2016年全国数学建模b题

1、小区开放对道路通行的影响 摘要：摘要：随着经济的高速发展和城市化进程的加快，城市道路交通拥堵问题成为 困扰世界各大城市的社会问题之一，小区开放对道路通行的影响成为人们关注 的焦点：开放小区能否达到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况 的目的，以及改善效果如何. 针对问题一：本文将车流量，平均行程延误，实际平均速度，道路饱和度 和各道路之间的可达路径数作为描述道路通行情况的指标.车流量越大，平均行 程延误越少，实际平均速度越大，道路饱和度低，各道路之间的可达路径越多 ，我们就认为道路通行状况比较好. 针对问题二：我们将车辆通行分为三种情况：直行，左转，右转.分别建立 了这三种情况的道路通

2、行模型，根据实际情况，对丁字路口和十字路口的道路 交通能力建立了等概率模型和非等概率模型，分别予以讨论. 针对问题三：小区开放对道路通行产生的效果与小区所处的地理位置、小 区面积的大小以及车流量有关. 本文主要根据小区的地理位置将小区分成了四种不同类型，然后根据小区面积 的大小确定了小区内部建设的道路个数，最后引入了可达矩阵，定量分析了小 区开放前后对道路通行的影响. 针对问题四：通过引入道路饱和度来衡量道路通行能力.利用问题二建立的 等概率模型和非等概率模型计算了可能通行能力与基本通行能力的比值. 关键词：关键词：车流量；通行能力；连通性；可达矩阵；饱和度 1、问题重述问题重述 2016年2

3、月21日，国务院发布关于进一步加强城市规划建设管理工作的 若干意见提出，新建住宅要推广街区制，原则上不再建设封闭住宅小区. 除了开放小区可能引发的安保等问题外，议论的焦点之一是：开放小区能否达 到优化路网结构，提高道路通行能力，改善交通状况的目的，以及改善效果如 何.一种观点认为封闭式小区破坏了城市路网结构，堵塞了城市“毛细血管”， 容易造成交通阻塞.小区开放后，路网密度提高，道路面积增加，通行能力自然 会有提升.也有人认为这与小区面积、位置、外部及内部道路状况等诸多因素有 1 关，不能一概而论.还有人认为小区开放后，虽然可通行道路增多了，相应地， 小区周边主路上进出小区的交叉路口的车辆也会增

4、多，也可能会影响主路的通 行速度. 1. 请选取合适的评价指标体系，用以评价小区开放对周边道路通行的影响. 2. 请建立关于车辆通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路通行的影响. 3. 小区开放产生的效果，可能会与小区结构及周边道路结构、车流量有关.请选取 或构建不同类型的小区，应用你们建立的模型，定量比较各类型小区开放前后 对道路通行的影响. 4. 根据你们的研究结果，从交通通行的角度，向城市规划和交通管理部门提出你 们关于小区开放的合理化建议. 2、模型假设模型假设 1.假设每辆车车距保持不变； 2.假设小区道路与外部道路都是都是互相垂直的； 3.假设小车的加速过程忽略不计； 4.假设

5、通过某一距离的车辆总数不变； 5.假设小区内部车道都是双车道； 6.假设每个小区均为正方形. 三、符号说明三、符号说明 2 符号含义 l 小区开放的门口到交叉路口的距离长度 t通过l距离所花时间 T 直行车流量(h/辆) v 汽车实际车速（km/h） l安 两车之间的安全距离(m) 0 v 这段距离的限制速度(km/h) w平均行程延误 v 实际的平均速度 m可达路径的数目 h道路通行的饱和度 n一个周期内允许左转的车辆数 r主干道的个数 x每个主干道的车道数 四、四、模型的建立与求解模型的建立与求解 4.1 问题一的求解问题一的求解 4.1.1问题的分析问题的分析 选择合适的评价指标体系,用

6、来研究小区开放对周边道路通行的影响.我们根据 实际情况可以用车流量、平均行程延误、道路饱和度、道路之间的可达路径、 实际平均速度来评价开放小区后这些指标是否发生变化，从而可以看出是否产 生影响. 4.1.2评价指标评价指标 (1)车流量 1000 /()Tvll 安车 3 (2)平均行程延误 0 () l wtl v (3)实际平均速度 l v t (4)道路饱和度 道路饱和度是反映道路服务水平的重要指标之一， 其计算公式即为人们常说的/V C，其中V为最大交通量，C为最大通行能力.饱 和度越低，则道路的通行能力越高，可以通过比较小区开放前后饱和度的变化 ，判断开放小区后，对周边道路通行的影响

