高中数学圆的方程典型例题

1、高中数学圆方程的典型例题类型1 :圆方程求出例12点，并且求出中心在直线上的圆的标准方程式，判断点和圆的关系分析：求圆的标准方程式，求圆心坐标的圆的半径的大小，判断点与圆的位置关系时，看看与圆心的距离和圆的半径的大小关系，如果距离比半径大，点在圆外的距离等于半径时，点在圆上，距离小于半径，点在圆内。解法1:(未定系数法)以圆的标准方程式为1222222000航空航空圆的方程式是另外，应该过日元、两分2220解的得分。求圆的方程式解法2:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过、两点，圆心一定在线段的垂直平分线上。 另外，由于倾斜度为1，且中点为，所以垂直平分线方程式为即另外，我知道中心在直线上，所以

2、中心坐标是半径求圆的方程式另外到中心点的距离是是.点在圆之外说明：本问题用两种方法求解圆的方程式，求出圆的中心和半径两个重要的量，根据中心和定点之间的距离和半径的大小关系来判定点和圆的位置关系，点变成直线后如何判定直线和圆的位置关系？求出半径为4、与圆相接且与直线相接的圆的方程式.分析：根据问题的特征，应该用圆的标准方程解解：问题的意思是，将求出的圆的方程式设为圆如果圆与直线相接，半径为4，则中心坐标为or .并且，已知圆的中心的坐标是半径为3如果两个圆相接，或(1)当时或(没有理解)所以可以得到要求的圆方程式是或(2)当时，或者(因为没有理解)。求得的圆的方程式是或说明：关于这个问题，容易引

3、起以下误会根据问题意思，如果求出的圆与直线相接的半径为4，则圆心坐标为，方程式形状相似.另外，圆，即圆心为半径为3 .上述误解，只考虑圆的中心在直线上的情况，忽略了圆的中心在直线下的情况。 另外，在误解中，也没有考虑两日元内接的情况。 不完全求出通过点，求出与直线一起相切的圆的方程式分析：想确定圆的方程式。 有必要确定圆的中心坐标和半径。 因为圆超过了定点，所以必须确定圆的中心坐标。 因为圆与已知的直线相接，圆的中心必须在交叉角的平分线上。解：圆和直线相接中心位于这两条直线的交叉平分线上另外，从中心到两条直线的距离相等1两直线交角的平分线方程式为或反复，反复，反复，反复。中心只在直线上设置圆心

4、到直线的距离是1简化整理解：或中心点，半径为或中心点，半径为求得的圆的方程式是or说明：解决本问题的关键在于分析得到的中心点在已知的两条直线的交叉平分线上，并确定中心点坐标得到圆的方程式。 这是过定点，与已知直线相切的圆的方程式的一般求出方法例4、圆由(2)轴分为两个圆弧，该轴以(1)切轴得到的弦的长度为2，其弧长之比在满足条件(1)、(2)的所有圆中求出从中心到直线的距离最小的圆的方程式.分析：求圆的方程式只要利用条件求圆心坐标和半径，就可以求圆的标准方程式。 满足两个条件的圆有无数个，那个圆心的集合可以看作是运动点的轨迹。 如果能够求出该轨迹的方程式，就能够利用从点到直线的距离式，通过求出

5、最小值的方法找到符合问题意的圆的圆心坐标，决定圆的半径，求出圆的方程式。解法1 :以中心为中心，以半径为到轴、轴的距离分别为和.从问题可知，由于在圆周轴得到劣弧对的中心角为，所以在圆周轴得到的弦长为.2220另外，切圆的轴的弦的长度是21另外到直线的距离是2220当时只取“=”的号码，这时此时有或又来了求圆的方程式解法2 :同解法1，得到是.11代入上式的话是.上述方程式有实根，所以，1代入方程式又由知同号求出的圆的方程式是或说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程式，如果变换后面积最小的话？类型2 :切线方程式、接点弦方程式、共同弦方程式例5已知的圆求出点与圆相接的切线解：点不在圆上切线的

