高考数学复习专题训练――立体几何(含详解)

1、高考数学复习专题训练-立体几何B1C1CADD1A1B1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）如果AA1=4，AB=2，求点A到平面A1BD的距离；（2）当的值等于多少时,二面角B-A1C-A的大小是6002.已知三棱锥PABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DEAP于E()求证：AP平面BDE；()求证：平面BDE平面BDF；3.如图为某一几何体的展开图，其中是边长6的正方形，点、及、共线.（1）沿图中虚线将它们折叠起来，使、四点重合，请画出其直观图，AQBPDSCR（2）试问需要几个这样的几何体才能拼成

2、一个棱长为6的正方体？ 4.已知在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中AC=3，AB=5，. （）求证：； （）求证：AC1/平面CDB1；（）求三棱锥A1B1CD的体积.5.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. （）求证：EM平面A1B1C1D1； （）求二面角BA1NB1的正切值.6.已知四面体ABCD沿AB，AC，AD剪开展成的平面图形正好是下图所示的直角梯形A1A2A3D（梯形中的三点A1，A2，A3重合于四面体中的点A）. （1）证明：ABCD； （2）当A1D=10

3、，A1A2=8时，求二面角ACDB的平面角； （3）在（2）的条件下，求四面体ABCD的体积.7.已知长方体ABCD-中，棱ABBC3，4，连结，过B点作的垂线交于E，交于F （1）求证：平面EBD；（2）求ED与平面所成角的大小；（3）求二面角E-BD-C的大小 8. 如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动. （）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （）证明：无论点E在BC边的何处，都有PEAF; （）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45 9.如图，三棱柱AB

4、CA1B1C1中，AA1面ABC， BCAC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点.（）求证：AB1/面BDC1；（）求二面角C1BDC的余弦值；（）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP面BDC1？并证明你的结论.10. 如图，在三棱拄中，侧面，已知（1）求证：；（2）试在棱(不包含端点上确定一点的位置,使得；(3) 在（2）的条件下,求二面角的平面角的正切值.11. 如下图，正三角形ABC边长为2a，CD是AB所在直线上的高，E，F分别是AC和BC边上的中点，现将ABC沿CD翻折成直角二面角A-DC-B（1） 试判断翻折后直线AB与面DEF的位置关系，并说明理由。（2） 求二面角B-A

5、C-D的大小。（3） 求点C到平面DEF的距离。12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=，AA1=1，ACB=90（）求异面直线A1B与CB1所成角的大小；（）问：在A1B1边上是否存在一点Q，使得平面QBC与平面A1BC所成的角为30，若存在，请求点Q的位置，若不存在，请说明理由13.如图，已知四棱锥PABCD的侧面PAD与底面ABCD垂直，PAD是边长为a的正三角形，ABCD为直角梯形， AB/CD，DC=2a，ADC=90，DCB=45，E为BP中点，F在PC上且PF=PC（）求证EF/平面PAD；（）求三棱锥EPCD的体积14.如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，A

6、BAC，D为BC中点，F为BB1上一点， BFBC2，FB11.（）求证AD平面BB1C1C；（）若E为AD上不同于A、D的任一点，求证：EFFC1；（）若A1B13，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小. 15. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA平面ABCD，且PA=1（1）在BC边上是否存在点Q，使得PQQD，说明理由；（2）若BC边上有且仅有一个点Q，使PQQD，求AD与平面PDQ所成角的正弦大小；（3）在（2）的条件下，求平面PQD与平面PAB所成角的余弦大小16.如图，在四棱锥中，侧棱PA底面ABCD， ADBC，ABC=， （1） 求点D到平面PBC的距离；

7、（2） 求二面角的大小17. 如图所示，四棱锥PABCD中，侧棱PA与底面ABCD垂直，DC=1，AD=AP=2，AB=5，CDA=DAB=90，E是PB的中点.（1）求证：BC平面PAC； （2）求异面直线PD、AE所成角的大小； （3）求二面角A-CE-B的大小. 18如图，在长方体中，点E在棱上移动。（）证明：；（）当E为的中点时，求点E到面的距离；（）等于何值时，二面角 的大小为。19.如图，在直四棱柱中，底面是边长为a的菱形，侧棱长为2a. （）问与能否垂直？并证明你的结论； （）若，求二面角的余弦值；（）当在变化时，求异面直线所成角的取值范围. 20.在直三棱柱ABCABC中，AA

