一元函数微积分学内容提要

1、第四部分一元函数微积分第十一章函数极限和连续内容提要一、函数： (第138-141页)1、函数的定义：对应规则、定义域的确定、函数值计算、单纯函数图形绘制。2、函数分类：基本初等函数(函数、指数函数、对数函数、三角函数、倒三角函数的总称)复合函数()； 初等函数(由常数和基本初等函数构成，只能用一个公式表示的函数)分段函数隐函数幂指数函数()； 逆函数。3、函数的特性：奇偶单调性周期性有界性二、界限：一、极限概念： (第141-142页)定义1:(数列的界限)如果无限大，则该通则记载为无限某常数，即无限接近零时，记载为数列的界限，或者数列收敛，如果没有界限，则记载为数列发散。定义2:(时函数的

2、极限)函数被定义在有点的向心附近，如果朝向无限()函数的值朝向无限，则称为极限。左极限：如果函数定义在点的左边附近，如果函数的值无限朝向常数，则时的左极限记为。右极限：假定函数定义在点的右附近，如果函数的值无限地朝向常数，则时的右极限记为。定义3 :定义为设定在(无限大时函数的界限)区间，成为无限大时，函数值无限朝向常数时，称为界限。左极限：如果函数有定义，那时的值无限接近常数的话，这时就看作极限来写。右极限：函数有定义的话，那时的值无限接近常数的话，这时就视为极限来写。注意：界限与左右界限的关系是.讨论界限时，不管哪里有定义，与函数值无关。2、极限性质： (第143页)(1)唯一性：如果存在

3、，极限值是唯一的。(2)有界性：如果()的话，内(足够大时)为有界(3)保号性：如果(或)，则假设其中有(或)，相反，如果在内(或)，则一定有(或)。推进：设定，如果是的话，包括它在内。相反，如果在内一定有。注意：当时，保号结论相似。3、无限少量和无限大量： (第146-149页)(1)无限少量和无限大量的概念和关系；无限少量：这样的话，函数就称为无限少量。 (无限少量是函数有限的特殊情况)无限大：时间无限大时，就叫时间无限大。 (无限大是函数没有极限的特殊情况。)(2)值得关注的几个关系：极限和无限少量的关系：，(这里是无限小，即)在自变量的相同变化过程中，如果是无限大量，则无限少量()为无

4、限少量时，变为无限大。如果是，则在(或)内称为边界函数。也就是说，无限大一定是无限大，但不一定是无限大。例如，虽然不是边界函数，但当时不是无限大。(3)无限少量的比较：那么1 )如果是常数，就称为和时相同次数的无限小特别是当时，据说时间是无限小的，如下记载。时间。2 )这样的话，时间就比高阶无限小了3 )如果是的话，时间比低阶无限小。(4)无限少量的替代定理：有时，全部是无限少量，并且存在极限。例如：三、函数的连续性一、连续概念： (第149-147页)名字定义函数在点上是连续的如果是这样，就说是点连续的.或者年轻据说在点上是连续的左连续如果在点上称为左连续.右连续如果在点上称为右连续.函数在

5、点上连续的充分条件左在点连续，右在点连续函数在内是连续的中的所有点都连续的话，就叫内连续函数在上面是连续的内连续，点右连续的话()点接左()称为函数接上二、间断点及其分类： (第147-151页)定义：函数的不连续点在其间称为断点分类：设置为的间断点(1)及如果全部存在，则称为第一种不连续点(即，如果存在的话)第一类可以到间断点(2)不存在时，称为第二类不连续点.3、连续函数的运算： (第148页)(1)四则运算：两个连续函数的和、差、积、商(分母非零)仍为连续函数(2)逆函数的连续性：如果元函数为单一值、单调且连续，则其逆函数也为单一值、单调且连续。(3)复合函数的连续性：两个连续函数复合的

6、复合函数一定是连续的(4)初等函数的连续性：结论所有基本初等函数在其定义域中是连续的初等函数在其定义区间中是连续的4、闭区间中连续函数的性质： (第148-149页)(1)有界性：上连续时，上有有界(2)最大值定理：上面连续的话，上面一定有最大值和最小值也就是说，有。(3)零点存在定理：以上连续，且，将函数值为零的点称为该函数的零点.(4)介值定理：上连续，只要是中间的实数，一定推论：闭区间中连续的函数一定取最大值和最小值之间的任意值四、计算极限的常用方法：(类型：等)(1)观察法：例如选择(2)四则算法：如果是PS )PS )推进：(常数)(自然数)(3)两个重要的极限公式：或(4)利用函数

7、的连续性：如果在点上连续的话(5)利用无限少量的性质：在同一自变量的变化过程中I )有限个无限少量的代数和积还是无限少量的ii )无限少量和有界量的积是无限少量iii )无限少量和有限变量的积是无限少量的iv )无限少量的无限大量。v )无限少量的等效置换：当时：等等。(7)存在极限的满足条件：(8)罗必达法则(或):(或)存在(或)的情况第12章单元函数微分学内容提要一、导数和微分：一、导数的概念： (第156-159页)(1)导数的定义名字定义函数点上的导数导数符号：左导数右导数是.函数可以用点导出的充分条件全部存在且相等函数是导数是的，有导数符号。函数在上面如果函数在开区间可以导通且全部