7、 /hV C (5)道路之间的可达路径 道路之间的可达路径用来表示小区周围的各道路之间可达的路径，各个道路之 间的可达路径越多，道路的通行越好. 4.2 问题二的求解问题二的求解 4.2.1问题的分析问题的分析 为了建立车辆通行的数学模型，用以研究小区开放对周边道路通行的影响，我 们将车辆通行划分为3种方式，即直行,左转,右转，分别对这3种方式的通行能 力建立模型，然后综合分析交叉路口的通行能力. 4.2.2基本通行能力基本通行能力【1】 基本通行能力是指道路与交通处于理想情况下，每一条车道（或每一条道路） 在单位时间内能够通过的最大交通量.作为理想的道路条件，主要是车道宽度应 不小于3.65

8、m（我国公路规定为3.75m）路旁的侧向余宽不小于1.75m，纵坡平缓 ，并有开阔的视野，良好的平面线形和路面状况.作为交通的理想条件，主要是 车辆组成单一的标准型汽车，在一条车道上以相同的速度，连续不断的行驶， 各车辆之间保持相适应的最小车头间隔，且无任何方向的干扰.在这样的理想道 路及交通条件下，建立的车流计算模式，所得出的最大交通通过量，即基本通 行能力. 基本通行能力为： 4 c基= 0 1000v l （辆/h） 4.2.3 城市交叉口通行能力的计算城市交叉口通行能力的计算 模型一 等概率模型 模型基于等概率模型，即车辆在通过十字路口的不同转向概率是相等的，且不 考虑交叉路口等其他因

9、素对通行能力的影响，显然这是一个简化的模型. 交叉口的通行能力是指各相交道路进口处通行能力之和（以进口处车道线作为 基准面，凡是通过该断面的车辆被认为已通过交叉口），而每个进口处通行能 力分为直行,右转,左转三种情况. 1.直行车道通行能力 =TN直=c基（辆/h） 其中，T表示车流量 2.右转车道通行能力 (1) 一条专用右转车道通行能力 N右=N直（辆/h） (2) 一条直右混行专用车道通行能力 = 2 N N 直 直右 （辆/h） 3.左转车道通行能力 (1) 一条专用左转车道通行能力 =NN左直（辆/h） (2) 一条直左混行专用车道通行能力 = 2 N N 直 直左 （辆/h） 4.

10、整个交叉口通行能力 =N +,NNNNpN 可右交叉口直左交叉口 5 其中，p 人道宽条 ，p为一个折减系数，人当双向过街人数达到500 次/h，其折减系数可取人=0.63.条，道宽的折减系数可查阅相关道路资料， 查阅标准参见城市道路设计规范【2】等相关规范，其中分别见表1，表2. 表1 车道宽度的通行能力折减系数 道宽 车道宽度（m） 3.503.253.002.75 折减系数 1.000.940.850.77 表2 车道数的通行能力的折减系数 条 车道数第一条第二条第三条第四条第五条 折减系数 1.000.800.89:0.650.78:0.500.65:0.400.52: 5.本文主要针

11、对车辆通行的3种情况来建立模型，分别为直行车道，丁字形车道 ，以及十字形车道. (1) 直行车道车辆通行模型 模型计算公式为： =TN直 其中，T表示直行车流量. (2) 丁字形车道车辆通行模型 6 模型计算公式为： =N +NNN右 交叉口直左 （3）十字形车道车辆通行模型 模型计算公式为： =N +NNN右 交叉口直左 城市道路的可能通行能力： pNc 可基 其中，p为一个折减系数. 模型二 非等概率模型 模型基于非等概率模型，如车辆在十字路口等处转弯的概率不相等，且要考虑 交叉路口等其他因素对通行能力的影响. 7 符号含义 T周信号灯周期时间，一般取6090s t绿 每个信号周期内的绿灯

12、时间 t损 表示一个周期内绿灯损失时间，一般只计车辆加速损失 时间损失 a*2 v t加 t间前后车连续通过停车线的平均时间间隔2.5s n 表示一个周期内允许左转的车辆数 t右表示前后两右转车连续驶过停车线的时间间隔，小汽车t 右=3.03.6s 1.直行车道通行能力 一条直行车道通行能力： -t3600 = t N Tt 绿损 直 周间 2.右转车道通行能力 一条专用右转车道通行能力： N右=3600 t右 （辆/h） 3.左转车道通行能力 一条专用左转车道通行能力： 3600 =Nn T 左 周 （辆/h）（设左转信号灯） 4.整个交叉口通行能力： =N +NNN右 交叉口直左 5.城市

13、道路的可能通行能力： NpC 可基 4.3 问题三的求解问题三的求解 4.3.1问题的分析4.3.1问题的分析 8 为了分析小区开放对道路通行的影响，我们可以考虑小区开放后是否可以 为道路分流，即是否可以使某一道路的车辆数变少.通过道路分流，可以提升道 路的流通度.开放小区道路，可以使一个道路到另一条道路的可达路径变多，同 样可使原来两个不相通的道路变的相通，本文引入了可达矩阵，用来描述各道 路之间有路径数。 由于小区内部建设道路与小区的面积有紧密的关系.本文先按小区的地理位 置将小区分为了四种类型，然后根据小区面积的大小确定小区内建设的车道数. 下面给出几个定义：下面给出几个定义： 连通性【

