北京各区中考数学07-11综合压轴题解析汇总(经典)

1、北京中考数学-几何、二次函数综合题压轴题解析汇总25、（2007北京）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若A=60，DCB=EBC=12A请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且DCB=EBC=12A探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论点评：解决本题的关键是理解等

2、对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题25、（2008北京）请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及PGPC的值小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2

3、）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中ABC=BEF=2（090），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含的式子表示）点评：本题是一道探究性的几何综合题，主要考查菱形的性质，全等三角形的判定及三角函数的综合运用24、（2009北京）在平行四边形ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1）（1）在图1中画图探究：当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90得到线段EG1判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；

4、当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EC2判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论（2）若AD=6，tanB=43，AE=1，在的条件下，设CP1=x，SP1FC1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围点评：本题着重考查了二次函数解、图形旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法25、（2010北京）问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA探究DBC与ABC度数的比值请你完成下列探究

5、过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图；观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ；可得到DBC与ABC度数的比值为 ；（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明腰三角形的性质知BAD=BDA=75，再根据三角形内角和是180，找出图中角的等量关系，解答即可；（2）根据旋转的性质，作KCA=BAC，过B点作BKAC交CK于点K，连接DK，构建四边形ABKC是是等腰梯形，根据已知条件证明KCDBAD（SAS），再证

6、明DKB是正三角形，最后根据是等腰梯形与正三角形的性质，求得ABC与DBC的度数并求出比值解答：解：（1）当BAC=90时，BAC=2ACB，ACB=45，在ABC中，ABC=180ACBBAC=45，ACB=ABC，AB=AC（等角对等边）；当DAC=15时，DAB=9015=75，BD=BA，BAD=BDA=75，DBA=1807575=30，DBC=4530=15，即DBC=15，DBC的度数为15；DBC=15，ABC=45，DBC=15：ABC=45=1：3，DBC与ABC度数的比值为1：3（2）猜想：DBC与ABC度数的比值与（1）中结论相同证明：如图2，作KCA=BAC，过B点作

7、BKAC交CK于点K，连接DK四边形ABKC是等腰梯形，CK=AB，DC=DA，DCA=DAC，KCA=BAC，KCD=3，KCDBAD，2=4，KD=BD，KD=BD=BA=KCBKAC，ACB=6，KCA=2ACB，5=ACB，5=6，KC=KB，KD=BD=KB，KBD=60，ACB=6=601，BAC=2ACB=12021，1+（601）+（12021）+2=180，2=21，DBC与ABC度数的比值为1：3点评：本题综合考查了是等腰梯形的判定与性质、正三角形的性质、全等三角形的判定以及三角形的内角和24、（2011北京）在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（

8、1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数（2008海淀一模）23、已知：如图，AC是O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长（1）若BAC=2BAN，求证：MN是O的切线（2）在（1）成立的条件下，当点E是AB的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：BED是等边三角形（2008海淀一模）25、已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点

9、Q（1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）（2）当点P满足什么条件时，有AQ+BC=CQ？请证明你的结论（3）当点Q在AD的什么位置时，可证得PC=3PQ？并写出论证的过程种情况讨论即可求解形的判定与性质；正方形的性质。（2008海淀二模）23、已知：ABC（1）如果AB=AC，D、E是AB、AC上的点，若AD=AE，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果ABAC，D、E是AB、AC上的点，若BD=CE，请你确定DE与BC的数量关系，并证明你的结论点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、三角形的三边关系能够巧妙构造全等三角形是解决此题的关键（2008

10、海淀二模）25、根据所给的图形解答下列问题：（1）如图1，ABC中，AB=AC，BAC=90，ADBC于D，把ABD绕点A旋转，并拼接成一个与ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；（2）如图2，ABC中，AB=AC，BAC=90，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正方形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论（2009海淀一模）24、在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明

