成都理工大学 高数下 重修 PPT D11-7.8.9梯度、散度、旋度.ppt

1、,第七、八、九节,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:,向量,其中,称为向量微分算子或 Nabla算子.,2

2、. 梯度的几何意义,称为函数 f 的等值线或等高线 .,则L*上点P 处的法向量为,举例,函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向.,同样,的等值面(等量面).,当其各偏导数不同,其上点 P 处的法向量为,称为,时为零时,等高线图举例,这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带 阴影的等高线图中, 亮度越大 对应曲面上点的位置越高,等高线图,带阴影的等高线图,例. 设函数,解: (1) 点P处切平面的法向量为,在点 P(1,1,1) 处的切平面方程.,故所求切平面方程为,即,(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.,求等值面

3、,(2) 函数 f 在点P处增加最快的方向为,沿此方向的方向导数为,注意: 对三元函数, 与 垂直的方向 有无穷多,梯度的基本运算公式,例题.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,三、通量与散度,引例.,设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为,理意义可知,设 为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面 的流量为,则由对坐标的曲面积分的物,由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为,若 为方向向外的闭曲面,当 0 时,说明流入 的流体质量少于,当 0 时,说明流入 的流体质量多于流出的,则单位时间通过 的流量为,当 = 0 时,说明流入与流出 的流体质量相等 .

4、,流出的,表明 内有泉;,表明, 内有洞 ;,根据高斯公式, 流量也可表为,方向向外的任一闭曲面 ,记 所围域为 ,设 是包含点 M 且,为了揭示场内任意点M 处的特性,在式两边同除以 的体积 V,并令 以,任意方式缩小至点 M,则有,此式反应了流速场在点M 的特点:,其值为正,负或 0,分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在场中点 M(x, y, z) 处,显然,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.,例如, 匀速场,故它是无源场.,说明:,由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且,散度意义,例.,置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为,解:,四、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令, 引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度.,rotation,设某刚体绕定轴 l 转动,M 为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,点 M 的线速度为,(此即“旋度”一词的来源),旋度的力学意义:,注意 与 的方向形成右手系!,斯托克斯公式的物理意义