8、=2，AB=AC=1，BAC=90，点M是BC的中点，点N在侧棱CC上.（1）当线段CN的长度为多少时，MNAB；（2）若MNAB，求二面角A-BN-M的大小；（3）若MNAB，求点M到平面ABN的距离.CBAEFA1C1B121. 如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，、分别为、的中点（I）证明：直线平面；（II）求二面角的大小（结果可用反三角函数表示）22. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ADBC，BCD=900,PA=PB,PC=PD。(I) 试判断直线CD与平面PAD是否垂直，并简述理由；（II）求证：平面PAB平面ABCD；（III）如果CD=AD+BC，二面角P

9、-CB-A等于600，求二面角P-CD-A的大小.DBCEAP23. 已知PA平面ABCD，四边形ABCD为菱形，AB=PA=2，ABC=60，E为BC的中点（）求证：BC平面PAE；（）求点A到平面PEC的距离24. 如图，直三棱柱中，。（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小。25. 如图，将长，宽的矩形沿长的三等分线处折迭成一个三棱柱，如图所示：（l）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；（ll）求三棱锥的体积. 26. 如图ABCA1B1C1是各棱长都为a的正三棱柱，E为AB上一点且=2，F为CC1的中点（I）求证：BC1面A1EF；（II）求截面A1EF与面A

10、A1C1C所成角的大小。 C1ABCA1B1EF 27. 如图4-3，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面为侧棱的中点.（1）试判断直线与平面的关系（文科不必证明，理科必须证明）；（2）求证：平面；（3）若，试求二面角的正切值.DPBACE28. 如图，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1. （1）证明PA平面ABCD； （2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小； （3）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论.29. 如图，三棱锥中，（1）求证：平面；(2）求二面角的大小；(3

11、）若为线段上的点，设，问为何值时能使直线平面。30. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为正方形，且PA=AD=2，E、F分别为棱AD、PC的中点.()求异面直线EF和PB所成角的大小；()求证：平面PCE平面PBC；()求二面角E-PC-D的大小.B1C1CADD1A1BOE答案：1. （1）因为四棱柱AC1是正四棱柱，所以底面是正方形，2. 侧面都是矩形，如果AA1=4，AB=2，那么SABD=2，VA1-ABD = 且 A1B=A1D=，设ACBD=OA1O=，所以SA1BD = 设点A到平面A1BD的距离为d,那么由VA1-ABD = VA-A1BD , 得

12、(2) 设AB=,A1A=b在正四棱柱中,由BOAC,BOA1A, ACA1A=A，得BO面A1AC,在面A1BC内过点B作BEA1C,垂足为E,连接OE,由三垂线定理的逆定理知OEA1C,所以BEO就是二面角B-A1C-A的平面角.（8分）在RtA1AC中,（10分）BO=，在RtBOE中,要使BEO=600，必须BO=OE，即有 =，即 =b,所以 ,当时, 二面角B-A1C-A的大小是60 2. 证明: ()PC底面ABC，BD平面ABC，PCBD由AB=BC，D为AC的中点，得BDAC又PCAC=C，BD平面PAC 又PA平面PAC，BDPA由已知DEPA，DEBD=D，AP平面BDE

13、 ()由BD平面PAC，DE平面PAC，得BDDE由D、F分别为AC、PC的中点，得DF/AP由已知，DEAP，DEDF. BDDF=D，DE平面BDF又DE平面BDE，平面BDE平面BDF 19解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润总和与年数的关系为f(n),则f(n)=50n（12n+4）72=2n2+40n72 ()获纯利润就是要求f(n)0,2n2+40n720，解得2n0)，则A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）E为A1B的中点，M为CC1的中点 E（2a , a , ），M（0，2a, ）EM/

