概率论与数理统计电子教案

1、第一章随机事件及其概率概率论和数理统计是一门应用数学学科，从定量的角度研究现实世界中一类不确定现象(随机现象)的规律性。本章介绍的随机事件和概率是概率论中最基本和最重要的概念之一。1.1随机事件I .随机测试1确定性现象：不可避免或不可避免的现象。在正常大气压下，纯水加热到100时会沸腾，向上抛的石头会落下，相反的电荷互相吸引，相同的电荷互相排斥，等等。随机现象：是一种在特定条件下我们无法提前准确预测其结果的现象。如果你掷骰子，你可能得到1，2，3，4，5，6分。扔一枚统一的硬币会导致两种不同的结果：正面向上和负面向上。随机现象的特征：经过长期实践和深入研究，人们发现在大量重复实验或观察下，这

2、种现象的结果表现出一定的统计规律性。概率论和数理统计是研究随机现象统计规律的学科。4.随机测试为了研究随机现象的统计规律，有必要反复观察随机现象。我们称之为观察随机现象随机测试，简称为测试，并记录为。5.随机测试具有以下特点：1.重复性：试验可在相同条件下重复进行；2.可观察性：测试结果可观察，所有可能结果清晰；3.随机性(不确定性):每次测试的结果不能事先准确预测。然而，可以肯定的是，所有可能的结果之一将会出现。第二，随机事件1.样本点：随机测试中每个可能的测试结果被称为该测试的样本点，并记录为。2样本空间：所有样本点的集合被称为该随机测试的样本空间，并被记录为。(或)。即例子1:扔一枚硬币

3、，观察正面和背面的情况。那么样本空间是。:连续扔两次硬币，观察正面和背面的情况。那么样本空间是。:扔硬币两次，观察h出现在正面的次数。那么样本空间是。:记录电话站在一分钟内收到的呼叫数。那么样本空间是。当已知一个物体的长度在10到20之间时，测量它的长度。那么样本空间是。从大量灯泡中选择一个，测试其使用寿命。那么样本空间是。注：1)在中国，虽然一分钟内收到的电话数量有限，也不会很大，但一般来说，人们很难设定电话数量的理论上限。为了方便起见，上限取为，这在理论研究中经常使用。2)样本空间的元素由测试目的决定。例如，如果同一枚硬币连续扔了两次，样本空间也会不同，因为测试的目的不同。3随机事件：我们

4、称测试样本空间的子集为随机事件，或简称为事件，在随机测试中可能发生，也可能不发生，但在大量重复测试中有一定的规律性。通常，事件用大写字母表示，设置为事件，并且当且仅当样本点出现在测试中时，该事件被称为发生在测试中。例如，在投掷统一硬币的测试中，“面朝上”是一个随机事件，可以用面朝上来表示。掷骰子时，“偶数点”是一个随机事件，测试结果是2、4或6点，可以用b=2、4、6来表示。注：判断一个事件是否发生在测试中，只有当测试有结果时我们才能知道。1)基本事件：只有一个采样点的随机事件称为基本事件。如果：掷骰子并观察点数，那么“1点出现”、“2点出现”、“6点出现”是测试的基本事件。2)不可避免的事件

5、：样本空间本身也是一个子集。它包含的所有样本点必须出现在每个测试中，这被称为不可避免的事件。也就是不可避免的事件。例如，“掷骰子，点数不超过6”是一个不可避免的事件。3)不可能的事件：空集也是一个子集，它不包含任何样本点，并且不能在每个测试中出现。这被称为不可能的事件。不可能的事件不包含任何样本点。例如，“如果你掷骰子，点数大于6”是不可能的事情。第三，事件与操作的关系研究理由：我希望通过理解简单的事件来掌握更复杂的事件。研究规则：事件之间的关系和操作应该根据集合之间的关系和操作来定义。事件之间的关系和操作与集合的关系和操作是一致的。1个子事件，包含关系,2等于事件：如果事件A发生，它将不可避

