概率论与数理统计知识点总结(详细)

1、概率论与数理统计第一章概率论的基本概念2 .采样空间、随机事件1 .事件之间的关系包括事件b中的事件a，这意味着事件a的发生必然产生事件b事件a和事件b的和事件是指在只有a、b中的至少一个发生了时事件发生事件a和事件b的累积事件指的是，在a、b同时发生时事件发生事件a和事件b的差分事件是指发生a，仅在没有发生b的情况下发生事件事件a和b是不兼容的或互不兼容的，事件a和事件b不能同时发生，基本事件是不兼容的另外，事件a和事件b也被称为相互相反的事件，事件a和事件b也被称为相互对立的事件2 .运算规则交换法结合法则分配律多摩根定律3 .频率和概率定义在相同的条件下，进行了n次实验，在该n次实验中，

2、将事件a发生的次数称为事件a发生的次数，将比率称为事件a发生的频度概率：把e作为随机实验，把s作为其样本空间，给e的每个事件a赋予实数，记为P(A )，称为事件的概率1 .概率满足以下条件：(1)非负性：针对每个事件a(2)正规性：对于必然的事件s(3)可加性：作为两个相互不兼容的事件，有(可以取)。2 .概率的重要性质：(I )(ii )如两人是互不相容的事件，则有(可取)。(iii )如果将a、b作为两个事件(iv )关于任何事件a(v ) (逆事件的概率)(vi )对于任何事件a、b4等可能的概念(古典概念)等可能概况：实验的样品空间仅包含有限元，实验中各事件发生的可能性相同如果事件a包

3、含k个基本事件5 .条件概率(1)定义：将a、b设为两个事件，称为在事件a发生的条件下事件b发生的条件概率.(2)条件概率满足概率定义的三个条件一。 非负性：对于某个事件b二。 正规性：对于必然的事件s3可添加性：假设有两个互不兼容的事件(3)设定乘法定理后，有一种叫做乘法式(4)全概率公式：贝叶斯公式：6 .独立性定义设为a、b两个事件，如果满足公式，则事件a、b是相互独立的定理把a、b作为两个事件，如果a、b相互独立的话定理2如果事件a和b相互独立，则以下各对事件也相互独立： a和b第二章随机变量及其分布1随机变量所定义的随机测试的样本空间是在样本空间s中定义的实数一值函数，称为随机变量2

4、离散随机变量及其分布律1 .离散随机变量：几个随机变量，其所有可能的值都是有限的或无限的，该随机变量称为离散型随机变量满足以下两个条件(1)、(2)=12 .三个重要的离散型随机变量(1)0-1分布假定随机变量x只能取0和1这两个值，则该分布律遵循x是以p为参数的0-1分布或2点分布。(2)伯努利实验，二项分布实验e把a和e称为伯努利实验。 但是，在这种情况下，如果独立地重复n次e，则这一系列独立实验被称为n重伯努利实验。意识到满足条件(1)、(2)=1的是出现在二项式的展开式中的项，随机变量x称为遵循参数n、p的二项分布。(3)泊松分布设随机变量x能取的所有值为0、1、2，取各个值的概率为其

5、中的常数，则x标记为遵循参数的泊松分布三随机变量的分布函数定义是x为随机变量，x为任意实数、函数被称为x的分布函数分布函数具有以下性质的(1)是不减法函数(2) (3)。4连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：当对于随机变量x的分布函数F(x )存在非负乘积函数时，对于任意函数x，将x称为连续随机变量，将该函数F(x )称为x的概率密度函数，简称为概率密度1概率密度具有以下性质，满足(1)(3)在(4)点x连续时2、3个重要的连续型随机变量(1)均匀分布如果连续性随机变量x具有概率密度，则x在区间(a、b )中遵循均匀分布.(2)指数分布设连续性随机变量x的概率密度为常数，x服从参数的指数分

