关于GIS中三种地面曲率的探讨

1、第1 0 卷第6 期 201 1 年6 月 南阳师范学院学报 j o u m a lo fn a n y a n gn o n n a lu n i v e r s i t y v 0 1 1 0n o 6 j u n 2 0 1 1 万方数据 第6 期范红艳等：关于g i s 中i 种地面曲率的探讨 6 7 削面曲颤 耀 、 、 图l剖面曲率、正切线曲率和等高线曲率“1 动加速，k 。 0 表明物质在此处分流，该点接近山脊部，甄 0 表 明物质在此处汇聚，该点靠近山谷部x 。和毛图 通常可以揭示出谷脊线呈突起状或阶梯状，还可以 用在很多领域，如k 。和如在大尺度区域中模拟土 壤湿度、土层厚度

2、、土壤侵蚀、山崩石头的散布、植 被等k 。和蚝也可用于不同尺度的地貌研究，k 图已用于中小尺度的土壤制图，s t e p a n o v ( 1 9 8 6 ) 、 k u r y a k o v a 和f l o r i n s k y ( 1 9 9 1 ) 利用k 。图研究区域 尺度和次大陆尺度地质构造、地貌和土壤的空间相 关规律k 。和k 图还用于识别显示断层、地质断 陷线等引等高线曲率是等高线方向的变化率，反 映了坡向的变化等高线曲率最早用于水文分析， k r c h o ( 1 9 9 1 ) 、m i t a s o v a 和h o f i e r k a ( 1 9 9 3

3、) 提出正切 曲率更适合水文分析4 笛卡尔坐标系中，菇、，表示空间位置，z = ( 菇， y ) 表示地形曲面函数，假定函数具有单值性、连续 性和二阶可导性，则三种曲率的计算公式3 ”1 为： 剖面曲率： 耻一面等等筹知 等高线曲率： e ：一每瓣 ( 5 ) 正切曲率： 甄一面籍芎筹知 其中， p = 煮，是并方向高程变化率； 口= 警，是y 方向高程变化率； r ：等，是戈方向高程变化率的变化率； s = 专，是石方向高程变化率在，方向的变 化率o t = 兰，是y 方向高程变化率的变化率 d ， z lz 2z 3 z 4z 5z 6 z 7z 8z 9 图23 3 地形窗口 z l z

4、 9 分别代表各个栅格的高程值 3 地面曲率的计算方法 g i s 中地面曲率的计算大多是基于d e m 数据 的，由离散的数据计算曲率有不同的算法常见的 有a r c g i s 软件采用的四次表面模型算法、基于空 间矢量模型的差分计算和汤国安提出的s o s s o a 法 3 1 四次表面模型 z e v e r b e r g e n 和t h o m e ( 1 9 8 7 ) 提出了一种计算 算法，构造一个含有9 个参数的四次方程( 髫、y 的 最高次数为2 ) 6 | ，见公式( 7 ) 函数的所有参数由 3 3 窗口( 如图2 ) 内的单元值唯一确定，函数经 过每个数据点，包括

5、中心单元系数a 、b 、c 、，在计 算曲率时未用到，可以忽略，系数d 一日由公式( 8 ) 一( 1 2 ) 计算，则中心格网的剖面曲率和正切曲率 的表达式变为表面函数系数组成的式子，见公式 ( 1 3 ) 、( 1 4 ) z = a 石2 ，2 + 凰2 ，+ ，2 + 肌2 + 研2 + 脚+ 酝 + 晰+ ，( 7 ) d = ( z 4 + z 6 ) 2 一z 5 儿2 ( 8 ) e = ( z 2 + 搦) 2 一z 5 2 ( 9 ) f = ( 一z l + z 3 + z 7 一z 9 ) 4 2 ( 1 0 ) g = ( 一z 4 + z 6 ) 2 ( 11 )

6、日= ( z 2 一z 8 ) 2 ( 1 2 ) 剖面曲率： 尺。= 一2 ( d g 2 + e 铲+ f g ) ( g 2 + 日2 ) ( 1 3 ) 正切曲率： k 。= 2 ( j d 日2 + e g 2 一f g 日) ( c 2 + 矿) ( 1 4 ) a r c g i s 把曲率乘以一1 0 0 ( z e v e r b e r g e n 和 t h o m e ( 1 9 8 7 ) 的建议) ，使大部分值落在 一l ，1 内并带有正负号。以保证正曲率的地方是凸起的， 负曲率的地方是凹陷的a r c g i s 还将修正后的正 万方数据 南阳师范学院学报第1 0