14、A1B1C1D1 （）设平面A1BM的法向量为=（x, y , z ）又=（0，2a , a ） 由，得而平面A1B1C1D1的法向量为.设二面角为，则又：二面角为锐二面角 ，从而6.（本题满分12分）（1）依题意得，（1） 由条件可得，；那么在直角梯形A1A2CD中，求得CD=在ACD中由余弦定理求得为二面角的平面角；因为（3）7. （1）连结AC交BD于O，则ACBD 又平面AC，BD BE而平面，BE BD BEB，平面BED （2）连结，由CD知D在平面内，由（1）是EB 又BE，BE平面，即得F为垂足 连结DF，则EDF为ED与平面所成的角 由已知ABBC3，4，可求是5， ，则，

15、在RtEDF中，ED与平面所成的角为 （3）连结EO，由EC平面BDC且ACBD知EOBD EOC为所求二面角E-BD-C的平面角 ，在RtEOC中， 二面角E-BD-C的大小为 8. 解法1：（I）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EF/PC 又EF平面PAC，而PC平面PAC EF/平面PAC.4分 （II）证明：PA平面ABCD，BE平面ABCD，EBPA.又EBAB，ABAP=A，AB，AP平面PAB，EB平面PAB，又AF平面PAB，AFBE.又PA=AB=1，点F是PB的中点，AFPB， 又PBBE=B，PB，BE平面PBE，AF

16、平面PBE.PE平面PBE，AFPE. （）过A作AGDE于G，连PG，又DEPA，则DE平面PAG，于是，平面PAG平面PDE，它们的交线是PG，过A作AMPG，垂足为M，则AM平面PDE，即PA在平面PDE的射影是PM，所以PA与平面PDE所成的角是APG=45.在RtPAG中，PA=AG=1，DG=，设BE=x，AGEABE，则GE=x，CE=x，在RtDCE中，(+x)2=(x)2+12，得BE=x=.解法二： （II）建立图示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0）， 设AFPE （）设平面PDE的法向量为 而=（0，0，1）依题意PA与平面PDE所成角为45，所以sin

17、45=，得BE=x=，或BE=x=+（舍）.9. （1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点， D为AC中点 ODB1A 又B1A平面BDC1，OD平面BDC1 B1A平面BDC1 （2）AA1面ABC，BCAC，AA1CC1 CC1面ABC 则BC平面AC1，CC1AC 如图建系 则C1(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0) 设平面C1DB的法向量为则 又平面BDC的法向量为 二面角C1BDC的余弦值：cos（）设P(h,2,0) 则若CP面BDC1 则 即（h,2,0）=(2,-6,3)此时不存在在侧棱AA1上不存在点P，使得CP面BDC110. 证

18、（）因为侧面，故 在中， 由余弦定理有 故有 而 且平面 （）由从而 且 故 不妨设 ，则，则又 则在中有 从而（舍负）故为的中点时， 法二：以为原点为轴，设，则 由得 即 化简整理得 ， 或 当时与重合不满足题意 当时为的中点 故为的中点使 （）取的中点，的中点，的中点，的中点 连则，连则，连则 连则，且为矩形，又 故为所求二面角的平面角在中，法二：由已知， 所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为 故 12分11. （1）AB面DEF（2）（3）12. 建立如示空间直角坐标系，则异面直线A1B与CB1所成的角为（）答：存在这样的点Q，使得面QBC与面A1BC成30角解：是直三棱柱，又AC

19、B=90，BCCA1，BCCC1 A1CC1是二面角A1BCC1所成的平面角在RtA1C1C中，A1CC1=60在A1B1边上取一点Q，在平面A1B1C1中作QPB1C1，交A1C1于P，连PC过证PQBC共面A1CP就是QBCA1的平面角为303060，故有在点P，在角A1CC1的平分线上在RtPC1C中，可得又A1B1=，由相似比可得，Q在距点A处（或距B1点处）13. 本题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力，满分12分 （I）证：侧面PAD底面ABCD CDAD CD平面PAD (2分) 同理AB平面PAD且ABAP 取DC、PC中点为H、G，连结BH、HG， 则