14、5】：从一个结点u出发，到达与之相邻接的结点，在从该邻接结点出发 到达其邻接的结点，依次类推，最后可以到达图中的某结点v,从而就得到一条 从u到v的通路. 可达路径的数目：从一个点到另一个点的路径的数目即使可达路径的数目 可达矩阵:行列都表示不方向的道路，矩阵内元素值表示不同道路之间的可 达路径的个数. 4.3.2小区的分类4.3.2小区的分类 本文按照小区与外部车道之间的关系，将小区分为4种不同类型，小区周围的车 道看成是一个目标点. （1）小区位于两个平行的外部车道之间，如图1所示 图1 （2）小区位于丁字路口的两个外部车道之间，如图2所示 9 小区 图2 （3）小区位于两个十字路口之间，

15、如图3所示 图3 （4）小区位于四个十字路口之间，如图4所示 图4 4.3.3模型的建立4.3.3模型的建立 由于对上述4种类型的小区分析模式一样，故本文以讨论小区面积大小对第三种 类型的小区道路建设的影响为例.其它三类小区不再陈述. 通过查询小区规模，我们将小区面积S分为S1=90000，S2=250000，S3=49000 10 小区 区 小区 区 小区 区 0，S4=1000000（单位：平方米）四种类型 ，查阅资料可知，小区的道路面积占小区面积的20%，本文研究将其中15%的 面积用于建设车辆通道.根据表1，我们将每个车道宽道宽度设为3.5米，其折减 系数为1.0，现分别计算上述四种面

16、积在规定下得出的可以建设的最大道路数， 如下表3. 表3 可见最大道路数 类型 面积（平方米） 边长（米） 道路长度（米） 可建道路数 S1 90000 300 9 1 S2 250000 500 15 2 S3 490000 700 21 3 S4 1000000 1000 30 4 经过上面的分析我们可以定量的得出小区面积S和建设道路条数m的关系: (20% 15%)/7mS, x表示不超过x的最大整数. 通过分析小区周围外部道路的连通情况，建立一个可达矩阵来描述小区外部道 路之间的可达路径的数量，同时可以很好的说明，小区开放的道路数对小区外 部道路之间的连通情况的影响，从而定量的分析了小

17、区开放前后对周边道路通 行的影响. 4.3.4模型的检验4.3.4模型的检验 （1）小区不开放时的道路情况，如下图5： 图5 则各个道路之间的可达路径的可用矩阵表示为 11 0110 1011 1101 0110 , 其中，矩阵中行和列实际意义分别表示图5中1,2,3,4节点，节点的意思表示道路 的交叉点. （2）当小区面积大小为S1时，小区可以建设一条双人道，当开放小区时，可以 在区中建设如图6红色虚线部分的道路: 图6 则建设一条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为 0222 2022 2202 2220 . （3）当小区面积大小为S2时，小区可以建设两条道路，当开放小区时，可以在 小

18、区中建设如图7红色虚线部分的道路: 图7 则建设二条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为 12 0434 4043 3403 4330 . （4）当小区面积大小为S3时，小区可以建设三条道路，当开放小区时，可以在 小区中建设如图8红色虚线部分的道路: 图8 则建设三条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为 0877 8087 7807 8770 . （5）当小区面积大小为S4时，小区可以建设四条道路，当开放小区时，可以在 小区中建设如图9红色虚线部分的道路： 图9 则建设四条双人道后，各个道路之间的可达路径的矩阵为 0161515 1601615 1516015 1515150 . 综上

19、可以看出，对不同面积的小区开放小区后，各个矩阵元素的值变大了，由 此可得各个道路之间的可达路径变多了，从而道路的通行能力增强了. 13 4.4 问题四的求解问题四的求解 4.4.1 问题分析问题分析 为了研究小区开放对道路的影响，道路饱和度可以很好的评价道路的流畅度， 根据比较小区开放前后道路饱和度的大小，来评价小区开放对周边道路通行的 影响，道路饱和度越低，说明小区开放后提高了周边道路的通行能力 4.4.2 饱和度定义及影响因素饱和度定义及影响因素 （1）道路饱和度【3】 道路饱和度是反映道路服务水平的重要指标之一， 其计算公式即为人们常说的/V C，其中V为最大交通量，C为最大通行能力.饱