11、交流原问题：如图1，已知ABC，ACB=90，ABC=45，分别以AB、BC为边向外作ABD与BCE，且DA=DB，EB=EC，ADB=BEC=90，连接DE交AB于点F探究线段DF与EF的数量关系小慧同学的思路是：过点D作DGAB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是ABC=30，ADB=BEC=60度小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若ABC=30，ADB=BEC=60，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得

12、到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若ADB=BEC=2ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明专题：阅读型。DA=DB，EB=EC，AH=BH，1=HDB，CK=BK，2=BEKHKAC点H、K、E在同一条直线上下同证法一点评：此题考查了全等三角形的判定和性质；等边三角形的性质的性质及直角三角形的性质等知识点，在做题时要注意隐含条件的运用（2009海淀二模）25、已知：在四边形ABCD中，ADBC，BAC=D，点E、F分别在BC、CD上，且AEF=ACD，试探究AE与EF之间的数量关系（1）如图1，若AB=BC=A

13、C，则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2，若AB=BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明（2010海淀一模）25、已知：AOB中，AB=OB=2，COD中，CD=OC=3，ABO=DCO连接AD、BC，点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点（1）如图1，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=60，则PMN的形状是 ，此时ADBC=； （2）如图2，若A、O、C三点在同一直线上，且ABO=2，证明PMNBAO，并计算ADBC的值（用含的式子表示）；（3）在图2中，固定AOB，

14、将COD绕点O旋转，直接写出PM的最大值点（2008西城一模）25.如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，FMH=120，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H （1）当点M不与点A、B重合时，求证：AFM=BMH（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明考点：正多边形和圆；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：（1）先有正多边形的内角和定理得出六边形ABCDEF内角的度数，再根据FMH=120，A、M、B在一条直线上，再根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）当点M与点A重合时，FMB=120，MB与BQ的

15、交点H与点B重合，故可直接得出结论；当点M与点A不重合时，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG，由全等三角形的判定定理可得出MBHMBG，再根据全等三角形的性质即可得出结论解答：（1）证明：六边形ABCDEF为正六边形，每个内角均为120FMH=120，A、M、B在一条直线上，AFM+FMA=FMA+BMH=60，AFM=BMH（2）解：猜想：FM=MH证明：当点M与点A重合时，FMB=120，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH当点M与点A不重合时，证法一：如图1，连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MGBAF=120，AF=AB，AFB=FBA=30BH=BGMBH=MBGM

16、B=MB，MBHMBG，MHB=MGB，MH=MG，AFM=BMH，HMB+MHB=30，AFM+MGB=30，AFM+MFB=30，MFB=MGBFM=MG=MH证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PMAF=AB，FP=MB，PA=AMA=120，APM=12（180-120）=30，有FPM=150，BQ平分CBN，MBQ=120+30=150，FPM=MBH，由（1）知PFM=HMB，FPMMBHFM=MH点评：本题考查的是正多边形和圆，涉及到正多边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，涉及面较广，难度较大（2008西城二模）25. 设点E是平行四边形ABCD

17、的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC （1）证明：PC=2AQ（2）当点F为BC的中点时，试比较PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形专题：几何综合题分析：（1）延长DE，CB，相交于点R，作BMPC，交DR于点M根据题意得AQE=EMB，可证得AEQBEM，AEDBER则AD=BR=BC，再根据BMPC，证出RBMRCP，即可得出PC=2AQ（2）作BNAF，交RD于点N，则RBNRFP则BN/PF=RB/RF=2/3还可证明BNEAPE根据相似三

18、角形的性质得出SPFC=S梯形APCQ解答：（1）证明：证法一：延长DE，CB，相交于点R，作BMPC，交DR于点MAQPC，BMPC，MBAQAQE=EMBE是AB的中点，D、E、R三点共线，AE=EB，AEQ=BEMAEQBEMAQ=BM同理AEDBERAD=BR=BCBMPC，RBMRCP，相似比是1：2PC=2MB=2AQ证法二：连接AC，交PQ于点K，易证AKECKD，AE/DC=AK/KC=1/2AQPCAKQCKPAK/KC=1/2，AQ/PC=1/2，即PC=2AQ（2）解：SPFC=S梯形APCQ作BNAF，交RD于点NRBNRFPF是BC的中点，RB=BC，RB=2/3RF

