研究生数值分析(23,24,25)

1、将积分区间a，b等分，取分点,作为求积节点，并作变量替换,3 Newton-Cotes求积公式,将积分区间的等分点作为求积节点，构造出来的求积公式称为牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式。,1、牛顿-科茨公式,的求积系数,为,那么插值型求积公式,则,于是得相应的插值型数值积分公式,这就是一般的牛顿科茨公式，,称为科茨系数。,若记,其中,从科茨系数公式可以看出，科茨系数,的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了积分区间的等分数n，就能算出,例如，当 n=1时，有,相应的牛顿科茨公式为,这就是前面提到的梯形公式。,当 n=2时，有,相应的牛顿-科茨公式为,辛普森公式的几何意义就是用通过A,

2、B,C三点的抛物线,代替y= f(x)所得曲边梯形的面积。,这个公式称为辛普森（Simpson）公式。,如图所示,为了便于应用，我们把部分科茨系数列在下表中。利用这张科茨系数表，可以很快写出各种牛顿科茨公式。,例如，当 n=4时，有,其中,下面，我们给出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的截断误差（余项）和它们的代数精度的几个结论。,这个公式称为科茨（Cotes）公式。,定理3 若,在a , b上连续，则梯形公式,若,在a,b上连续，则辛普森公式,若,在a,b上连续，则科茨公式,的余项为,的余项为,的余项为,证 1、,因,在a , b上连续，,由Newton-Cotes求积公式的截断误差,且 n=

3、1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差,其中,。,请推到此式,故根据积分中值定理，必存在,使得下式成立,其中,。,上连续。,在,上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号，,在,设,由于,的截断误差为,可以看出，梯形公式具有一次代数精度。,因此，梯形公式,辛普森公式,截断误差为,可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。,科茨公式,截断误差为,可以看出，科茨公式具有五次代数精度。,定理4 梯形公式的代数精度为1； 辛普森公式的代数精度为3； 科茨公式的代数精度为5。,梯形公式,辛普森公式,科茨公式,其中,在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。,例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式,

4、计算积分,的近似值，并估计截断误差。,解：用梯形公式计算，得,截断误差估计为,用Simpson公式计算，得,截断误差估计为,4 Newton-Cotes求积公式的 收敛性与数值稳定性,记,其中,是Newton-Cotes求积系数,今考察是否对任何在a,b上可积的函数f (x)都有,这是Newton-Cotes求积公式,的收敛问题。,先看一个例子，,此时有,In(f)的一些计算结果如表,从表可以看出，当n时，In(f)不收敛于I(f)。这说明，Newton-Cotes求积公式并不是对所有在a，b上可积的函数都收敛。,多节点的Newton-Cotes求积公式的数值稳定性是没有保证的。,为了提高计算

5、结果的精度，常常采用复合求积的方法。,复合求积，就是先将积分区间a,b分成几个小区间,然后在每个小区间上计算积分,4 复化求积公式,的近似值。用此方法得到的数值积分公式，统称为复合求积公式。,的近似值并取它们的和作为整个区间a，b上的积分,其中,上应用梯形公式,称为步长,比如，在小区间,的近似值,于是,得积分,若将近似值记作,，并注意到,和,则由上式可得复合求积公式,用类似方法可以导出复合辛普森公式,该公式称为复合梯形公式。,和复合科茨公式,其中,下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。,定理5 若,在积分区间a，b上连续，,若,则复合辛普森公式的余

6、项为,则复合梯形公式的余项为,在积分区间a，b上连续，,若,则复合科茨公式的余项为,在积分区间a，b上连续，,证明略,例2 对于,利用数据表计算积分,解：这个问题有明显的答案,将积分区间0，1划分为8等分，取 n=8,应用复合梯形公式,现在用复合求积公式进行计算。,求得,如果将积分区间0,1划分为4等分，取n=4,应用复合辛普森公式,求得,比较,与,点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别,只有2位有效数字，,有7位有效数字。,的结果，它们都需要提供9个,很大，,例3 利用复合辛普森公式,计算积分,的近似值，使截断误差不超过,并用同样点按复合梯形公式和复合科茨公式重新计算近似值。,解：首先应

7、根据精度的要求，确定区间 0，1的等分数 n,由于,故,根据复合辛普森公式的余项表达式,为满足精度要求，需 n 满足,这只需,即 n4，取 n=4 可得,对同样9个点上函数值（见下表）,若用复合梯形公式计算，所得近似值为,若用复合科茨公式计算，所得近似值为,三种方法计算工作量相同（都需计算9个点的函数值），但所得结果与积分准确值0.9460831相比较，复合辛普森公式具有精度高，计算较简便等优点，因此得到较广泛应用。,解：设,所以,由,例4 利用复合辛普森公式计算,于是,9个点上的函数值如下表,例5 取9个点的函数值，用复合辛普森公式,估计误差，并说明结果的有效数字。,解：,各求积节点和各求积节点的函数值如下表：,计算积分,近似值，,为了估计误差,要求,的高阶导数，,故,从而有,由于