03 比例线段32015年寒假 初二数学竞赛进阶进度一班教师

1、 第三讲 比例线段（3）【例题1】 如图，在梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是AD，BC的中点，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的长【例题2】 已知O是平行四边形ABCD内的任意一点，过点O作EFAB，分别交AD，BC于E，F，又过O作GHBC，分别交AB，CD于G，H；连结BE，交GH于P；连结DG，交EF于Q如果，求证：平行四边形ABCD是菱形【例题3】 在ABC的边AB，BC，CA上分别取点M，K，L，使MKAC，MLBC令BL与MK交于P，AK与ML交于Q求证：PQAB【例题4】 在ABC中，A的平分线交BC于D，过D分别作AB，AC的平行线交AC，AB于F，E，FE和CB的

2、延长线交于G，求证：【例题5】 如图，已知M，N为ABC的边BC上的两点，且满足，一条平行于AC的直线分别交AB，AM，AN的延长线于D，E，F求证：【例题6】 正三角形ABC，D、E、F是BC、CA、AB的中点，P、Q、R分别在EF，FD，DE上，A、P、Q共线，B、Q、R共线，C、R、P共线，求【例题7】 如图1-16(a)所示，是的中线，交于点，任意作一条直线分别交、于点、.求证：. 证法一：如图1-16(b)所示，作，则有，+，得.(其中)证法二：如图1-16(c)所示，延长补形，则由平行线定理得，+，得，故得证.证法三：如图1-16(d)所示，作辅助线，由于点是的中点，则是梯形的中位

3、线，则.因，则；因，则，+，得. 技巧贴士以上三种方法都很典型，其基本要领是通过添加平行线构造两个基本图形，分别表达出、，且两个部分的分母都相同，通过运算得到.要注意，证法一主要是“中线倍长”，证法二和证法三主要是“补形”，通过添加辅助线使为梯形的中位线.【例题8】 设D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，BDC及ADC的角平分线分别交BC及AC于点M，N求证：【例题9】 如图，P为ABC内任一点，过P作AD，BE，CF分别与BC，AC，AB交于点D，E，F.求证：（1）；（2）【例题10】 如图，已知梯形ABCD中，ADBC（），AC和BD交于M，EFAD且过M，EC和FB交于N

4、，GHAD且过N求证【例题11】 已知在中，且，求阴影部分的面积解：过点作交于点，如图121(b)所示由得，则又因为，所以因为，所以由于，故所以四边形DECF1. 如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，在AD上截取，EF交AC于点G.求的值解：作，得交于 易证为中点， ， 2. 如图1-15(a)所示，在中，点为上一点，点在上，过点作交于点，作交于点，回答下列问题.（1）若点是的中点，且，求的值.（2）若点是的中点，求证：.（3） 若点是上任意一点，求证：.解：作交于点，见图1-15(b)，易证为中位线，故.取、的中点、，连接，易证又因、为中点，故.过点作交于点，所以，又因为，所以，则，因此.同理可得，所以.3. 如图所示，在中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点求证：1. M，N分别是矩形的边AD，BC的中点，在边CD的延长线上取点P，PM交对角线AC于Q证明：NM平分PNQ