19、BN/PF=RB/RF=2/3易证BNEAPEAP=BNAP=2/3PF因PFC（视PC为底）与梯形APCQ的高的比等于PFC与PQC中PC边上的高的比，易知等于PF与AP的比，于是可设PFC中PC边上的高h1=3k，梯形APCQ的高h2=2k再设AQ=a，则PC=2aSPFC=1/22ah1=3ka，S梯形APCQ=1/2(AQ+PC)h2=1/2(a+2a)2k=3ka因此SPFC=S梯形APCQ点评：本题是一道综合性很强的题目，考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形和梯形的性质，难度较大（2009西城一模）25. 已知：PA=2，PB=4，以AB为一边作正方形

20、ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应APB的大小考点：解直角三角形；正方形的性质专题：计算题分析：（1）作辅助线，过点A作AEPB于点E，在RtPAE中，已知APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；求PD的值有两种解法，解法一：可将PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，求PD长即为求PB的长，在RtAPP中，可将PP的值求出，在RtPPB中，根据勾股定理可将PB的值求出；解法二：过

21、点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在RtAEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF，在RtPDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；（2）将PAD绕点A顺时针旋转90，得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，故当P、P、B三点共线时，PB取得最大值，根据PB=PP+PB可求PB的最大值，此时APB=180-APP=135解答：解：（1）如图，作AEPB于点E， APE中，APE=45，PA=2，AE=PE=222=1，PB=4，BE=PB-PE=3，在RtABE中，AEB=90，AB=AE2+BE2=10解法一：如图，因为四边形ABCD为正

22、方形，可将 PAD绕点A顺时针旋转90得到PAB，可得PADPAB，PD=PB，PA=PAPAP=90，APP=45，PPB=90PP=2PA=2，PD=PB=PP2+PB2=22+42=25；解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G在RtAEG中， 可得AG=AEcosEAG=AEcosABE=103，EG=13，PG=PE-EG=23在RtPFG中，可得PF=PGcosFPG=PGcosABE=105，FG=1015在RtPDF中，可得，PD=PF2+(AD+AG+FG)2=(105)2+(10+1015+103)2=25（2）如图所示，将PAD绕

23、点A顺时针旋转90得到PAB，PD的最大值即为PB的最大值，PPB中，PBPP+PB，PP=2PA=2，PB=4，且P、D两点落在直线AB的两侧，当P、P、B三点共线时，PB取得最大值（如图）此时PB=PP+PB=6，即PB的最大值为6 此时APB=180-APP=135度点评：考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过称中要求学生充分发挥想象空间，确定PB取得最大值时点P的位置（2009年西城区抽样测试）25. ABC是等边三角形，P为平面内一个动点，BP=BA，若0PBC180，且PBC的平分线上一点D满足DB=DA，（1）当BP和BA重合时（如图1），

24、BPD= ；（2）当BP在ABC内部时（如图2），求BPD；（3）当BP在ABC外部时，请直接写出BPD，并画出相应的图形考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题：动点型分析：（1）由于P，A重合，DP=DB，DBP=DPB，因为DB是PBC的平分线，因此，DBP=DPB=30；（2） 本题可通过构建全等三角形来求解连接CD，BP=BC，BD又是PBC的平分线，三角形PBD和CBD中又有一公共边，因此两三角形全 等，BPD=BCD，那么关键是求BCD的值，那么我们就要看BCD和ACB的关系了，可通过证明三角形ACD和BCD全等来得出，这两个三角 形中，BD=AD，BC=AC，有一条公

