA=DBA=FBC=FBC=CAE=CAE=BAD=60BAD=60 DB

14、A=DBA=FBC=60FBC=60CAE=CAE=BADBAD=60=60 DBF=ABC DBF=ABC CAB=CAB=EADEAD DB=AB DB=AB DBF=DBF=ABC ABC BF=BC BF=BC DBFDBFABC ABC DF=CA DF=CA CA=CE CA=CE DF=CEDF=CE CA=EA CA=EA CAB=CAB=EAD BA=DA EAD BA=DA CABCABEAD BC=DE EAD BC=DE BC=FC BC=FC DE=CFDE=CF DF=CE DE=CF DF=CE DE=CF 四边形四边形 CEDFCEDF 为平行四边形为平行四边形 EFEF 与与 CDCD 互相平分互相平分. . 2如图，AD、BC 垂直相交于点 O，ABCD，又 BC = 8，AD = 6，求：ABCD 的长 解：过点 C 作CEAD交 BA 延长线于 E， ABCD，四边形 AECD 是平行四边形， AE = CD，BCE =BOA =90， CE = AD = 6， BE = 22 CEBC = 22 68 = 10 BE = ABAE =ABCD， ABCD = 10 3如图， 已知在ABCD中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O， AEBD 于 E， BFAC 于 F， CGBD 于 G，DHAC 于 H，求证：四边形 EFGH