高中数学(必修)模块2“平面解析几何初步”教材分析

1、高中数学(必修)模块 2“平面解析几何初步”教材分析 大丰市教育局教研室 陈克毅 一新旧比较 1旧大纲与新课程标准的比较； 旧大纲新课程标准本人观点 直线和圆的方程(22 课时) 直线的倾斜角和斜率。直线 方程的点斜式和两点式。直线方 程的一般式。 两条直线平行与垂直的条件。 两条直线的交角。点到直线的距 离。 用二元一次不等式表示平面 区域。简单线性规划问题。 实习作业。 曲线与方程的概念。由已知 条件列出曲线方程。 圆的标准方程和一般方程。 圆的参数方程。 教学目标 (1)理解直线的倾斜角和斜率 的概念，掌握过两点的直线的斜 率公式，掌握由一点和斜率导出 直线方程的方法；掌握直线方程 的点

2、斜式、两点式和直线方程的 一般式，并能根据条件熟练地求 出直线的方程。 (2)掌握两条直线平行与垂直 平面解析几何初步(约 18 课时) (1)直线与方程 在平面直角坐标系中， 结合具体图形，探索确定直线 位置的几何要素。 理解直线的倾斜角和斜 率的概念，经历用代数方法刻 画直线斜率的过程，掌握过两 点的直线斜率的计算公式。 能根据斜率判定两条直 线平行或垂直。 根据确定直线位置的几 何要素，探索并掌握直线方程 的几种形式(点斜式、两点式及 一般式)，体会斜截式与一次函 数的关系。 能用解方程组的方法求 两直线的交点坐标。 探索并掌握两点间的距 离公式、点到直线的距离公式， 会求两条平行直线间

3、的距离。 (2)圆与方程 回顾确定圆的几何要素， 1 总体要求提高，线性规划 问题不是删去，而是移到 数学 5 “不等式”部分； 新增了“空间直角坐标系” 的内容，这部分内容是教 师难教、学生难学的内容。 2 注重过程教学，加大了师 生共同探索知识的力度。 如“在平面直角坐标系 中，结合具体图形，探索 确定直线位置的几何要素； 理解直线的倾斜角和斜 率的概念，经历用代数方 法刻画直线斜率的过程， 根据确定直线位置的几 何要素，探索并掌握直线 方程的几种形式(点斜式、 两点式及一般式)，体会斜 截式与一次函数的关系。 ” 3删去了“曲线与方程的概念。 由已知条件列出曲线方程”部 分的内容。本部分

4、内容已从必 的条件，掌握两条直线所成的角 和点到直线的距离公式；能够根 据直线的方程判断两条直线的位 置关系。 (3)会用二元一次不等式表示 平面区域。 (4)了解简单的线性规划问题， 了解线性规划的意义，并会简单 应用。 (5)了解解析几何的基本思想， 了解用坐标法研究几何问题的方 法。 (6)掌握圆的标准方程和一般 方程，了解参数方程的概念，理 解圆的参数方程。 (7)结合教学内容进行对立统 一观点的教育。 (8)实习作业以线性规划为内 容，培养解决实际问题的能力。 在平面直角坐标系中。探索并 掌握圆的标准方程与一般方程。 能根据给定直线、圆的 方程，判断直线与圆、圆与圆 的位置关系。 能

5、用直线和圆的方程解 决一些简单的问题。 (3)在平面解析几何初步的 学习过程中，体会用代数方法 处理几何问题的思想。 (4)空间直角坐标系 通过具体情境，感受 建立空间直角坐标系的必要性， 了解空间直角坐标系，会用空 间直角坐标系刻画点的位置。 通过表示特殊长方体 (所有棱分别与坐标轴平行)顶 点的坐标，探索并得出空间两 点间的距离公式。 教学建议： 在平面解析几何初步的教 学中，教师应帮助学生经历如 下的过程：首先将几何问题代 数化，用代数的语言描述几何 要素及其关系，进而将几何问 题转化为代数问题；处理代数 问题；分析代数结果的几何含 义，最终解决几何问题。这种 思想应贯穿平面解析几何教学