25、共边CD因此BCD=ACD=30，那么就求出BPD的度数了；（3）同（2）的证法完全一样，步骤有2个，一是得出BCD的度数，二是证明三角形BPD和BCD全等，同（2）完全一样（当BPD是钝角时，BPD=BCD=（360-60）2=150，还是用的（2）中的三角形BPD，BCD全等，BCD，ACD全等）解答：解：（1）BPD=30；（2）如图，连接CD，点D在PBC的平分线上PBD=CBDABC是等边三角形BA=BC=AC，ACB=60BP=BABP=BCBD=BDPBDCBDBPD=BCDDB=DA，BC=AC，CD=CDBCDACDBCD=ACD=12ACB=30BPD=30；（3）BPD=

26、30或150图形如下：故填30点评：本题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；通过全等三角形得出角相等是解题的关键2010西城一模24.如图1，在平行四边形ABCD中，AEBC于点E，E恰为BC的中点，tanB=2（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在线段BE上，作EFDP于点F，连接AF，求证：DF-EF= AF；（3）请你在图3中画图探究：当P为线段EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF垂直直线DP，垂足为点F，连接AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质专题：证明题；探究型分析：（1）首先根据B的正

27、切值知：AE=2BE，而E是BC的中点，结合平行四边形的对边相等即可得证（2）此题要通过构造全等三角形来求解；作GAAF，交BD于G，通过证AFEAGD，来得到AFG是等腰直角三角形且EF=GD，由此得证（3）辅助线作法和解法同（2），只不过结论有所不同而已解答：（1）证明：tanB=2，AE=2BE；E是BC中点，BC=2BE，即AE=BC；又四边形ABCD是平行四边形，则AD=BC=AE；（2）证明：作AGAF，交DP于G；（如图2）ADBC，D=DPC；AEP=EFP=90，PEF+EPF=PEF+AEF=90，即D=AEF=FPE；又AE=AD，FAE=GAD=90-EAG，AFEAG

28、D，AF=AG，即AFG是等腰直角三角形，且EF=DG；FG= AF，且DF=DG+GF=EF+FG，故DF-EF= AF；（3）解：如图3，当EP2BC时，DF+EF= AF，解法同（2） 当EP2BC时，EF-DF= AF点评：此题主要考查的是平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，难度适中，正确地构造出全等三角形是解答此题的关键2010西城二模24. 在ABC中，点P为BC的中点（1）如图1，求证：AP 12（AB+AC）；（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连接DE如图2，连接BE，若BAC=60，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系写出你的结论，

29、并加以证明；请在图3中证明：BC12 DE考点：平行四边形的判定与性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理专题：分类讨论分析：（1）可通过构建平行四边形求解；延长AP至H，使PH=AP；则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在ACH中，由三角形三边关系定理知：AHAC+CH，而HC=AB，AH=2AP，等量代换后即可证得所求的结论；（2） 可按照（1）题的思路求解；过B作AE的平行线，交DE于H，连接AH、CH；易知AD=AE，若BAC=60，则ADE是等边三角形，易证得 DBH也是等边三角形，此时DB=BH=AC，则四边形ABHC的一组对边

30、平行且相等，则四边形ABHC是平行四边形；由此可证得P是平行四边形 ABHC对角线的交点，且AH=2AP；下面可通过证DBEDHA得出AH=DE，从而得出DE=2AP的结论；分两种情况：一、AB=AC时，由题意易知AB=AC=BD=CE，则BC是三角形ADE的中位线，此时DE=2BC；二、ABAC时，仿照的思路，可以BC、BD为边作平行四边形DBCG，连接GE；易证得ABCCEG，则AB=GE；而根据平行四边形的性质易知BC=DG，那么在等腰DGE中，DG=GE，根据三角形三边关系定理知：DG+GEDE，即2BCDE；综合上述两种情况即可证得所求的结论解答：（1）证明：延长AP至H，使得PH=

31、AP，连接BH、HC，PH；BP=PC；四边形ABHC是平行四边形；AB=HC；在ACH中，AHHC+AC；2APAB+AC；即AP12 (AB+AC)（2）答：BE=2AP证明：过B作BHAE交DE于H，连接CH、AH；1=BAC=60；DB=AC，AB=CE，AD=AE，AED是等边三角形，D=1=2=AED=60；BDH是等边三角形；BD=DH=BH=AC；四边形ABHC是平行四边形；点P是BC的中点，AH、BC互相平分于点P，即AH=2AP；在ADH和EDB中，AD=EDD=DDH=DB；ADHEDB；AH=BE=2AP；证明：分两种情况： ）当AB=AC时，AB=AC=DB=CE；B