6、免地导致事件，如果事件发生，它将不可避免地导致事件，即，A=B注意：事件和事件具有相同的采样点例如，在掷骰子的测试中，事件“偶数分”和事件“2、4或6分”是相等的事件。3和事件或事件,4、产品或交付事件,5.事件的差异,注意：例如，在示例1中，如果您记得，则，6.互斥或不相容。事件a和随机b不能同时发生。注意：促销：将事件满意度设置为事件这两者不相容。相反的事件或相互的事件如果只有一个事件和事件发生，即那么事件和事件是相互的事件或相反的事件。记住如下相反的事件注：互惠事件必须是互斥事件，而互斥事件不一定是互惠事件事件的关系和操作可以用图形直观地表示出来。注：事件的计算满足以下基本关系。，(2)

7、如果ab，a b=b，a b=a。A-B=A =A-AB，AB=A(B-A)。8.完整事件组：被设置为受限或可计数的，如果它满足，它被称为完整的事件组或样本空间的一个分区。注意：形成一个完整的事件组。四、随机事件的运行规律幂等定律：外汇法：结社法：分配法：德摩根定律：例2:一名射手连续三次向目标射击。这一事件表明枪手是第一次开枪。当击中目标()时，尝试表示以下事件。(1)前两枪中至少有一枪击中目标；(2)第一次击中目标，第二次未击中目标；(3)在三次射击中，只有第三次没有击中目标；(4)三枪中，只有一枪击中目标；(5)三次射击中至少有一次没有击中目标；(6)三枪未击中目标；(7)三枪中至少有两

8、枪击中目标；(8)三发子弹，最多击中目标一次解：由(1)、(2)、(8)中给出的事件表示。(1)。(2)或(3)(4)(4)或(6)(7)(8)例2:甲、乙、丙各射一次靶。请记住，通过计算以上三个事件，“A目标”、“B目标”和“C目标”可分别用于表示以下事件：(1)“未命中目标”:(2)“中等目标和中等目标”:(3)“三个中只有三个没有达到目标”:(4)“三个人中的一个恰好是目标”:(5)“三者中至少有一个应为目标”:(6)“三个目标中至少有一个没有达到”:或(7)“三者中只有两个是目标”:(8)“三分之二以上的目标”:(9)“三个都没有达到目标”:(10)“最多三个目标之一”:(11)三分之

9、二的目标:或注意：其他事件的操作通常不是表达事件的唯一方式。在上面的例子中，(6)和(11)实际上是同一个事件。读者应该学会用不同的方式表达同一个事件，特别是在解决具体问题时，他们经常需要根据自己的需要选择合适的表达方式。例3在图中所示的电路中，=灯亮、意思是“开关一、二、三闭合”，这是因为，如果发生这种情况，开关I和ii同时闭合。闭合时，整个电路被接通，然后灯点亮，也就是说，出现一个，所以，类似地如果或中的至少一个发生，则整个电路被接通，那么灯是亮着的，也就是说，A发生了，所以相反地，如果A发生了，也就是说，灯是亮着的，那么至少一个或发生了，所以根据相等事件的定义，课堂练习1.如果事件同时发

10、生，则(c)(a)是次级活动；(b)或(c)是次级活动；(d)是次级活动。2.如果事件(甲产品卖得好，乙产品卖得不好)，相反的事件是(丁)。A类产品销售不佳，而B类产品销售良好；产品销售不佳；产品甲和乙都很畅销；甲产品销售不佳或乙产品销售良好。1.2频率和概率随机事件是否会在随机测试中发生还不能预先确定，但我希望知道它的发生。发生的概率。这里首先介绍了频率的概念，然后导出了数字度量-概率，它表征了实验中事件发生的概率。一、频率及其特性定义1在相同条件下重复测试，如果事件在此测试中如果发生一次，该比率称为事件发生频率，记录为它具有以下非负属性：标准的有限可加性频率的大小表示测试中事件发生的频率。

11、如果频率大，事件的发生就频繁，在测试中发生的可能性就大，反之亦然。因此，直观的想法是用频率来描述测试中出现的可能性。2频率稳定性当一个随机事件在相同条件下重复多次时，事件发生的频率围绕一个固定值摆动，随机测试次数的增加更加明显，事件发生的频率稳定在一个数值上，这表明该数值可以用来描述事件发生的可能性的大小，并可以指定为事件发生的概率二、概率的统计定义定义2事件的概率被定义为在相同条件下对任何事件进行重复测试后，事件发生的次数，因此事件的频率随着测试次数的增加而稳定地围绕某一常数摆动。上述定义称为随机事件概率的统计定义。在实际应用中，当测试次数足够大时，可以用频率来估计概率，随着测试次数的增加，