8、存在，则称为上导通.高阶导数二次及二次以上的导数称为高次导数，称为一次导数也就是说(2)导数的几何意义：曲线点处的切线方程式：法线方程式：(3)可引导性和连续关系：定理：如果函数能用点导出，函数在这一点上一定是连续的注意：虽然连续，但不一定连续2 .导数的运算：(1)基本导数式(合计16个) (第159-161页)函数导数公式常数函数的双曲正切值函数的双曲正切值指数函数，对数函数，三角函数倒三角函数(2)求导航规则(第160-165页)函数求导式四则定律推进：(常数)复合函数如果复合：逆函数是的，是逆函数隐藏函数(对数求导法)是的，信方程式的两端(或取对数的方程式的两端)同时求导、解(3)、高

9、阶导数的公式和规律：特例：，(常数)三、微分概念： (第165-166页)(1)微分的定义：定义函数，并且其中，以不依赖的常数，比高阶无限小，在点上被称为微小，在点上被称为微分，或记述为或者(2)微型与导电性的关系：定理函数在点上是可微分的。 然后，(注意：可以微分)。(3)微分的几何意义这里微分的几何意义是(切线的增量)切线的斜率(4)微分的基本式和四则算法(第162-163页)基本表达式：或(省略)微分四则算法： (常数)(1次微分形式的不变性)二、中值定理和导数的应用：中值定理： (第167-168页)名字条件结论罗尔定理假设函数满足条件：在上面连续可以引导到内内部至少存在一个，很满足拉

10、格朗日定理假设函数满足条件：在上面连续可以在区间内引导因为至少存在一点或者(拉格朗日中值式)拉格朗日定理推理1区间总是有的(常数)拉格朗日定理推理2区间总是有的(常数)2、罗必达法则：计算界限(第168-171页)3 .函数的单调性和极值(第171-175页):名字称条件结论信数数儿的双曲正切值单票使调子性函数在上面连续，内部有导电性单调地增加函数在上面连续，内部有导电性上单调减少极地值的双曲正切值判决告别。法律(I )函数到处连续，可以内在地导出(或不存在)。有时有时是极大值有时有时极小值极值的判别法()，极小值是极大值导数极值存在的必要条件可以用点引导，是极值(此时称为驻地)注意：从定义中

11、可以看出，极值概念是局部的，最大值概念是整体的。如果函数有定义，则如果是一定的话，就称为函数的极大值(或极小值) .如果函数的定义域一定(或)，则称为函数的最大值(或最小值) .4、函数的凹凸性和拐点： (第175-176页)定义：连续曲线总是在其切线上(下)时，该曲称为凹(凸)。凹凸性的判定法：存在于区间如果是这样的话，曲线就凹陷了()；(2)如果是的话，曲线是凸的().拐点：连续曲线上的凹弧和凸弧的边界点，称为该曲线的拐点6、曲线的渐近线： (第177页)定义：无限延伸的曲线与某条直线的距离无限为0时，就把该直线称为该曲线的渐近线(1)水平渐近线如果(常数)，则称为曲线的水平渐近线(2)垂

12、直渐近线如果，被称为曲线的垂直渐近线第十三章单元函数积分学内容提要一、不定积分(第187-196页)1 .原函数和不定积分的概念：原函数的定义：如果称为整个原函数。不定积分的定义：2 .不定积分的性质：(常数)灬或者或者3、记住基本积分公式(记住13个):(常数)特例4 .不定积分的积分法名字具体方法方法示例公式法利用定义、性质和公式求不定积分的方法示例：凑微分法众所周知(恒等变形)示例：元积分法设防则(兑换)金属规则：(1)是令(2)是令(3)是令(4)、令支部积分法：简称：示例：二、定积分一、定积分的概念： (第196-197页)定义：几何意义：=曲边梯形面积的代数和特别的东西：函数上可积

13、的必要条件：闭区间有边界函数可积的充分条件：在闭区间上连续。2、定积分的性质： (第197-198页)规定：线性： (常数)附加值：不等式性： 若若()如果积分中值定理：在上面连续，则至少存在点3、可变上限定积分(可变上限函数) : (第199页)定义：上连续，函数称为变量上限定积分，它是上限变量函数，定义域为。性质：是导数，如果是那样的话4、定积分的计算： (第199-204页)名字计算公式牛顿莱普尼茨公式在上面连续且凑微分法没有兑换和限制如果知道的话元积分法已知：的情况(令、时、 时、时不忘记金属规则与不定积分一致改变元时改变上下限不返回变换后的变量。支部积分法积分比积分更容易得到公式法作为周期()5、定积分的几何应用(第20-205页):(1)区间连续设置，曲线和轴包围的曲边梯形的面积(2)曲线和绕轴包围的曲边梯形(图1 )旋转一周的旋转体的体积如下。o.o甲级联赛乙级联赛xyxx dx小图1例题分析：是例1、(c )。A.0 B.2 C.4 D.2例2、如果其中具