32、C=12DE；）当ABAC时，以BD、BC为一组邻边作平行四边形BDGC（如图）DB=GC=AC，BAC=1，BC=DG，AB=CE；ABCCEG；BC=EG=DG；在DGE中，DG+GEDE；2BCDE，即BC12 DE；综上所述，BC12 DE点评：此题考查了三角形三边关系定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，难度较大2008东城一模25.已知ABC中，AB=AC=3，BAC=90，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处（1）如图，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF

33、的面积（直接写出结果）（2）如图，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E设CF=x（x1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质分析：（1）由旋转的性质可得出重叠部分AEDF的面积等于三角形ABC面积的一半（2）过

34、点D作DMAB，则y=12BEDM=12 (3-x) = 34（3-x）（0x3且x）（3）分两种情况：如图，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N则y=x+12（1x2）；如图，过点D作AC的垂线，垂足为N，则y=9/2- 12x（2x3）解答：解：（1）S四边形AEDF=94（2）过点D作DMAB，垂足为点M，y=12BEDM=12 (3-x) = 34（3-x）（0x3且x）（3）如图，连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，NAB=AC=3，BAC=90，BC=3BD=2CD，BD=2，CD易得DN=1，DM=2，易证1=2，DME=DNF=90，DMEDNFM

35、E/FN=DM/DNME=2（x-1）AE=2（x-1）+1=2x-1y=SADE+SADF=12 (2x-1)2+12 (3-x)1=x+12 (1x2)如图，过点D作AC的垂线，垂足为N，AB=AC=3，BAC=90，BC=3BD=2CD，BD=2，CD=易得DN=1，y=SABC-SCDF=9/2- 12x1=9/2- 12x(2x3)y= x+12 (1x2)9/2- 12x(2x3)点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质以及根据实际问题列一次函数的关系式2009东城一模25. 请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如图1

36、，若弦AB、CD交于点P，则PAPB=PCPD请你根据以上材料，解决下列问题已知O的半径为2，P是O内一点，且OP=1，过点P任作-弦AC，过A、C两点分别作O的切线m和n，作PQm于点Q，PRn于点R（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：1/PQ+1/PR的值；（2）若OPAC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：1/PQ+1/PR的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：1/PQ+1/PR的值，并给出证明考点：相交弦定理；相似三角形的判定与性质专题：阅读型分析：（1）由于AC过圆心，那么Q，A重合，R，C重合，可

37、根据OP和半径的长求出PA，PC的长，即PQ，PR的长由此可得出所求的结论；（2）连接OA，不难得出OAPQ，那么可得出OAP=APQ，可先在直角三角形OAP中，求出OAP的度数和AP的长，进而可在直角三角形APQ中求出PQ的长，同理可求出PR的长，即可求出所求的结论；（本题还可通过证ADP和PAQ相似，得出1/PQ的值，同理可连接CD得出1/PR的值）（3）本题要通过相似三角形来求解过点A作直径交O于点E，连接EC，通过相似三角形AECPAQ，得出关于AC，PQ，AE，AP的比例关系式，同理可求出AC，PR，AE，PC的比例关系式，两式联立可得出1/PQ+1/PR的表达式，然后根据相交弦定理

38、即可证得所求的结论（第二种证法和（2）的第二种求法完全相同）解答：解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切O于点A，C，ACm于点A，ACn于点CQ与A重合，R与C重合OP=1，AC=4，1/PQ+1/PR=1+1/3=4/3（2）连接OA，OPAC于点P，且OP=1，OA=2，OAP=30AP=3OA直线m，PQ直线m，OAPQ，PQA=90APQ=OAP=30AP=3OA直线m，PQF直线m，OAPQ，PQA=90APQ=OAP=30在RtAQP中，PQ=3/2，同理，PR=3/2，1/PQ+1/PR=2/3+2/3=4/3（3）猜想1/PQ+1/PR=4/3证明：过点A作直径交O于点E，连