20、BHDC 又BCH=45CBH=45 由AB=AP=a，CH=HB=a， 又CD=2a, DP=a, PBC中，G为PC中点，BGPC易得BGH为直角三角形，且BGGH GB平面PDC GBCD 又CDHB CD平面BGH 平面BGH平面PADBG平面PAD EFBG EF平面PAD （II）BG平面PDC，EFBG EF平面PDC EF为三棱锥EPDC的高 且EF= 即 14. 解：如图，（）ABAC且D为BC的中点，ADBC又ABCA1B1C1是直三棱柱，平面ABC平面BB1C1C. AD平面BB1C1C.（4分）（）连结DF，DC1，由已知可求得即DFCF1，由三垂线定理EFFC1.（8

21、分）（）作G1G平面AA1B1B，连结FG，C1FG为所求角.在RtABD中，易求得由于15. （1）以A点为原点，射线AB、AD、AP分别为、轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），设Q（1，x，0），若，即，当，方程有两个不等根；当，方程有两个相等根；当0，即a2时，方程无实根；因此，当a2时，在BC边上有两点Q，使得PQQD，当a=2时，在BC边上恰有一点Q，使得PQQD，当a2时，在BC边上不存在点Q，使得PQQD； （2）当BC边上有且仅有一点Q，使得PQQD时，a=2，x=1，Q（1，1，0），D（0，2，0），此时

22、，易得QD平面PAQ， 平面PAQ平面PDQ，过A在平面PAQ内作AFPQ，垂足为F，连结FD，则AF平面PDQ，ADF即为AD与平面PDQ所成的角，在RtPAQ中，在，AD与平面PDQ所成角正弦为；（3） PDQ在平面PAB内的射影为PAB，设平面PDQ与平面PAB所成的二面角为，则，所求的二面角的余弦为.16. （1）如图，在四棱锥中，BCAD，从而点D到平面PBC间的距离等于点A到平面PBC的距离.ABC=，ABBC， 又PA底面ABCD，PABC，BC平面 PAB， 平面PAB平面PBC，交线为PB，过A作AEPB，垂足为E，则AE平面PBC，AE的长等于点D到平面PBC的距离而， 即

23、点D到平面PBC的距离为6分 （2） PA底面ABCD，平面PAD底面ABCD， 引CMAD于M，MNPD于N，则CM平面PAD，MN是CN在平面PAD上的射影，由三垂线定理可知CNPD， CNM是二面角的平面角 依题意， 可知， 二面角的大小为解法二：如图, 以A为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. （1）依题意，. 则，.设平面PBC的一个法向量为，则 令，得，则点D到平面PBC的距离等于 （2） ABPA，ABAD，AB底面PDA，平面PDA的一个法向量为.设平面PDC的一个法向量为，令，得，.二面角是锐二面角，二面角的大小为17. （1）证：由题意：AC

24、=，则，又DCA=CAB，所以DCA 与CAB 相似，所以 BCAC，又由侧棱PA与底面ABCD垂直，有PA BC所以BC平面PAC；2分（2）连BD，取BD的中点M，连EM，则EMPD，AEM中，AE=AM=，EM=，设异面直线PD、AE所成角为，则 ，所以PD、AE所成角为.（3）作AHPC于H，作HKEC于K，连AK，又（1）可知.AKH即为所求二面角的平面角的补角.在APC中求出AH=，在ACE中求出AK=，（或在PCE中求出HK=）所求二面角的大小为（或为）.也可以用直角坐标系解. 18. 以D为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则。（）因为，所以。（）因为E为中点，则

25、，从而，设平面的法向量为，则，也即，得，从而，所以点E到平面的距离为（）设平面的法向量为，由，有，令，从而由题意，即。（不合题意，舍去），。当时，二面角的大小为。19. （）提示：不能垂直. 用反证法 （）提示：取中点，证明是二面角的平面角由余弦定理 算得 cos= （）证（或其补角）就是异面直线所成的角. 设=，则计算得 令而在上单调增， 异面直线所成角的取值范围是. 20. （1）AB=AC且M是BC的中点，又ABC-是直三棱柱，在平面BCCB的射影为B.故要使MN，由三垂线定理可知，MN.MCN，而BBCN=，故线段CN的长度为时，MNAB.（2）过M作B的垂线，垂足为P连结AP，AMM

