10菱形秋季班初二自招进度二教师版

1、第十讲 菱形 【知识点】 【菱形的定义】 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 【菱形的性质】 具有平行四边形的所有性质 四条边都相等 对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角 既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线 【菱形的判定】 四条边都相等的四边形 有一组邻边相等的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 有一条对角线平分一组对角的平行四边形 【菱形面积公式】 菱形1 2 1 2 Sdd（ 1 2 d d为菱形对角线的长） 【例题精讲】 【例题1】（1）两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形； （2）两条对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是菱形； （3）两条对角

2、线分别平分两组对角的四边形是菱形； （4）两条对角线互相垂直且有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形 上述 4 个命题正确的为_。 答案： （2） 、 （3） 。 【例题2】若菱形的两条对角线长为 6cm 和 8cm，求该菱形的高。 【例题3】若菱形的一条对角线长是另一条对角线长的 2 倍，且菱形的面积为 16 2 cm，求菱 形的周长。 【例题4】如图， 菱形ABCD中， AB=4， E为BC的中点， AEBC于点E， AFCD于点F， CGAE,CG 交 AF 于点 H，交 AD 于点 G。 （1）求菱形 ABCD 的面积； （2）求CHA 的度数。 【例题5】 如图,已知菱形ABCD的对

3、角线相交于点O,延长AB至点 E,使BE=AB,连结CE. (1)求 证:BD=EC; (2)若E=50 ,求BAO的 大小. 【解析】 （1）证得四边形 BECD 是平行四边形即可； （2）先证ABOE50 .再证BAO 90 ABO40 . 【答案】 （1）菱形 ABCD，ABCD,ABCD,又BE=AB，四边形 BECD 是平行四边 形，BD=EC. （2） 651HACHACGBBECD,BDCE,ABOE50 .又 菱形 ABCD，ACBD,BAO90 ABO40 【点评】 本题主要考查学生的逻辑推理能力， 要求能灵活运用菱形的性质及平行四边形的判 第19题 O CD B E A 定

4、、性质进行推理论证.中档题. 【菱形的判定】 【例题6】如图，在 RtABC 中，ACB=90，BAC=60，DE 垂直平分 BC，垂足为 D,交 AB 于点 E。又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE。求证：四边形 ACFE 是菱形。 【例题7】矩形 ABCD 对角线相交与 O，DE/AC，CE/BD. 求证：四边形 OCED 是菱形. 解析：可以先证四边形 OCED 是平行四边形，再找一组邻边相等. 解：因为 DE/AC，CE/BD， 所以四边形 OCED 是平行四边形. 又因为在矩形 ABCD，BD、AC 是对角线， 所以 AC=BD，OC=OD=OCAC=5AC BD. 所以四

5、边形 OCED 是菱形. 点评：熟练掌握菱形判断方法是解题的关键. 【例题8】 在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点. （1）求证： MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由. 【解析】 （1）根据矩形的性质和中点的定义，利用 SAS 判定 MBANDC； （2）四边形 MPNQ 是菱形，连接 AN，有（1）可得到 BM=CN，再有中点得到 PM=NQ， 再通过证明 MQDNPB 得到 MQ=PN，从而证明四边形 MPNQ 是平行四边形，利用三 角形中位线的性质可得：MP=MQ，进而证明四边形 MQNP 是菱形 【答案】证

6、明： （1）四边形 ABCD 是矩形，AB=CD，AD=BC，A=C=90 ，在矩 形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，AM=15AD，CN=3BC，AM=CN，在 MABNDC， AB=CD，A=C=90 ，AM=CN，MABNDC； （2）四边形 MPNQ 是菱形，理由如下：连接 AN，易证： ABNBAM，AN=BM， MABNDC，BM=DN，P、Q 分别是 BM、DN 的中点，PM=NQ，DM=BN， DQ=BP，MDQ=NBP，MQDNPB四边形 MPNQ 是平行四边形，M 是 AB 中点，Q 是 DN 中点，MQ=2AN，MQ=3BM，MP= 3 3 2 BM，

7、MP=MQ，四 边形 MQNP 是菱形 【点评】 此题主要考查了菱形的判定与矩形的判定， 灵活地应用矩形与菱形的性质是解决问 题的关键 A D C B M N P Q 【例题9】 如图，已知平行四边形ABCD，过A作AMBC与M，交BD于E，过C作CN 于，交于，连结AF、CE. （1）求证：四边形 AECF 为平行四边形； （2）当 AECF 为菱形，M 点为 BC 的中点时，求 AB：AE 的值。 考点：平行四边形的判定，菱形的判定 解答： （1）证明：因为 AEBC，所以AMB=90， 因为 CN，所以CNA=90又因为 BCAD，所以BCN=90 所以 AECF 又由平行得ADE=CB

8、D,AD=BC 所以 ADEBCF，所以 AE=CF 因为 AECF，AE=CF 所以四边形 AECF 为平行四边形. （2）当平行四边形 AECF 为菱形时，连结 AC 交 BF 于点 O， 则 AC 与 EF 互相垂直平分， 又 OB=OD, 所以 AC 与 BD 互相垂直平分 所以，四边形 ABCD 为菱形 所以 AB=BC 因为 M 是 BC 的中点，AMBC， 所以 ABMCAM， 所以 AB=AC 为等边三角形， 所以ABC=60，CBD=30 在 RT BCF 中，CF:BC=tanCBF= 1 2 , 又 AE=CF,AB=BC, 所以 AB：AE=3 点评：本题考查了平行四边

9、形的判定，菱形的性质，解直角三角形的有关知识。解决此类综 合问题的关键在于根据已知图形，联想到它的性质，选择其中的部分性质进行计算或证明。 【综合运用】 【例题10】如图， 菱形OABC绕O顺时针旋转 90， 得四边形OA B C， 已知120A ， OA=1，由、BA、，CB围成面积为S，求S. 【例题11】如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，EC=2a，120BAD，P在BD 上，求PE+PC的最小值。 【例题12】如图，在一张长 12cm，宽 5cm的长方形纸片内，要折出一个菱形。李杰同学按 照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张红同学沿长方形的对角线AC折出 CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）。请你通过计算，比较两名 同学的折