39、接EC，ECA=90AE直线m，PQ直线，AEPQ且PQA=90EAC=APQAECPAQAC/PQ=AE/AP同理可得：AC/PR=AE/PC+，得：AC/PQ+AC/PR=AE/AP+AE/PC1/PQ+1/PR=AE/AC（1/AP+1/PC）=(AE/AC) (PC+AP)/(APPC) = AE/(APPC)过P作直径交O于M，N，根据阅读材料可知：APPC=PMPN=3，1/PQ+1/PR=4/3点评：本题主要考查了相似三角形和相交弦定理的应用，根据相似三角形得出与所求相关的线段成比例是解题的关键2009东城二模25. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，DCBC，AB=10，A

40、D=6，DC=8，BC=12，点E在下底边BC上，点F在AB上 （1）若EF平分直角梯形ABCD的周长，设BE的长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；（2）是否存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）若线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，将BEF的面积记为S1，五边形AFECD的面积记为S2，且S1：S2=K求出k的最大值考点：二次函数综合题；直角梯形；相似三角形的判定与性质专题：综合题；开放型分析：（1）由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72用含x的代数式表示BEF的面积，只需求FG即可；（2）根据函数

41、关系式无解，知不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2，则有k=S1：S2=S1/（72-S1），要使k取最大值，只需S1取最大值，根据SBEF=1/2BEFG=-2/5 x2+36/5 x (8x12)，求出S1取最大值72/5得出k的最大值是1/4解答：解：（1）由已知，得梯形周长=36，高=8，面积=72 过点F作FGBC于点G，过点A作AKBC于点K，则BFGBAK可得FG=4/5 (18-x）SBEF=1/2 BEFG=-2/5 x2+36/5 x (8

42、x12)（3分）（2）不存在（4分）由（1）-2/5 x2+36/5 x = 36，整理得：（x-9）2 =-9，此方程无解（5分）不存在线段EF将直角梯形ABCD的周长和面积同时平分（3）由已知易知，线段EF将直角梯形ABCD的周长分为1：2两部分，只能是FB+BE与FA+AD+DC+CE的比是1：2（6分）k=S1：S2=S1/(72-S1)要使k取最大值，只需S1取最大值与（1）同理，FG=4/5 (12-x)S1=1/2 BEFG=-2/5 x2+24/5 x (2x12)，当x=6时，S1取最大值7/25此时k=1/4k的最大值是1/4（8分）点评：本题结合直角梯形的性质考查二次函数

43、的综合应用，注意此题三角形边与面积，梯形周长，高，面积相互间的关系2010东城一模25. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交 ABCD的边于E、F两点，（1）求证：ME=MF；（2）若将原题中的正方形改为矩形，且BC=2AB=4，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题：几何综合题分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等；故M分别作MGBC于G，MHCD于H，易得MG=MH，而EMG、FMH都是GMF的余角，由

44、此可证得EMG=FMH，即可证得MGEMHF，由此得证（2）此题要分四种情况讨论： 当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时；此种情况与（1）类似，不同的是（1）题用到的是全等，而此题运用的是相似，过点M作MGBC于点 G，MHCD于点H，通过证MGEMHF，得到关于ME、MF、MG、MH的比例关系式，联立矩形的性质及BC、AB的比例关系，即可求得ME、 MF的比例关系；当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时解法同；当MN、MQ两边都交边BC于E、F时，过M作MHBC于H，由于M是AC的中点，且已知AB的长，即可求得MH=1，在RtEMF中，MHEF，易证得MEHFEM，FMHFEM可得

