最优刀具更换周期上界_检查间隔下界的证明

1、第30卷第1期 2000年1月 数学的实践与认识 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol130 No11 Jan.2000 最优刀具更换周期上界、 检查间隔下界的证明 闵孟斌 (江苏宿迁师范专科学校,宿迁 223800) 摘要: 本文针对99年大学生数学建模竞赛A题中问题1,利用目标函数求出了一般情况下刀具更换周期 最优解T的一个充分条件及最优检查间隔的下界,并证明了问题1中刀具更换周期最优解T 551 和检查间隔最优解n8. 关键词: 刀具更换周期;检查间隔;最优解 收稿日期: 1999211220;指导教师:朱道元 通过分析题目给出的100次

2、刀具发生故障时所生产的零件数,易得工序发生故障服从 截尾正态分布,其概率分布函数为px=F(x ) = x 0 1 2 e - (y-)2 22 dy,其中 = 196,= 600. 在问题1的情况下,工序故障时生产的零件全为不合格品,正常时生产的零件均为合格 品,我们要解决的问题是最好的检查间隔和最优的刀具更换周期,当刀具的寿命XT时, 进行故障后更换;当XT时,进行预防性更换,使得每个合格产品的平均生产费用最小. 在问题1的情况下,设刀具检查间隔为n,刀具更换周期为T,则目标函数为 G(T,n ) = H(T,n) L(T) =k+ tT n (1 - pT ) + d+ n+ 1 2 f

3、pT + t n T 0 y 2 e - (y-)2 22 dyT (1 - pT ) + T 0 y 2 e - (y-)2 22 dy 其中n+ 1 2 为刀具在T之前发生故障所产生的不合格产品数的均值. 引理 设F(x)为正态分布N(,2)的分布函数,且 2?2,则函数 5(x )= x1- F(x ) 在, +)为减函数,其极大值为 ?2. 证明 5(x) = 1 -F(x ) - x 2 e - (x-)2 22 5(x ) = 1 2 e - (x-)2 22 x(x-) 2 -2 易得当x - 2+ 82 2 , + 2+ 82 2 时,5(x) 0,此时 5(x)为减函数. 1

4、 由题设 2?2,5()= 1- 1?2-?(2 )0 所以 x,?2+ 2+ 82? 2) 时 5(x)0,即 5(x)为减函数. 2 当x?2+ 2+ 82? 2, +)时,有 5(x)0,即 5(x)为增函数. 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学中国w w w .m a d i o .n e t 又li m x5 (x)= 0,所以此时 5(x)0,5(x)为减函数. 由1, 2 知 5(x)在, +)上为减函数,其极大值为 ?2. 推论 设F(x)为正

5、态分布N(600, 1962)的分布函数,则函数 5(x ) = x1-F(x ) 在 470, +)上为减函数. 证明同引理,再注意到 5(470) 2时,mT 0,但刀具问题 3,相当于不预防性更换,故以下假设m T0. 令 5G(T,n ) 5n 0,即5H (T,n ) 5n 0. 就是- tT n2 (1- pT )+ 1 2 fpT- t n2 (pT-mT ) 0. 解得n 0时,s(T)0,所以E(T) = (1- pT)T-mT0,所以 2t (1-pT)T+pT-mT fpT 关于T的极小值不小于 2tpT fpT = 2t f . 即当n 0 又 H(T,n ) = k+

6、 T n t (1 - pT ) + d+ n+ 1 2 fpT+ t n T 0 y 2 e - (y-)2 22 dy =k+ T n t (1 - pT ) + d+ n+ 1 2 fpT+ t n (pT-mT) L(T ) = T (1 - pT ) + T 0 y 2 e - (y-)2 22 dy=T (1 - pT ) + pT-mT 取T1,使pT1= 1 10, n1=n 则 =H(T,n)L(T1 ) - H(T1,n)L(T ) = k+ tT n (1 - pT) +d+ n+ 1 2 fpT+ t n (pT-mT) 9 10T 1+ 1 10- mT1 -k+ t

