江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

1、江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）不等式x22x30的解集是2（5分）过两点A（2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45，则m的值是3（5分）在等差数列an中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=4（5分）已知a0，b0，a+4b=ab，则a+b的最小值是5（5分）在ABC中，B=135，C=15，a=5，则此三角形的最大边长为6（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y25=0距离的最小值为7（5分）设a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出以下

2、四个命题：若ab，a，则b；若ab，a，则b；若a，a，则；若a，则a其中所有正确命题的序号是 8（5分）已知等比数列的前n项和为Sn，若S3：S2=3：2，则公比q=9（5分）若变量x，y满足，则2x+y的最大值为，的取值范围10（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是11（5分）如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC面EFGH，BD面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是12（5分）若关于x的不等式ax2|x|+2a0的解集为，则实数a的取值范围为13（5分）在平面直

3、角坐标系xoy中，已知圆C：x2+y2（62m）x4my+5m26m=0，直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为14（5分）记数列an的前n项和为Sn，若不等式an2+ma12对任意等差数列an及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为二、解答题（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB（2cb）cosA=0（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC面积的最大值16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD底面A

4、BCD，若点E，F分别是PC，BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：平面PAD平面PCD17（14分）已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程18（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收益25万元（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：年平均收益最大时，以14万元出售该设备；总收益最大时，以9万元出售该设备问出售该设备后，哪种方案年平均收益

5、较大？19（16分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx4（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当AOB=时，求k的值（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值20（16分）已知数列an满足：a1=，a2=，2an=an+1+an1（n2，nN），数列bn满足：b10，3bnbn1=n（n2，nR），数列bn的前n项和为Sn（）求证：数列bnan为等比数列；（）求证：数列

6、bn为递增数列；（）若当且仅当n=3时，Sn取得最小值，求b1的取值范围江苏省常州市武进区2014-2015学年高一下学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1（5分）不等式x22x30的解集是（1，3）考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集解答：解：不等式x22x30，因式分解得：（x3）（x+1）0，可得：或，解得：1x3，则原不等式的解集为（1，3）故答案为：（1，3）点评：此题考查

7、了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型2（5分）过两点A（2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45，则m的值是0考点：直线的倾斜角；直线的斜率 专题：直线与圆分析：利用直线的斜率关系求解即可解答：解：两点A（2，1），B（m，3）的直线倾斜角是45，可得，解得m=0，故答案为：0点评：本题考查直线方程的应用，直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查3（5分）在等差数列an中，a1+a2=1，a3+a4=9，则a5+a6=17考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：根据所给的等差数列的前两项之和，和S4S2，根据三项成等差数列，根据等差数列的性质做出结果解答

8、：解：等差数列an中，a1+a2=1，a3+a4=9，S2=1，S4S2=9，S6S4=291=17故答案为：17点评：本题考查等差数列的性质，在等差数列中Sn，S2nSn，S3nS2n三项成等差数列，这是常用的等差数列的性质4（5分）已知a0，b0，a+4b=ab，则a+b的最小值是9考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：由题意可得+=1，可得a+b=（a+b）（+）=5+，由基本不等式求最值可得解答：解：a0，b0，a+4b=ab，=1，即+=1，a+b=（a+b）（+）=5+5+2=9当且仅当=即a=6且b=3时取等号，故答案为：9点评：本题考查基本不等式求最值，适当变形是解决

9、问题的关键，属基础题5（5分）在ABC中，B=135，C=15，a=5，则此三角形的最大边长为考点：正弦定理 专题：计算题分析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边解答：解：因为B=135为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180（B+C）=30在ABC中有正弦定理有：故答案为：点评：本题主要考查了正弦定理应用，在已知两角一边求另外边时采用正弦定理6（5分）圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y25=0距离的最小值为4考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；数形结合分析：圆心（0，0）到直线3x+4y25=0的距离d=，圆x2+

10、y2=1上的点到直线3x+4y25=0距离的最小值是AC=5r，从而可求解答：解：圆心（0，0）到直线3x+4y25=0的距离d=圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y25=0距离的最小值是AC=5r=51=4故答案为：4点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，解题的关键是把所求的距离转化为求圆心到直线的距离，要注意本题中的BC是满足圆上的点到直线的距离的最大值7（5分）设a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出以下四个命题：若ab，a，则b；若ab，a，则b；若a，a，则；若a，则a其中所有正确命题的序号是 考点：平面与平面平行的判定 专题：阅读型分析：根据线面垂直的判定定理

11、、面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定，不正确的举反例即可解答：解：若ab，a，根据两平行线中一条垂直与平面，则另一条也垂直与平面，所以b，故正确；若ab，a，则b或b，故不正确；若a，a，则，根据垂直与同一直线的两平面平行可知，正确；若a，则a或a，故不正确；故答案为：点评：本题考查平面与平面平行的判定，以及线面垂直的判定定理等有关知识，考查空间想象能力，是基础题8（5分）已知等比数列的前n项和为Sn，若S3：S2=3：2，则公比q=考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：验证q=1是否满足题意，q1时，代入求和公式可得关于q的方程，解方程可得解答：解：若q=1，

12、必有S3：S2=3a1：2a1=3：2，满足题意；故q1，由等比数列的求和公式可得S3：S2=：=3：2，化简可得2q2q1=0，解得q=，综上，q=故答案为：点评：本题考查等比数列的前n项和公式，涉及分类讨论的思想，属中档题9（5分）若变量x，y满足，则2x+y的最大值为8，的取值范围考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=x+y，由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，