7、 卷 切曲率与剖面曲率之差定义为表面曲率，见公式 ( 1 5 ) ，负曲率表示为凹面，正曲率表示为 凸面”j 表面曲率= 一2 0 0 ( d + e )( 1 5 ) z e v e r b e r g e n 和t h o m e ( 1 9 8 7 ) 用术语“p l a n f o m c u r v a t u r e ”表示正切曲率，a r c g i s 用术语“p l a nc u r - v a t u r e ”表示正切曲率，显然其并不是水平方向的 曲率a r c g i s 中并未计算等高线曲率 3 2 基于空间矢量模型的差分计算 在d e m 数据的基础上，从微分几何思

8、想出发， 求出( 4 ) 一( 6 ) 曲率公式中的各导数p t ，即可求 出各曲率值不同的差分计算可以求出不同的曲率 值，差分计算常用的是三阶反距离平方权差分 对每个栅格点都确定一个3 3 分析窗口，如 图3 ( 1 ) ，口一i 分别代表各个栅格的高程值，表示 栅格大小p 、g 可由以下公式求出 p = 囊= 坐塑掣( 1 6 ) g ：耋：堕堕型亭趔( 1 7 ) g2 磊2 百r 一l ， 口 6c dp 耳 i 口，6 ，c 。 d 。p 。l ： 膏， 。 f ， 圈3 提取地面曲率的分析窗口 求出所有p 、q 值，则组成p 值栅格图( 见图3 ( 2 ) ) 和q 值栅格图( 见

9、图3 ( 3 ) ) 以此数据为基 础，进行差分运算，可求出r 、s 、t 2 ，见公式( 1 8 ) 、 ( 1 9 ) 和( 2 0 ) r = 害= 坐型幽川8 ) r21 = ：- = 一iloj d 茹 。厶 a 2 ：( 口：+ 2 6 ：+ c ：) 一( g ：+ 2 ：+ ) 4 一a 石a ，一8 ( 1 9 ) t = 雾= 坠坐幽( 2 0 )d ， o 厶 3 3 汤国安提出的s o s s o a 算法 剖面曲率为地面高程变化的二次导数，即坡度 在垂直方向的最大变化率；等高线曲率是地表曲面 沿水平方向的弯曲、变化情况，也就是该点所在的 地面等高线的弯曲程度，地形表面

10、上一点的平面曲 率也是对该点微小范围内坡向变化程度的度 量3 t a n g 1 83 已经证明，在a r c i n f o 等g i s 软件 中，地面剖面曲率的数字矩阵可以直接通过对 d e m 数据求取地面坡度的坡度( s l o p eo fs l o p e ， s o s ) 而获得；地面等高线曲率可通过求取地面坡 向的坡度( s l o p eo fa s p e c t ，s o a ) 而获得求取坡向 的坡度时，为消除北坡的误差，需要正、负地形分别 求s o a l 、s o a 2 ，然后利用公式( 2 1 ) 求取s o a s o a ：堡塑蔓坐4 掣型坚塑盟 z (

11、 2 1 ) 需要注意的是，这里的“坡度”并非是坡度，而 是按照坡度的算法实现了对坡度、坡向数据阵列中 其变化率的量化提取所获得的剖面曲率和等高线 曲率值在 0 0 ，9 0 0 内，并非是真实的曲率值，但却 真实地反映了坡度和等高线的变化率，可提取山 谷、山脊等地形因子，而且因其算法简单易于实现， 所以也称为剖面曲率、等高线曲率，有些教材中称 之为地面变率因子h o 4结语 由于教材对地面曲率的介绍较少，而且只有其 含义或某一种算法，使学生理解时有很多困惑本 文通过对曲率数学含义的阐述及对地面益率的辨 析，详细分析了剖面曲率、正切曲率和等高线曲率 的含义及差异，并探讨了曲率的三种常见算法，即

12、 四次表面模型算法( a r c g i s 所采用的算法) 、基于 空间矢量模型的差分计算方法( 通过常用g i s 软 件可以间接求得) 、s o s s o a 算法厘清了三种曲 率的关系，解决了g i s 教学中有关三种曲率理解上 的困惑三种曲率算法提取地形因子的精度，有待 进一步探讨 参考 文献 1 汤国安陈正江，赵牡丹，等a r c v i e w 地理信息系统 空间分析方法 m 北京：科学出版社，2 0 0 2 2 张宏，温永宁。刘爱利，等地理信息系统算法基础 m 北京：科学出版社，2 0 0 6 ：2 3 5 2 4 4 3 朱长青，史文中空间分析建模与原理 m 北京：科 学出