45、ME/FE=MH/FM，FM/FE=MH/EM将MH=1代入上述两式，然后联立勾股定理即可得到ME、MF的关系式；当MN交BC边于E点，MQ交AD于点F时可延长EM交BC于G，易证得MEDMGB，即可得ME=MG，那么这种情况下与完全相同，即可得解解答：（1）证明：过点M作MGBC于点G，MHCD于点HMGE=MHF=90M为正方形对角线AC、BD的交点，MG=MH又1+GMQ=2+GMQ=90，1=2在MGE和MHF中1=2，MG=MH，MGE=MHFMGEMHFME=MF（3分）（2）解：当MN交BC于点E，MQ交CD于点F时过点M作MGBC于点G，MHCD于点HMGE=MHF=90M为矩

46、形对角线AC、BD的交点，1+GMQ=2+GMQ=901=2在MGE和MHF中，1=2MGE=MHFMGEMHFME/MF=MG/MHM为矩形对角线AB、AC的交点，MB=MD=MC又MGBC，MHCD，点G、H分别是BC、DC的中点BC=2AB=4，MG=1/2AB，MH=1/2BCME/MF=1/2（4分）当MN的延长线交AB于点E，MQ交BC于点F时过点M作MGAB于点G，MHBC于点HMGE=MHF=90M为矩形对角线AC、BD的交点，1+GMQ=2+GMQ=901=2在MGE和MHF中，1=2，MGE=MHFMGEMHFME/MF=MG/MHM为矩形对角线AC、BD的交点，MB=MA

47、=MC又MGAB，MHBC，点G、H分别是AB、BC的中点BC=2AB=4，MG=1/2BC，MH=1/2ABME/MF=2（5分）当MN、MQ两边都交边BC于E、F时过点M作MHBC于点HMHE=MHF=NMQ=901=3，2=4MEHFEM，FMHFEMME/FE=MH/FM，FM/FE=MH/EMM为矩形对角线AC、BD的交点，点M为AC的中点又MHBC，点M、H分别是AC、BC的中点BC=2AB=4，AB=2MH=11/ME=FM/(MHEF)=FM/EF，1/MF=EM/(MHEF)=EM/EF1/ME2+1/MF2=(FM2+EM2)/EF2=1（6分）当MN交BC边于E点，MQ交

48、AD于点F时延长FM交BC于点G易证MEDMGBMF=MG同理由得1/MG2+1/ME2=11/ME2+1/MF2=1（7分）综上所述：ME与MF的数量关系是ME/MF=1/2或ME/MF=2或1/ME2+1/MF2=1点评：此题考查了正方形、矩形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用；由于（2）题的情况较多，做到不漏解是此题的难点2010东城二模25. 已知，正方形ABCD的边长为1，直线l1直线l2，l1与l2之间的距离为1，l1、l2与正方形ABCD的边总有交点（1）如图1，当l1AC于点A，l2AC交边DC、BC分别于E、F时，求EFC的周长；（2）把图

49、1中的l1与l2同时向右平移x，得到图2，问EFC与AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出EFC与AMN的周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转，得到图3，问EFC与AMN的周长的和是否随的变化而变化？若不变，求出EFC与AMN的周长的和；若变化，请说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；几何变换的类型专题：证明题分析：（1）分别计算EF、EC、CF的长度，计算EFC的周长即EF+EC+CF即可；（2）证明AHMERP，AHNFGQ得AM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQ，可得EFC与AMN的周长的和不随x的变化而变化（3

50、）AHMFSQ，AHNERP可得AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP可以求得EFC与AMN的周长的和为CPQ的周长解答：解：（1）如图1，正方形ABCD的边长为1，AC=又直线l1直线l2，l1与l2之间的距离为1CG= -1EF=2 -2，EC=CF=2-EFC的周长为EF+EC+CF=2；（2）EFC与AMN的周长的和不随x的变化而变化如图2，把l1、l2向左平移相同的距离，使得l1过A点，即l1平移到l4，l2平移到l3，过E、F分别做l3的垂线，垂足为R，G可证AHMERP，AHNFGQAM=EP，HM=PR，AN=FQ，HN=GQEFC与AMN的周长的和为CPQ的周长，由已知可计算CPQ的周长为2，