6、 修内容部分删去，不讲“纯粹 性和完备性” ，只是在选修内容 部分讲解“充分必要条件” 的始终。帮助学生不断地体会 “数形结合”的思想方法。 2课时安排上的差异 旧大纲新课程标准本人观点 直线与方程 10+线性规划 7+曲线 和圆的方程 6+复习 2，约 25 课时 直线与方程 10+圆的方程 6+空间 直角坐标系 2+复习 2，约 18 课时。 可以看出，直线与方程和圆的方 程两部分新旧一致，加起来都是 16 课时，但是， “标准”中去掉 了“曲线与方程”2 课时，故圆 部分实际上增加了 2 课时，这里 提请教者在教学时适当把握。而 空间直角坐标系部分只有 2 课时， 似乎略少一点，可适当加

7、 1 课时， 作为习题课。 另外在本章开始增加 1 课时，以 复习初中在相关知识 3 新旧教材内容和结构上的差异 旧教材新教材本人观点 （1）先用“章头话” 、本章研 究对象以及研究本章的重 要的方法（坐标法） ，即 用代数的方法研究几何问 题（解析几何的本质） ， 点出了数形结合这一重要 的数学思想方法。 （2）以一次函数为依托，引出 “直线的方程”和 “方 程”的直线两个重要概念； （1）用恩格斯的一句话点出本 章的主题和本章的数学思 想方法（数形结合） ； （2）描述了本章知识用途； （3）曲线与方程的关系； （4）本章的学习任务。 本章的章头页看似只有一页，但 它叙述了本章的灵魂，故建

8、议可 单独上一节，以初中的函数为依 托，首先讲解方程与函数的关系， 渗透函数与方程思想；其次重点 复习初中阶段一次函数的有关知 识。 二学生学习的知识背景 学生已经学过的知识突出问题 初中 阶段 1 函数及其图象。已经学习过一次函 数、二次函数、反比例函数； 2 锐角三角函数，解直角三角形； 3 三角形的相似和全等。 高中 阶段 1 集合与基本初等函数； 2 立体几何初步 1 虽然在立体几何中出现过两个平面所成 的二面角 的范围是： 0180，但未曾求过大于 90 的二面 角，课本上未曾出现过这种例题或习题； 2 初中阶段也未曾出现过求钝角的正切值 和 0 的正切值。 综合上述两点，说明我们在

9、处理斜率与倾斜 角之间的关系时应该特别注意。 三课时安排建议（约 20 课时） 内 容课时数 引言约 1 课时 4.1.1 直线的斜率约 2 课时 4.1.2 直线的方程约 2 课时 4.1.3 两条直线的平行与垂直约 2 课时 4.1.4 两条直线的交点约 1 课时 4.1.5 平面上两点之间的距离约 1 课时 4.1.6 点到直线的距离约 2 课时 4.2.1 圆的方程约 2 课时 4.2.2 直线与圆的位置关系约 1 课时 4.2.3 圆和圆的位置关系约 1 课时 4.3.1 空间直角坐标系约 2 课时 4.3.2 空间两点之间的距离约 1 课时 小结与复习约 2 课时 四教材分析和教学

10、建议 1本章的引言部分的教学十分重要，首先拉格朗日的一段话是本章的精髓，既点明了本章的知识特点， 又阐明了本章要用到的数学思想方法：数形结合。 2当学习了拉格朗日的一段话后，可先复习初中阶段所学过的函数：一次函数、二次函数和反比例函 数，将函数转化为方程，从而说明曲线与方程的关系，再提出本章的学习任务。 3.2.1 的教学还可以围绕复习旧知来进行，请学生考虑在平面直角坐标系内，已知两点可以作一条直线， 那么，已知一点还须加上什么条件才能作出相应直线呢？解决此问题后，再复习初中阶段“坡度”的有关 知识。 4在 2.1 中， “增量”是一个既新又难以理解的概念，在教学中不能一带而过，本节教材中的另

11、一个难 点是斜率与倾斜角的关系，应让学生加以深刻理解。有关第 72 页的电子表格，其主要目的还是让学生理解 斜率与倾斜角的关系、钝角的正切以及“正切函数”的单调性和 90的正切值不存在。 5本节只有两个例题，例 1 是已知两点求经过这两点的直线的斜率的题目，比较简单，旨在巩固理解 直线斜率的概念。例 2 可重点讲解，方法一可按书上的方法，方法二可按本节练习的第 3 小题的方法（两 点确定一条直线） 。还可以再补充一道例题，以解决本节练习的第 4、5 两小题。 6在 2.1.2 中，介绍了直线的斜裁式方程后，可设问“任一条直线都有斜裁式方程吗？”以进一步理 解直线的斜率和倾斜角的关系。 7第 7