13、版社，2 0 0 6 ：1 7 3 一1 7 9 4 汤国安，刘学军，闻国年数字高程模型及地学分析 的原理与方法 m 北京：科学出版社，2 0 0 5 ：2 0 7 2 2 4 5 k a n g - t s u n gc h 8 n g 地理信息系统导论 m 陈健飞， 等译北京：科学出版社。2 0 0 3 ：2 2 8 2 3 3 6 郭仁忠空间分析【m 2 版北京：高等教育出版社， 2 0 0 l ：1 5 9 一1 6 5 7 吴立新，史文中地理信息系统原理与算法 m 北 京：科学出版社，2 0 0 3 ：3 2 3 3 2 9 8 黄杏元，马劲松地理信息系统概论 m 3 版北京： 高等

14、教育出版社，2 0 0 8 ：1 4 7 1 5 2 万方数据 第6 期范红艳等：关于g i s 中三种地面曲率的探讨 6 9 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 刘贵明地理信息系统原理及应用 m 北京：科学 出版社。2 0 0 8 ：1 5 4 一1 5 5 张成才，秦昆，卢艳，等g i s 空间分析理论与方法 m 武汉：武汉大学出版社2 0 0 4 ：9 4 9 8 庞进生，段学新，范建华高等数学 m 北京：经济 日报出版社，2 0 0 6 ：9 7 一l o o 刘学军。王叶飞。曹志东，等基于d e m 的地形曲率 计算模型误差分析 j 测绘科学，2 0 0 6 ，3 1 ( 5

15、 ) ：5 0 一5 3 s h 且r ypa ，s h a i 乜y als ，m i t u s o vav f u n d a m e n t a l q u a n t i t a “v em e t h o d 8o fl a n ds u r f h c ea n a l y s i s j g e o - d e m a ，2 0 0 2 1 0 7 ：i 一3 2 s c h m i d tj ，e v a n sis ，b r i n k m a n nj c o m p a r i s o no fp o l y - n o m i a lm o d e l 8f o rl

16、 a n dc u r f a c ec u r v a t u 他c a l c u l a t i o n j i n t e n l 8 t i o n a lj 0 u m a l “g e o g m p h i c a li n f 0 咖a t i o n 1 5 1 6 1 7 1 8 s c i e n c e s ，2 0 0 3 。1 7 ( 8 ) ：7 9 7 8 1 4 f l o r j n s k yiv d e r i v a “o no ft o p o g r a p h i cv a r i a b l e sf m m ad i g i t a le

17、l e v a t i o nm o d e lg i v e nb yas p h e r o j d a lt i 丑p e z o i d a lg r i d j i n t e m a t i o n a lj o u m a io fg e o g r a p h i c a ll n f o m a t i o ns c i e n c e b 1 9 9 8 。1 2 ( 8 ) ：8 2 9 8 5 2 z e v e r b e r g e nlw ，t h o m ecr q u a n t i t a t i v ea n a l y s i so f l 8 n ds

18、 u r f h c et o p o g m p h y j e a n hs u f f a c ep r d c e s s e 8 a n dl a n d f b 唧8 ，1 9 8 7 1 2 ( 1 ) ：4 7 5 6 m i c h a e ljd es m i t h 。m i c h a e lfg o o d c h i l d ，p a u la l o n g - 1 e y ，等地理空间分析：原理、技术与软件丁具 m 2 版杜培军张海荣，冷海龙，等译北京：电子工业 出版社2 0 0 9 ：2 0 4 2 1 8 t a n gg u o a n ar e s e

19、a r c ho nt h ea c c u m c yo fd i g i t a le l e v a t i o nm o d e l s m b e i j i n g ：s c i e n c ep 弛s 8b e i j i n g ，2 0 0 0 s t u d yo nt h r e es u r f a c ec u r v a t u r e si ng i s f a nh o n g y a n l ，q ip e n g - c h e n g ，h u a n gt i a n y o n 9 2 ( 1 陈正江;赵牡丹 arcview地理信息系统空间分析方法 2

20、002 2.张宏;温永宁;刘爱利 地理信息系统算法基础 2006 3.朱长青;史文中 空间分析建模与原理 2006 4.汤国安;刘学军;闾国年 数字高程模型及地学分析的原理与方法 2005 5.kang-tsung chang;陈健飞 地理信息系统导论 2003 6.郭仁忠 空间分析 2001 7.吴立新;史文中 地理信息系统原理与算法 2003 8.黄杏元;马劲松 地理信息系统概论 2008 9.刘贵明 地理信息系统原理及应用 2008 10.张成才;秦昆;卢艳 gis空间分析理论与方法 2004 11.庞进生;段学新;范建华 高等数学 2006 12.刘学军;王叶飞;曹志东 基于dem的地形曲率计算模型误差分析期刊论文-测绘科学 2006(05) 13.shary p a;sharaya l s;mitusov a v fundamental quantitative methods of land surface analysis外文期刊 2002 14.schmidt j;evans i s;brinkmann j comparison of polynomial models for land curface curvature calculation外文期刊 2003(08) 15