26、面BCC，AP在平面BCC的射影为PM，由三垂线定理可知，APM是二面角AB的平面角.在B中，BMN由B的面积可知：在ABC中，AM=，又，AMMN,而AM=PM=APM为等腰直角三角形. APM=45，故所求的二面角为45.（3）过M点作AP的垂线，垂足为Q，而在APM中，AM=PM=，且AM面BCC，AMMP，PQ=，故所求的距离为.21. 法一：（I） 平面平面， 且由是中点，得， 平面， ，设，则在中，于是有， ， 直线平面（II）过作，为垂足，连结。 平面， 由三垂线定理， 为二面角的平面角设，则，在中，由，得，又， 在中，所以，二面角的大小为法二：（I）分别以、所在直线为轴、轴、轴

27、建立空间直角系，设，则，于是， ， ， 平面（II）由（1）知就是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，由，得 ， ，设二面角的平面角大小为，由图可见为锐角，则 ，所以，二面角的大小为22. （I）不垂直假设直线CD与平面PAD垂直，则CDPD。而在PCD中，由PC=PD得PCD=PDCPDC900，这与CDPD矛盾，因此, 直线CD与平面PAD不垂直。（II）取AB、CD的中点有E、F，连结PE，PF，EF， 由PA=PB，PC=PD, 得 PEAB，PFCD. EF为直角梯形的中位线 EFCD、又PFEF=F CD平面PEF由PE平面PEF CDPE又梯形的两腰AB与CD必相交，PE平面

28、ABCD又PE平面PAB 平面PAB平面ABCD （III）PFE即为二面角P-CD-A的平面角 作EGBC于G，连PG。由三垂线定理得BCPG，则PGE为二面角P-BC-A的平面角即PGE=600由已知得EF=（AD+BC）=，EG=CF=CD，EF=EG而 PFE=PGE=600即二面角P-CD-A的大小为600。 23. （1）在底面ABCD内，过A作AECD，垂足为E，连结PE PA平面ABCD，由三垂线定理知：PECD PEA是二面角PCDA的平面角 在中， 在中， 二面角PCDA的正切值为 （II）在平面APB中，过A作AHPB，垂足为H PA平面ABCD，PABC 又ABBC，B

29、C平面PAB 平面PBC平面PAB AH平面PBC故AH的长即为点A到平面PBC的距离 在等腰直角三角形PAB中，所以点A到平面PBC的距离为24. 证明：（1）在ABC中， ，平面，。（4分）（2）由（1）知，建立如图直角坐标系，则，易求得，平面的一个法向量，点到平面的距离。（3）可求得平面的一个法向量，二面角的大小是。25. （）依题意知三棱柱是正三棱柱，且侧棱，底面边长为，BP=1，CQ=2延长QP交BC延长线于点E，连AE在ACE中， ，ACE=60，于是AE=3过C作CFAE于F，连QF则QFC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角于是即：平面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为（

30、）连，的面积为点Q到平面的距离为26. （I）证明：连AC1交A1F于G，连EG，F为CC1的中点则又则EGBC1而EG面AEFBC1面AEF（II）作EDAC于D，DHA1F于H，连EH面AA1C1C面ABC，则ED面AA1C1C由三垂线定理EHA1FEHD=Q，又且ACAA1a则ADa，CD=a且DEa那么A1F= DH= tan=tanEHD= 面A1EF与面AA1C1C所成角O=arctan27. 解法一：（1）平面，证明如下： 连接交于，连接，则为的中点， 又为的中点，平面.（2），则侧面底面而侧面底面，侧面， 侧面是正三角形， 为侧棱的中点，平面（3）过作于连接，由（2）及三垂线定

31、理知.为二面角的平面角由正三角形及矩形，且，在等腰直角三角形中，设，则，.在中，.即二面角的正切值为.解法二：（1）同解法一设为中点，为中点，则因为是正三角形，底面是矩形.所以，又因为侧面底面，所以面，面，以为坐标原点，所在直线分别为，建立空间直角坐标系.设，则.又面，平面（3）当时，由（2）可知，是平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，取，可得：，所以，向量与所成角的余弦值为：.又由图可知.二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角就是向量与所成角的补角，其正切值等于.28. （） 因为底面ABCD是菱形，ABC=60，所以AB=AD=AC=a， 在PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2 知PAAB.同理，PAAD，所以PA平面ABCD（）解 作EG/PA交AD于G，由PA平面ABCD.