6、线性方程式根据。2220能解开所以也就是说因为越过圆外的一点形成圆的切线应该有两条，所以不存在另一条直线的倾斜。 另一个容易求切线的说明：在上述解题过程中，如果没有容易泄漏的解的倾斜，就要注意弥补泄漏的解。本问题有其他解法，例如，也能够将设定的切线方程式代入圆方程式，判别式用0解决(也必须注意漏洞)，求出接点坐标、的值来解决，但在这种情况下，没有漏洞.求出与两圆交叉、2点、它们的共同弦所在的直线的方程式分析：首先，求两点坐标，用两点式求直线方程式，但求两圆交点坐标的过程太复杂了。 为了避免求交点，可以采用“设定不求”的技术解：设两圆中的任一交点坐标为，则，二-得：822222222222226

7、52方程式是过、两点的直线方程式另外，通过两点的直线是唯一的有两圆、共同弦的直线方程式说明：在上述解法中，巧妙地避开了两点坐标，设定了它们的坐标，但并没有求出它们，而是利用曲线和方程式的概念来达成目标。 从解题的观点来看，这是“设置不求”的技术，从知识内容的观点来看，体现了对曲线和方程式关系的深刻理解和直线方程式是一次方程式这一本质的认识。 其应用很广泛越过圆外的一点，这个圆的两条切线、接点分别求直线的方程式。练习：1 .求出越过点与圆相接的直线方程式解：切线方程式从中心到切线的距离等于半径了解切线方程式是如果不存在穿过点的直线的斜率，则方程式中从中心到该直线的距离等于半径直线也符合问题的意思

8、。求出的直线方程式2 .越过坐标原点与圆相接的直线方程式是解：假设线性方程式，圆方程式是3 .已知直线与圆相切时的值是解：圆的中心是(1，0 )，半径是1，类型3 :弦的长度、弧的问题求直线被切成圆形的弦的长度例9、由直线切片得到的成为劣弧对的中心角解：根据题意，弦的中心距离，弦的长度，因此OAB是等边三角形，所以断了的劣弧对的中心角是求出例10、二日元和的共同弦长类型4 :直线和圆的位置关系例11、判断已知的直线和圆、该直线和已知的圆的位置关系.例12、有直线和曲线，只有一个共同点的情况下，求出实数的能取范围.解：曲线表示半圆， 利用数学组合法，可以得到实数的值的范围是从13日元到直线的距离

9、为1的点有几个？分析：通过图形直观地解开。 或者，求出直线、方程式，从代数计算中寻找答案解法1 :圆的中心是半径设从圆心到直线的距离为如图所示，在与圆中心相同的一侧，与直线平行且距离为1的直线和圆有两个交点，这两个交点符合问题.又来了平行于直线的圆切线的两个接点中的一个接点也符合问题合乎问题意的一共有三点解法2 :符合问题意思的点是平行于直线，并且距离为1的直线和圆的交点。 设求出的直线为即，或者，即或者设从圆的中心到直线、的距离为、是.与相接，与圆有共同点与圆相交，圆有两个共同点。 即，符合问题意的一共有三点说明：关于这个问题，如果不注意的话，容易引起以下误会设圆心到直线的距离为从圆到距离为

10、1的点有两个很明显，上述误会只能说明从圆的中心到直线的距离，这个直线和圆只有两个交点，不能说明圆上从两点到直线的距离是1。到一条直线的距离一定的点，因为到该直线的距离位于成为该一定点的两条平行直线上，所以用问题求出的点是这两条平行直线和圆的共同点。 一般求出直线和圆的共同点的数量，从圆和直线的位置关系来判断。 即，根据圆心和直线的距离和半径的大小比较来判断。练习1 :直线和圆没有共同点时的值的范围是解：根据问题的意思，解是.练习2 :如果直线和圆有两个不同的交点，则能取的值的范围为。解：根据题意，解的值范围是？3、从圆到直线的距离为的点共享().(a )一个(b )两个(c )三个(d )四个

11、分析：因为圆心的半径是从圆心到直线的距离，圆上从三点到直线的距离相等，所以选择了c4、跨越点形成直线，表示倾斜是什么样的值，直线和圆有共同点。分析：观察动画演示，分析构想peo.oyx解：把直线方程式也就是说有根据整理好了能解开是.类型5 :圆和圆的位置关系问题指南4 :如何确定圆和圆的位置关系？例14 .判断圆和圆的位置关系例15 :圆和圆的公共切线共享一个条形。解：圆的中心是半径，圆的中心是半径。练习1 :圆与圆相接时，实数的取值集合为解：圆的圆心是半径，圆的圆心是半径，两圆相接，或； 或者， 实数的取值集合2 :圆与点外切，求半径为圆的方程式解：假设求出的圆的圆心，求出的圆的方程式是类型