12、5 页的“思考”中，务必引导学生进行分析讨论，方便解决一些问题，如课本第 80 页“思 考运用”第 8 题。 8在 2.1.2 结束时，可提出问题：“二元一次方程 Ax+By+C=0(A2+B20)表示一条直线，每一条直线 都有相应的二元一次方程吗？” 9对于 2.1.3 的教学，可再一次请学生完成第 75 页的“思考”中的第二问，然后让学生归纳出两直线 平行的条件，或者用初中阶段两直线平行的性质（同位角相等） ，从而得到倾斜角相等、斜率相等的结论。 并请学生特别注意蓝色框中括号部分（k1、k2均存在） 10课本第 81 页例 1 是用代数方法研究几何问题的例子，务必要认真讲解，通过回忆梯形的

13、定义，然 后讨论证明的思路。 11由于学生还没有学习三角函数，所以不能用 tantan(90-)=1 的结论来推导，故只能用相似 三角形来解决。但是出现的图形建议用下图：更能让学生联想起初中阶段解直角三角形的知识。 90- O x D CB A y l1 l2 12无论是两直线平行还是垂直的条件，都必须是斜率存在的情况下才能用相应的结论，这一点必须 向学生讲清楚。另外，应注重第 88 页“探究拓展”的讲解，既是应用分类讨论思想方法的具体应用，同 时又是这一部分结论性的小结并在解题中应用。 13本节的难点：一是两条直线垂直的条件；二是第 83 页的例 5。例 5 的难点主要有：（1）实际应用 问

14、题，学生不易理解题意；（2）由于是实际应用问题，就有一个由实际问题抽象为数学模型的过程，因此 要建立平面直角坐标系。 （3）由于灯柱的高度 h 是未知数，故直线 CA 的方程中含有待定的系数 h，要求稍 高。本题也可以用相似三角形来做参考图形如下： 由 RtEOBRtCAB，可得，即可求得 h 的值。 5 . 22 5 . 113 3 2 h h BA BO BC BE ，即 14有了直线的方程，对直线之间位置关系的研究就可以转化为对它们相应的方程组的解的研究，在 教学中应引导学生领会这一要点，从而领会解析法的本质。 15在第 85 页的例 2 的基础上，对于学生基础较好的学生，可以提出用直线

15、系方程解决的方法。即将 第 86 页的“思考”提到这里讲。 16第 86 页例 2 中的第 2 问以及第 87 页练习第 4 题，虽然数学模型已经建立，但是由于学生缺乏感 性认识，难以理解，应注意疏通。 17对于 2.1.5 的教学。可先复习平行四边形的判定方法，让学生先运用所学的知识进行判定，然后再 用“对边分别相等”的方法进行判定，指出以后学习了中点坐标公式（第 90 页）后还可以有更简洁的判定 方法。 18作为第 91 页例 2 的扩展，可介绍三角形重心坐标公式。介绍时可就在本题中求ABC 的重心坐标， 然后进行观察、归纳小结，得出公式，等以后讲线段的定比分点公式时再进行严格的证明。 E

16、 O xDCB A y l1 l2 19第 92 页例 3 属于运用代数方法证明几何问题的例子，注意向学生讲清楚代数法证明几何问题的步 骤、如何建立“适当”的坐标系才能使过程更简洁。 20对于 2.1.6 的教学，应首先引导学生讨论“求点 D 到直线 AB 的距离”的方法。学生最容易想到的 是课本上的方法 1，方法 2 是利用初中阶段“直角三角形中成比例的线段”来求得的，关键是如何转化。事 实上，还有第三种方法（函数法）：即：方程函数 y=f(x)求函数的最 2 0 2 0 )()(yxfxxd 小值。这样正好与本章开始时所讲的函数方程思想相呼应。这也是第 94 页“思考”中所提问题的答案。 21第 95 页例 2 讲好后，可变题“求到直线 x+3y-4=0 的距离等于的直线方程” ，以疏通习题。 20 10 22教材中将这里安排 2 课时，可