7、T1 n 9 10 +d+ n+ 1 2 f 1 10 + t n 1 10- mT1 T (1 - pT ) + pT-mT = (1 -pT)k+ tT n 9 10T 1+ 1 10- mT1- 9 10kT - 9tT1 10n T -d+ n+ 1 2 f 1 10T - t 10nT + tmT1 n T+d+ n+ 1 2 f 9 10T 1+ 1 10- mT1pT + t n pT 9 10T 1+ 1 10- mT1- tmT n 9 10T 1+ 1 10- mT1-k+ tT1 n 9 10p T -d+ n+ 1 2 f 1 10p T- t n 1 10- mT1p

8、T +k+ tT1 n 9 10 +d+ n+ 1 2 f 1 10 + t n 1 10- mT1mT = (1 -pT) 9 10T 1+ 1 10- mT1k-T 9 10k + 1 10d + n+ 1 20 f +pTd+ n+ 1 2 f 9 10T 1+ 1 10- mT1- 9 10k -d+ n+ 1 2 f 10 + 9 10k +d+ n+ 1 2 f 1 10 mT = 9 10T 1+ 1 10- mT1k+pTd+ n+ 1 2 f 9 10T 1-mT1-+ 9 10T 1-mT1k - (1 - pT)T 9 10k + 1 10d + n+ 1 20 f+ 9

9、 10k + 1 10d + n+ 1 20 fmT() 记为R1+pTR2- (1- pT)TR3+R0 因R3 0,所以当T,且 2?2(?) 由引理得 (1- pT)TR3的极大值为 R3?2. 801数 学 的 实 践 与 认 识30卷 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学中国w w w .m a d i o .n e t 当T, 9T1(d+f-k)10k(-mT1)+ 10mT1(d+f)() 时,R20,pTR2的极小值为R2?2.又mT0,显然R

10、0不小于0,所以此时 R1+R2?2 -R3?2 = n+ 1 40 f (9 T1-10mT1 ) + k 20 (9 T1-17-10mT1 ) + d 20 (9 T1-10mT1) 当9T1u+ 10mT1() 8 + 1 40 f (9 T1-10mT1 ) + k 20 (9 T1-17-10mT1 ) + d 20 (9 T1-10mT1) = 1 40 (9f + 2d ) (9 T1-10mT1 ) - 2k (17 + 10mT1-9T1) (n 8) 显然当 (9 f+ 2d ) (9 T1-10mT1)2k (17 + 10mT1-9T1)(?) 时,0 即由(?) (

11、) () (?)均成立就有 0.证毕. 推论1 在问题1中,刀具更换周期T的最优解T G(350,n)证毕 1 参考文献: 1 姜启源.数学模型.高等教育出版社,北京, 1993. 9011期闵孟斌:最优刀具更换周期上界、 检查间隔下界的证明 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 数学中国w w w .m a d i o .n e t 第30卷第1期 2000年1月 数学的实践与认识 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vo

12、l130 No11 Jan.2000 The Proofs of the Upper Bound for Opti mal Kn ife-Replacement Period and the Lower Bound for Check Period M I N M eng2bin (Suqian teaching training school, Suqian 223800) Abstract: A s to the question(1)of problem A in CM CM - 99, this article at first uses the ob2 jective functio

13、n to obtain a sufficient condition under which the opti mal solution to knife2re2 placement periodTis less thanand the lower bound for opti mal check period under general circum stances, and then proves that the opti mal solution to the knife2replacement period in question(1)is less than 551, while

14、the one to check period is greater than 7. Keywords: knife2replacement period; check period; opti mal solution 煤矸石堆积经费问题的几点讨论 王如云, 朱永忠, 丁根宏 (河海大学数理系,南京 210098) 摘要: 本文讨论了土地征用策略,分别在不考虑银行存、 贷款利率和考虑银行存、 贷款利率时的分堆情况, 以及在考虑银行存、 贷款利率时平均单位体积的矸石处理经费与安息角,出矸率的关系. 关键词: 策略;安息角;出矸率 模型假设 11 原煤年产量理解为包括矸石的产量 21 年度征地方案理解为每年年初最多征地一次 31 运矸车在上升过程中效率的降低是均匀的 41 设运矸车在运行过程中所受的摩擦力和重力忽略不计,只考虑