12、6 :圆的对称性问题关于圆直线对称的圆的方程式是go.o乙级联赛nmy甲组联赛x图3c.ca来自例17点的光照射在轴上被轴反射，反射光的直线与圆相接(1)求出有光线和反射光线的直线方程式(2)光通过接点的路程分析、略解：观察动画演示，分析构想。 根据对称关系，首先求出点的对称点的坐标，然后把设定的圆的切线方程式作为根据，求出的圆的切线的斜率是或者进一步求反射光线所在直线的方程式或者最后，由于入射光和反射光轴对称，所以如果求出入射光存在的直线方程式或者光路的距离可以根据刚股定理求出说明：本问题也可以在轴下对称地解圆。类型7 :圆中的最大值问题例18 :从圆上的点到直线的最大距离和最小距离的差是解

13、：圆的圆心是(2，2 )，半径，从圆心到直线的距离，直线和圆的距离，圆上的点到直线的最大距离和最小距离的差是例19 (1)已知圆是圆上的动点，是求出的最大、最小值.(2)已知圆是圆的到任点，是求出的最大、最小值、求出的最大、最小值.分析： (1)、(2)两个小题都与圆上的点的坐标有关，可以考虑用圆的参数方程式或数形结合来解决解： (1) (法1 )从圆的标准方程式圆的参数方程可以是(参数的)原则(其中)所以(法2 )从圆上到原点的距离的最大值等于从圆心到原点的距离加上半径1后的值，从圆心到原点的距离的最小值等于从圆心到原点的距离减去半径1后的值。所以是.所以.(2) (法1 )得到的圆的参数方

14、程式：是参数则.令是是.所以也就是说，最大值为，最小值为这个时候最大值为最小值因为是圆上的点，所以直线和圆有交点的情况两条切线的斜率分别是最大、最小值是的，可以最大值为最小值同样，两条切线轴上的切片分别是最大、最小的是的，可以最大值为最小值例20 :已知，点在圆上移动时，最小值为解：如果设圆心为，的最小值为练习：1 :已知点在圆上移动(1)求出的最大值和最小值(2)求出的最大值和最小值解： (1)表示连接点和点(2，1 )线的倾斜度.该直线与圆相接时，取最大值和最小值. 的最大值，最小值为.(2)表示直线轴上的切片.该直线与圆相接时，取最大值和最小值. 的最大值，最小值为.两点是圆为任意点，是

15、求出的值的范围分析1 :用圆的到任一点的参数坐标代替，转换成三角问题来解决解法1 :以圆为到任点有。，87岁1即()1又镜2220解的得分。分析2 :几何意义是通过圆上的一动点和定点的线的倾斜度，利用该直线和圆有共同点，可以确定取值的范围解法2 :得：因为这条直线和圆有共同点，所以从点到直线的距离2220理解：另外，直线和圆的共同点可以如下处理从删除的东西开始因为这个方程式有实根，所以解的得分。说明：这里通过用其参数式来表现圆上的点，将求变量的范围问题转换成三角函数的知识来解决。 或者，把其几何意义转换成斜率来解决，使问题变得简单方便。3、已知点、点在圆上运动，求出的最大值和最小值类型8 :轨迹问题例21、基础训练：已知点与两点之间的距离之比，求出点的轨迹方程式例22、已知线段的端点的坐标为(4，3 )，端点在圆上运动，求出线段的中点的轨迹方程式.如图23所示，已知圆和轴正方向相交于点，点在直线上运动，取圆的切线，接点是求出垂直心的轨迹.分析：用通常的求出轨迹的方法，很难找到关系。 因为点是通过点的运动而运动的，所以可以考虑。 三点坐标之间的关系解：为。切线所以四边形是菱形所以我很满意是要求的轨迹方程式。说明：主题巧妙地应用了三角形垂心的性质和