6、布。(3)正态分布如果连续型随机变量x的概率密度是正态分布或高斯分布特别地，随机变量x被称为遵循标准正态分布5随机变量的函数分布如果定理随机变量x具有概率密度，函数在哪里都是导数，则Y=连续型随机变量，概率密度为第三章多维随机变量一维随机变量定义e是随机实验，其采样空间是在和为s中定义的随机变量，被称为随机变量，由它们组成的向量(x，y )被称为二维随机变量设(x，y )为二维随机变量，并且对任意的实数x，y将二元函数称为二维随机变量(x，y )的分布函数当二维随机变量(x，y )的所有可能值都是有限对或无限对时，称(x，y )为离散型随机变量。我们被称为二维离散型随机变量(x，y )的分布律

7、。如果存在非负乘积函数f(x，y )，那么二维随机变量(x，y )的分布函数对任何x，y来说都是连续的随机变量。函数f(x，y )可以是随机变量(x，y )的概率密度，或对随机变量x和y的双边缘分布二维随机变量(x，y )作为整体具有分布函数，x和y都是随机变量，分别具有分布函数，分别称为二维随机变量(x，y )，关于x和y的边缘分布函数。分别将(x，y)x称为关于和y的边缘分布律。分别将x、y称为x，将y称为y的边缘概率密度。三条件分布定义设定(x，y )是二维离散型随机变量，对于固定的j在条件下被称为随机变量x的条件分布律，同样在条件下是随机变量x的条件分布律。设二维离散型随机变量(x，y

8、 )的概率密度为针对(x，y)y的边缘概率密度，如果是固定的y， 0，则被称为在Y=y的条件下的x的条件概率密度4相互独立的随机变量定义和分别是二维离散型随机变量(x，y )的分布函数和边缘分布函数，对于所有的x，y，即，随机变量x和y是相互独立的。在二维正规随机变量(x，y )中，x和y相互独立的满足条件是参数52个随机变量的函数的分布1，Z=X Y的分布如果(x，y )是二维连续型随机变量，并且具有概率密度，则Z=X Y是连续型随机变量，并且概率密度为或如果x和y彼此独立，则关于(x，y)x和y的边缘密度设为每一个，因此将这两个表达式称为卷积方法有限个相互独立的正态随机变量的线性组合依然服

9、从正态分布2.2把(x，y )作为二维连续型随机变量，如果具有概率密度的话如果x和y相互独立，则关于连续性随机变量的概率密度，分别设关于(x，y)x、y的边缘密度为3假设x和y是彼此独立的两个随机变量，并且各自的分布函数是相互独立的，因为z以下是x和y都在z以下，所以所获得的分布函数是的分布函数是第四章随机变量的数字特征1 .数学期望如果离散型随机变量x的分布律为k=1，2，级数绝对收敛，则定义将级数之和称为随机变量x的数学期待，即记为如果积分绝对收敛了连续型随机变量x的概率密度，则将积分的值称为随机变量x的数学期待，即记为把定理y设为随机变量x的函数Y=(g是连续函数)(I )如果x是离散型

10、随机变量，则其分布律为k=1，2，绝对收敛(ii )如果x是连续型随机变量，则其分概率密度是绝对收敛数学期望的几个重要性质如果把1c设为常数设2x为随机变量，c为常数时设3x、y为两个随机变量，则有如果将4x、y设为相互独立的随机变量二色散定义为x为随机变量，存在时为x的方差，D(x )即D(x)=，应用中也导入量，设为标准偏差或平均方差。方差的几个重要性质如果把1c设为常数设2x为随机变量，c为常数时当将3x、y设定为两个随机变量时，特别地若x、y相互独立，则存在4的满足条件是x以概率1取常数，即切比雪夫不等式：如果对随机变量x有数学期待，对于任意正数不等式成立3协方差和相关系数定义量被称为随机变量x和y的协方差，即被称为随机变量x和y的相关系数关于任意两个随机变量x和y协方差具有以下性质12定理1第二满足条件是存在常数a、b0时，x和y被称为无关附属：常用的概率分布表分布参数，参数分布律和概率密度数学期望方差两点分布，二元分布，泊松分布几何分布均匀分布，指数分布正态分布第五章数定律和中心极限定理1 .数的法则弱大数定理(辛欣大数定理) X1、X2相互独立，遵循统一分布的随机变量序列，具有数学期待定义是随机变量序列，其中a是常数，并且对于任何正数，如果存在，则序列概率地收敛到aBernoulli数定理是