人教版八年级上册数学讲义

1、八年级的数学课第十一章三角形一、三角形的概念1 .把三角形的定义不在同一直线上的3条线段按首尾顺序连接起来的图形称为三角形要点：3个线段不在同一直线上首尾顺序连接2 .三角形的显示在abc中，边： ab、bc、ac或c、a、b顶点： a、b、c内角：喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地6二、三角形的边1 .三角形三边关系： (证明所有几何不等式的唯一方法)(1)三角形的任意两边之和大于第三边：b ca(2)在三角形任意两边的差小于第三边：b-ca的情况下，能够构成三角形.1.2确定三角形第三边的取值范围：两边之差第三边两边之和2 .三角形的主要线段2.1三角形的高线从三角形的一个顶点到其对边所在的直线画

2、垂线，顶点和垂线之间的线段称为三角形的高线锐角三角形的三条高线与三角形内部相交的点直角三角形的三条高线与直角顶点相交钝角三角形有三条高线的直线在三角形的外侧稍相交2.2三角形的平分线三角形的一个角的二等分线与其对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段称为三角形的二等分线。三条平分线在三角形内部稍相交2.3三角形的中心线连接三角形顶点及其对边中点的线段称为三角形中心线。三角形的三条中线在三角形内部有点交叉三、三角形的角一三角形的内角和定理结论：1:abc中： uuuuuuuuuuuuuuu=180三角形至少有两个锐角结论2 :直角三角形中，两个锐角互相互补.三角形中最多有一个钝角注意：三角形中，我

3、们知道两个内角可以求出第三个内角例如，在abc中，c=180-(uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu在三角形中，知道三个内角和之比及其关系，求出各内角例如，在abc中，已知求出a:b:c=2:3:4、a、b和c的度数两三角形外角和定理2.1外角：由三角形的一边和另一边的延长线构成的角称为三角形的角。2.2性质：三角形的一个外角等于不邻接它的两个内角之和三角形的一个外角比不邻接它的一个内角大三角形的一个外角与与其邻接的内角互补2.3外角数：三角形的顶点有两个外角，可以看到这两个角是对角(相等)，三角形有六个外角四、三角形的分类(1)不同角度：锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)各边：不等边三

4、角形底和腰为不等边三角形等边三角形五多边形及其内角1、多边形的定义：在平面内，几个线段按首尾顺序相接的图形称为多边形2、正多边形：的各角相等、各边相等的多边形称为正多边形。3、多边形对角线(1)可以从n边形的顶点画出(n-3 )条对角线，将多边形分成(n-2 )个三角形。(2)n边形共有对角线。4、n边形的内角之和等于(n-2 ) 180 (n3，n为正整数)。 任意凸形状多边形外角和等于360多边形外角和一定值为360，与边数多少无关多边形最多3个内角为锐角，至少没有锐角(矩形等)多边形外角最多有3个钝角，最低也没有钝角5、实现马赛克的条件：在同一点连接的各角之和正好等于360的相邻多边形有

5、共同的边。【试验点3】判断三角形的形状如果abc的三边a、b、c满足(a-b)(b-c)(c-a)=0，则尝试判断abc的形状。9、已知的a、b、c是abc的三边，并满足a2 b2 c2=ab bc ca，对abc的形状进行判定。10、abc的三边为a、b、c(a和b不相等)，且满足a3-a2b ab2-ac2 bc2-b3=0，试着判定abc的形状。二、关于三角形角的计算1 .在图abc中ad为高，ae、bf为二等分线，与点o、uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu8解ad为abc的高度，870 dac=180-90-70=20喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6 abc=180-50-7

6、0=60ae和bf是平分线 bao=25，abo=30 aob=180-25-30=1252 .在图中，abc中，d是bc边的一点，1=2、3=4、bac=63，求出dac的度数3 .已知p是abc内的任意点。 寻求证据： ps ps图，22卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6已知5.abc的b、tc的平分线与点o相交。 求证： boc=90a (平分线模型)6 .已知bp、cp是abc外角的二等分线，与点p相交。 求证： p=90- a (平分线模型)7.abc中，tr的平分线bd和abc的外角平分线cd相交于d，求证明： ttttt=2d (平分线模型)用ao

7、b求出uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu89 .图：寻求证据： uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur (飞3823第十二章全等三角形一、全等三角形的概念和性质1、概念：完全重叠的两个三角形称为全等三角形。(1)显示方法：两个三角形全等用符号“878”表示，标记为2、性质： (1)对应边相等(2)对应角相等(3)周长相等(4)面积相等二、全等三角形的判定1全等三角形的判定方法： (sas )、(sss )、(asa )、(aas )、(hl )边缘(sss )角边(sas )角落号航空母舰转角边缘ps直角边和斜边(hl )三边对应着相等的两个三角形两