20、 和度值越高，代表道路服务水平越低.由于道路服务水平、拥挤程度受多方面因 素的制约，实际中因难以考虑多方面因素，常以饱和度数值作为评价服务水平 的主要指标. （2）影响因素 饱和度的大小取决于道路的车流量和通行能力，此外，影响饱和度的 因素主要还有车流量、道路通行能力、行程速度及运行时间等. （3）城市道路饱和度计算方法 城市道路饱和度采用道路日高峰小时交通量与道路小时最大设计通行能力的比 值来计算. （4）本文根据小区所处的交通地理位置，将小区化分为了四种不同类型的小区 ，然后根据小区的所处道路位置的车流量以及小区附近道路道路饱和度来规划 小区的开放道路.如图表4为我国快速路主线服务水平指标

21、【4】. 表4 我国快速路主线服务水平指标 等级饱和度运行特征 A0.35 自由运行交通流（流畅） B0.350.55 合理的自由交通流（稍大延误） C0.550.75 稳定的交通流（能接受的延误） 14 D0.750.90 接近不稳定交通流（能忍受的延误） E0.901.00 极不稳定交通流（拥挤，不能忍受的延误） F1.0 强制性车流阻塞（拥挤，不能忍受的延误） 4.4.3 模型的建立模型的建立 /hVc 基, 其中h为道路饱和度，其中V为最大交通量，c基为最大通行能力. VN 交叉口 c基= 0 3600 t = 0 3600 3.6 l v = 0 1000v l （辆/h）, 其中N

22、可为城市道路的可能通行能力. Np c 可基 4.4.4 模型的求解模型的求解 N N h 交叉口 可 , 其中N可为城市道路的可能通行能力. 0 lll 车安 l安-车辆的安全距离（m），l车- 车辆的平均长度（m），本文将 0 l看成是一个不变的常数. （1）针对问题2提出的两种模型，分别计算N可的取值 a等概率模型 Np c 可基, N +NNN 可右直左 =3 c 基= 0 3000v l , 则 15 3 = p N h N 交叉口 可 （1） 其中，p与车道数和道宽有关，p rx 人道宽条 ，r为每个主干道 的车道数，x为主干道数.本文研究的主干道最大为四条，即十字路口的四条主 干

23、道. b. 非等概率模型 N交叉口=N +NN右 直左 = -t3600t Tt 绿损 周间 + 3600 n T 周 +3600 t右 , 则 N h p c 交叉口 基 其中，T周=90s，20ts 绿 ，2.5ts 间 ，n=20,t4.5s 右 ,t =4s 损 则将公式2可以简化为： 7 h p v （2） (7) 模型验证 a. 等概率模型的模型检验 假设车每个主干道有3个车道，车道间的折减系数按表1 中取最低值，则3个车道的折扣率分别为1，0.8，0.65，每个车道宽取3.25m，则 其折减系数按表2中的值取，为0.94，且考虑十字路口的通行能力. 如果人流量较大时，考虑人流对道

24、路交通的影响，查阅资料得人=0.63， 则由公式1，可计算道路饱和度为：0.811. 根据表4可以看出，当道路饱和度为0.811时，道路接近不稳定交通流（能忍受 的延误）. 16 如果人流量较小时，不考虑人对对道路交通的影响，由公式1，可计算道路饱和 度为：0.511，根据表4可以看出当道路饱和度为0.511时，道路流通量为稳定的 交通流（能接受的延误）. 所以，如果采取等概率模型来计算，可以看出，如果想改善道路饱和度，提高 通行流畅度，由公式1的表达式可以看出，相关部门可以通过增加车道数，设置 专门的人行道路，减少人行对车辆流通度的影响，来提高通行的流畅度.但开放 小区，道路之间的可达路径变

25、多，虽然汽车速度提高了，通过此段路程的时间 也变少了，但是对道路没什么影响，故针对位于此位置的小区，可不必开放. b. 非等概率模型的检验 采用非等概率模型建立，模型中有些参数的给出是参考其他的资料，可能 不 是特别准确，很多都是通过统计数据分析出来的，不同地方的参数可能有所不 同，具体情况，可以参考具体地方的指标，本文主要采用文中给出的参数来计 算的. 假设在不考虑折减因素的情况下，即认为道路的结构保持不变，由公式2可以看 出，h与实际速度成反比，实际车辆速度与对应的道路饱和度的关系如表4. 表4 车辆实际速度与对应的道路饱和度 速度（km/h ） 等级饱和度运行特征 v72A0.35 自由运行交通流（流畅） 45v72B0.350.55 合理的自由交通流（稍大延误） 34v45C0.550.75 稳定的交通流（能接受的延误） 28v34D0.750.90 接近不稳定交通流（能忍受的延误） 25v28E0.901.00 极不稳定交通流（拥挤，不能忍受的延误） v25F1.0 强制性车流阻塞（拥挤，不能忍受的延误） 从表4种可以看出，当汽车行驶速度低于25k