不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解

1、MATLAB 程序设计实践课程考核 、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍精 通科学计算，王正林等著，电子工业出版社， 年） “不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解” (1) .不动点迭代法非线性方程组求解(a).算法说明：设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组记为：F(x)=0，然后把上述方程组改为便于迭代的等价形式：x=(x)，由此就可以构造不动点迭代法的迭代公式：如果得到的序列xk满足，则就是的不动点，这样就可以求出非线性方程组的解。在MATLAB中编程实现的非线性方程组的不动点迭代法的函数为：mulStablePoint。功能：用不动点迭代法求非线性方程组的一个解。调

2、用格式：r,n=mulStablePoint(x0,eps)。其中，x0为初始迭代向量； eps为迭代精度； r为求出的解向量； n为迭代步数。(b).流程图：NYYNNY开始输入初始迭代值nargin=1r=myf(x0)n=1tol=1tolepsx0=r r=myf(x0) tol=norm(r-x0) n=n+1n输出结果eps=1.0e-4迭代步数太多，可能不收敛！结束(c).源程序代码：function r,n=mulStablePoint(x0,eps)%不动点迭代法求非线性方程组的一个解%初始迭代向量：x0%迭代精度：eps%解向量：r%迭代步数：nif nargin=1 ep

3、s=1.0e-4;end r=myf(x0);n=1;tol=1;while toleps x0=r; r=myf(x0); %迭代公式 tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数 n=n+1; if(n) %迭代步数控制 disp(迭代步数太多，可能不收敛！); return; endend举例说明：解：首先建立myf.m函数文件，输入以下内容：function f=myf(x)f(1)=0.5*sin(x(1)+0.1*cos(x(2)*x(1)-x(1);f(2)=0.5*cos(x(1)-0.1*sin(x(2)-x(2);在MATLAB命令窗口

4、中输入：(2).牛顿法非线性方程组求解(a).算法说明：设非线性方程组为，其中， 牛顿迭代法的迭代公式为：求解步骤为：(1) 给出初始值；(2) 对n=1,2,3计算F(xn)和F(xn)；(3) 求出xn+1，并进行精度控制。更一般的牛顿法迭代公式为：当 = F(x0)时，就得到简化牛顿法。在MATLAB中编程实现的非线性方程组的牛顿迭代法的函数为：mulNewton。功能：用牛顿迭代法求非线性方程组的一个解。调用格式：r,n=mulNewton(x0,eps)。其中，x0为初始迭代向量； eps为迭代精度； r为求出的解向量； n为迭代步数。(b).流程图：NYYNNY开始输入初始迭代值n

5、argin=1r=x0-myf(x0)/dmyf(x0)n=1tol=1tolepsx0=rr=x0-myf(x0)/dmyf(x0)tol=norm(r-x0) n=n+1n输出结果eps=1.0e-4迭代步数太多，可能不收敛！结束(c).源程序代码：function r,n=mulNewton(x0,eps)%牛顿迭代法求非线性方程组的一个解%初始迭代向量x0%迭代精度eps%解向量r%迭代步数nif nargin=1 eps=1.0e-4;end r=x0-myf(x0)/dmyf(x0);n=1;tol=1;while toleps x0=r; r=x0-myf(x0)/dmyf(x0

6、); %核心迭代公式 tol=norm(r-x0); n=n+1; if(n) %迭代步数控制 disp(迭代步数太多，可能不收敛！); return; endend另一种方法为简化牛顿迭代法，如下：在MATLAB中编程实现的非线性方程组的简化牛顿迭代法的函数为：mulSimNewton。功能：用简化牛顿迭代法求非线性方程组的一个解。调用格式：r,n=mulSimNewton(x0,eps)。其中，x0为初始迭代向量； eps为迭代精度； r为求出的解向量； n为迭代步数。源程序代码：function r,n=mulSimNewton(x0,eps)%简化牛顿迭代法求非线性方程组的一个解%初始

7、迭代向量x0%迭代精度eps%解向量r%迭代步数nif nargin=1 eps=1.0e-4;end r=x0-myf(x0)/dmyf(x0);c=dmyf(x0);n=1;tol=1;while toleps x0=r; r=x0-myf(x0)/c; tol=norm(r-x0); n=n+1; if(n) disp(迭代步数太多，可能不收敛！); return; endend举例说明：解：首先建立myf.m函数文件，输入以下内容：function f=myf(x)f(1)=0.5*sin(x(1)+0.1*cos(x(2)*x(1)-x(1);f(2)=0.5*cos(x(1)-0.

8、1*sin(x(2)-x(2);f=f(1) f(2);再建立dmyf.m导数的雅可比矩阵，输入以下内容：function df=dmyf(x)df=0.5*cos(x(1)-0.1*x(2)*sin(x(2)*x(1)-1-0.1*x(1)*sin(x(2)*x(1)-0.5*sin(x(1)-0.1*cos(x(2)-1;然后在MATLAB命令窗口中输入：2、 编程解决以下科学计算问题1）5有3个多项式试进行下列操作：（1）求（2）求的根（3）当x取矩阵A的每一个元素，求的值。其中：A （4）当以矩阵A为自变量时，求的值。其中A的值与第（3）题相同。流程图结束使用函数polyvalm(p,

9、A)polyval(p,x)roots(p) conv(p2,p3)p1=1 2 4 0 5;p2=1 2;p3=1 2 3;x=-1 1.2 -1.4;0.75 2 3.5;0 5 2.5;A=-1 1.2 -1.4;0.75 2 3.5;0 5 2.5;开始源程序代码：%求积函数 conv(x,y)%求平方根函数 roots(p)%逐一取用矩阵中的数值函数 polyval(p,x)%取用矩阵的函数 polyvalm(p,A)是按照矩阵运算规则计算多项式的值%多项式 p2，p3%矩阵 A p1=1 2 4 0 5;p2=1 2;p3=1 2 3;p0=conv(p2,p3) %对p2和p3求

10、积p=p1+0 p0 %对p1和p0进行求和x=roots(p) %对p进行求根x=-1 1.2 -1.4;0.75 2 3.5;0 5 2.5;x0=polyval(p,x) %将矩阵x中的每一个数值代入p中A=-1 1.2 -1.4;0.75 2 3.5;0 5 2.5;x0=polyvalm(p,A) %将矩阵A代入p中 结果 2）2. 用三次多项式拟合下面数据，做出图形。 x=0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y=0 7.78 10.68 8.37 3.97 0解：【.m文件程序代码】 x= 0:0.2:1; y=0 7.78 10.68 8.37 3.97 0; a= poly

11、fit (x,y,3) a = 41.5625 -101.6071 60.0768 -0.1179 x1=0: 0.05: 1; y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.2+a(1)*x1.3; plot (x, y, *) hold on plot (x1, y1, -r)运行结果：流程图：3. 拟合函数有如下形式： y=exp(x)试确定系数，并分别用线性尺度和对数尺度做出拟合曲线的图形。x=0.0129 0.0247 0.0530 0.1550 0.3010 0.4710 0.8020 1.2700 1.4300 2.4600 y=9.5600 8.1845 5.2612 2.7917 2.2611 1.7340 1.2370 1.0674 1.1171 0.7620解：【.m文件程序代码】function jisuanx=0.0129 0.0247 0.053 0.155 0.301 0.471 0.802 1.27 1.43 2.46;y=9.56 8.1845 5.2616 2.7917 2.2611 1.734 1.237 1.0674 1.1171 0.762;p=