12、估计精度会越来越高。在实践中，我们不能对每个事件做大量的测试，然后获得事件的频率来表征事件的概率。因此，给出了概率的严格公理化定义。第三，概率的公理化定义定义3是一个随机测试，它是样本空间，为每个事件分配一个样本空间一个实数，记录为，如果满足以下三个条件：(1)每个事件都有非阴性；(2)规范性对于不可避免的事件，有(3)可数可加性被定义为两个相互不相容的事件，有些被称为发生概率。四.概率的本质自然1财产2。有限可加性：如果是两个互不相容的事件，那么就有如果是这样的话自然3。对于任何随机事件，都有自然4。假设有两个事件，如果有，证明，因为，并因此有)，和。天生如此2因此因此，结果是自然5:任何事

13、件。属性6(减法公式):对于事件，则证明由于，并根据财产4可用自然7:任何两个事件都有促销：证明：因为，从属性2和4通常，如果设置了n个随机事件，则有这个公式叫做概率的一般加法公式。示例1:设置提问(1)；(2)；(3)；(4)。解决方案： (1)(2)；(3)(4)示例2:设置，寻求这些事件都不会发生的可能性。解决方案：=因为，因此，因此练习：将事件A和事件B的概率分别设置为1/3和1/2，并在以下三种情况下找到值(1)A和b不相容(2) (3)P(AB)=1/8解：(1)从已知=P(B)=1/2(2)=P(B)-P(A)=1/6(3)=P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=3

14、/81.3经典概率和几何概率一、经典概括我们把具有以下两个特征的随机测试模型称为经典概率。(1)随机测试只有有限的可能结果；(2)每个结果的概率是相同的。经典概率也被称为等概率。如果测试是经典概率，样本空间是，那么基本事件，这两者互不相容由于并且因此如果事件包含基本事件，即哪里有不同的号码，哪里就有也就是说，二、经典概率的计算方法1基本计数原则：(1)。加法原理：完成一件事有两种方法，第一种是一种方法，第二种是一种方法，第一种方法是一种方法，不管你用哪种方法可以完成它，完成它的方法的总数就是。(2)乘法原理：假设有一个步骤完成一件事情，其中第一步有两种方法，第二步有两种方法，和第一步的一种方法

15、；要完成这件事，一个人必须经历每一步，那么完成这件事的总方法是。2.排列组合法(1)排列公式：N个不同元素中任意K个元素的不同排列总数为(2)组合公式；来自n个不同元素的k的不同组合的总数是例1 :抛硬币三次，观察前后t的出现(1)将事件设置为“只有一个积极事件”并询问(2)将事件设置为“第一次正面出现”并询问，(3)将事件设置为“至少一次正面”并询问解决方案：它包含有限数量的元素，每个基本事件的可能性是相同的，属于经典概率类型。样本空间，(1)，(2)，(3)或实施例2:袋包含5个白色球和3个黑色球，其中2个根据以下方法提取：(1)第一次拿一个球，不要把它放回袋子里，第二次从剩下的球里拿另一

16、个球。这种拿球的方式这个公式叫做无返回抽样。(2)第一次拿一个球，观察它的颜色，把它放回袋子里，搅拌均匀，然后拿另一个球。这种舞会这种方法称为反向采样。(3)一次拿两个球。Set=所有的两个球都是白球=两个球中的一个是白球，一个是黑球，请。解决方案(1)不进行取样。第一次从8个球中抽出一个球，不再放回原处。因此，第二次从7个球中抽取一个球，所以基本项目的总数为。因为第一次抽取5个白球，第二次抽取4个白球，所以该事件中包含的基本事件数为，因此有5种方法可以拿走5个白球中的一个，有3种方法可以拿走3个黑球中的一个。第一次你得到一个白色的球，第二次你得到一个黑色的球，第一次你得到一个黑色的球，第二次你得到一个白色的球构成一个事件。因此，有各种方法(2)放回采样。因为它每次从8个球中提取，由乘法原理形成的基本事件的数量，基本事件的总数，并且因为它从5个白球中提取两次，因此包括在事件中的基本事件的数量：第一次你得到一个白色球，第二次你得到一个黑色球，第一次你得到一个黑色球，第二次你得到一个白色球，有一个基本事件，所以