8、边和它们成的角相等的两个三角形全等两角和与它们夹边对应的相等的两个三角形全等两角和其一角成对边相等的两个三角形全等对应于一条斜边和一条直角边的相等的两个直角三角形全等(hl )。2 .联合三角形证明问题的思考：3全等三角形的抑制条件：共同边缘(或共同角)相等；对顶角相等即使等边(等角)加上(或减法)等边(等角)，其和(或差)也相同利用平行线的性质，同位角、内误角相等全等三角形(sas )【知识要点】两边和它们的角度相等的两个三角形全等，简称为“角的边”或“sas”，以几何学的方式表现甲组联赛乙级联赛c.ce德. df.f如图所示，在和中奥【典型例题】甲组联赛德. d乙级联赛ec.c已知图、ab

9、=ac、ad=ae、求证： be=cd .证明：在abe和acd中ab=acuuuuuuuuuuad=aeabeacd(sas )ps=ps。甲组联赛乙级联赛德. dec.c12如图所示，点d、e在bc上，在bd=ce、ad=ae、1=2的情况下，能得到什么样的结论？ 出证明从图中可以看出，求出ae=af，ab=ac，a=60，b=24boe的度数.乙级联赛e甲组联赛f.fc.co.o如图所示，点a、f、c、d在同一直线上，点b和点e分别在直线ad的两侧，abde且ab=de、af=dc。 求证： nhk。德. d甲组联赛乙级联赛c.ce已知如图所示，abc、bde都是正三角形。 寻求证据：

10、ps s=ps。全等三角形(sss )【知识要点】三边相等的两个三角形全等，简称为“边边”或“sss”几何表现【典型例题】如图所示，其中m在bc上、d在am上、ab=ac、db=dc请求证明： am是平分线:在abd和acd中ab=acdb=dcad=adabdacd(sss )=另外ab=acps=psam是平分线(三线一体型)图例2 :在abc中，ba=bc，d是ac的中点。 寻求证据： bd。图： ab=cd，ae=df，ce=fb。 求证： b=c。在图中，d、e分别是ac、ab上的点，ad=bd、ae=bc、de=dc .求证： deab。全等三角形(aas )【知识要点】两边和它们

11、的角度相等的两个三角形全等，简称为“角边”或“aas”【典型例题】甲组联赛德. d乙级联赛ec.cf.f如图所示，已知bc=ef甲组联赛乙级联赛德. dec.c图例2，ab=ac，求证： ad=ae如图所示，已知ab=ac、bdac、ceab、足下垂分别是d、e、bd、ce与点f相交，be=cd .甲组联赛c.c乙级联赛德. def.f甲组联赛乙级联赛c.c德. dp1234如图所示，点p在ab上可以获得pc=pd吗？ 尝试证实全等三角形(asa )【知识要点】两边和它们的角度相等的两个三角形全等，简称为“角边”或“aas”【典型例题】如图所示，在已知情况下，如图所示，在mpn中，h是高mq和

12、nr交点，mq=nq .求证： hn=pm .证明：mq和nr是mpn的高度，另外，卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡653在mpq和nhq中喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓653图3已知图accd是c，bdcd是d，m是ab的中点，连接cm并将bd延长到点f。 求证： ac=bf全等三角形(hl )【知识要点】直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简称为“hl”【典型例题】1、图中，ab=cd、de、ac、bf、ac、e、f是脚踏的，要求证明甲组联赛德. dec.c乙级联赛f.f例2、已知： becd、be=de、bc=da、求证：bec -dae； df

13、bc。乙级联赛c.c德. def.f甲组联赛例3、图：在abc处873c=90、ac=bc、在过点c处在abc之外形成直线mn，ammn是m、bnmn是n。 (1)求证： mn=am bn。全等三角形常见辅助线的制作方法二倍长中线法倍长中线法：是将三角形中线延长两倍，构建全等三角形，利用有关全等三角形的知识解决问题的方法倍长中线法的过程：延长到某一点，使什么相等(延长的)，用sas证联合(对顶角)。方法总结：遇到中线时，长度加倍，长度加倍后，_结构转移全等三角形_、边、角，并结合已知条件重新解决问题【例题精说】在图1、abc中，ad是bc边上中心线.分析：ad为中心线，因此将ad延长至点e，d

14、e=ad，连接ce再进行全等三角形的判定(sas)abdecd； 联合起来_ab=ec_证明：将ps延长到ps，使r=r，连接到psad是中线8756； dc=db在cde和bda中de=aduuuuuuuuudc=dbcdebda(sas )pr=abaec中为ce acae、ce=ab2喀喀喀喀喀喀喀喀地2222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653如图cb所示，cd分别是钝角aec和锐角abc的中心线，ac=ab .求证： ce=2cd证明：将cd延长到df=cd，连接bf在uuur和uur中ad=bduuuuuuuucd=df22222222222222222222222pr=bchhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地653caf=cbe又因为be222222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓653在例3、图、中，与点相交，点是中点，交点的延长线与点相交，与点相交，如果，求证明：的二等分线证明：延长到点，使用，连接在和中2220然后。2220又镜例4，如图所示，其中是边的中心线，e是ad上的点，将be=ac、be延长后与点f .交流： af=ef证明：延长ad点g，设为ad=dg，连接bg .的是边的中