13、即A（1，2），代入目标函数z=x+y=1+2=3此时2x+y的最大值为23=8设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，1）的斜率，由图象知，AD的斜率最小为k=3，OD的斜率最大为k=，故3，故答案为：8，点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法10（5分）将一张坐标纸折叠一次，使点（0，2）与点（4，0）重合，且点（7，3）与点（m，n）重合，则m+n的值是考点：直线的点斜式方程 专题：计算题分析：根据坐标纸折叠后（0，2）与（4，0）重合得到两点关于折痕对称，利用中点坐标公式求出（0，2）和（4，0）的中点，再求出两

14、点确定的直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率的关系求出中垂线的斜率，根据求出的中点坐标和斜率写出折痕的直线方程，根据（7，3）和（m，n）也关于该直线对称，利用中点坐标公式求出中点代入直线方程及求出（7，3）和（m，n）确定的直线斜率，利用两直线垂直时斜率的关系列出关于m与n的两个方程，联立求出m与n的值，即可得到m+n的值解答：解：点（0，2）与点（4，0）关于折痕对称，两点的中点坐标为（，）=（2，1），两点确定直线的斜率为=则折痕所在直线的斜率为2，所以折痕所在直线的方程为：y1=2（x2）由点（0，2）与点（4，0）关于y1=2（x2）对称，得到点（7，3）与点（m，n）也关于y1=2

15、（x2）对称，则，得所以m+n=故答案为：点评：此题考查学生灵活运用中点坐标公式及两直线垂直时斜率的关系化简求值，会求线段垂直平分线的直线方程，是一道中档题11（5分）如图所示，ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且AC面EFGH，BD面EFGH，AC=2，BD=4，当EFGH是菱形时，的值是考点：点、线、面间的距离计算 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由已知条件BEFBAC，从而，同理，得，进而推导出AEHABD，得=，同理得，由此能求出结果解答：解：AC平面EFGH，AC、EF在平面ABC内，ACEF，BEFBAC，同理，得，又EF=HG，EHBD，AEHABD，

16、=，同理得，又EH=EF，得：=，=故答案为：点评：本题考查两条线段的比值的求法，解题时要认真审题，注意三角形相似的性质的合理运用12（5分）若关于x的不等式ax2|x|+2a0的解集为，则实数a的取值范围为考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题分析：将不等式进行等价转化为 a=，解集为空集时，a大于或等于 的最大值，利用基本不等式求出 的最大值解答：解：不等式即 a=，此不等式解集为，a大于或等于 的最大值又|x|+2， 的最大值是=，a，故答案为：a点评：本题考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想13（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：x2+y2（62m）x4my+5m2

17、6m=0，直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，则直线l的方程为2x+y+1=0考点：直线和圆的方程的应用 专题：直线与圆分析：先将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线m上，半径是定值3，所以直线lm，才能满足截得的弦长是定值解答：解：将圆C：x2+y2（62m）x4my+5m26m=0化为标准式得（x（3m）2+（y2m）2=9圆心C（3m，2m），半径r=3，令，消去m得2x+y6=0，所以圆心在直线2x+y6=0上，又直线l经过点（1，1），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长都是定值，直线l与圆心所在直线平行，设l

18、方程为2x+y+C=0，将（1，1）代入得C=1，直线l的方程为2x+y+1=0故答案为2x+y+1=0点评：有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，即先求出圆心与半径，然后画出图象，利用点到圆心的距离，半径，弦长等的关系解决问题14（5分）记数列an的前n项和为Sn，若不等式an2+ma12对任意等差数列an及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：令（n1）d=m，由an2+=an2+2=5（m）2+2a12，当m=时，取到最小值，由此能求出结果解答：解：an2+=an2+2=an2+2令（n1）d=m，an2+=（a1+2m）2+（a1

19、+m）2=2a12+6ma1+5m2=5（m）2+2a12，当m=时，取到最小值即（n1）d=，即n=，不等式an2+ma12对任意等差数列an及任意正整数n都成立，m实数m的最大值为故答案为：点评：本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用二、解答题（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosB（2cb）cosA=0（1）求角A的大小；（2）若a=2，求ABC面积的最大值考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由正弦定理化简已知等式可得sinC（1

20、2cosA）=0，结合范围0C，可得，又结合0A，即可求得A的值（2）由已知及余弦定理4=b2+c2bcbc，可得bc4，当且仅当b=c=4时，取“=”，由三角形面积公式即可得解解答：（本小题满分14分）解：（1）因为acosB（2cb）cosA=0，由正弦定理得：sinAcosB（2sinCsinB）cosA=0，所以可得：sinC（12cosA）=0（2分）因为0C，所以sinC0，（4分）所以，又0A，所以（7分）（2）由余弦定理得a2=b2+c22bccosA，所以4=b2+c2bcbc，所以bc4，当且仅当b=c=4时，上式取“=”，（10分）所以ABC面积为，所以ABC面积的最大值

21、为（14分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）求证：平面PAD平面PCD考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）利用三角形中位线的性质，可得线线平行，证明EFGH为平行四边形，可得EFGH，进而可得线面平行；（2）先证明线面垂直，再证明面面垂直即可解答：证明：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE，G为AD中点，F为BD中点，

22、GFAB且EF=，同理EHCD且EF=，ABCD为矩形，ABCD，AB=CD，GFEH，GF=EH，EFGH为平行四边形，EFGH，又GH面PAD，EF面PAD，EF面PAD（2）面PAD面ABCD，面PAD面ABCD=AD，又ABCD为矩形，CDAD，CD面PAD又CD面PCD，面PAD面PCD点评：本题考查线面平行、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14分）已知ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程考点：直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：（1）设C

23、（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出解答：解：（1）设C（m，n），AB边上的中线CM所在直线方程为2xy5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x2y5=0，解得C（4，3）（2）设B（a，b），则，解得B（1，3）kBC=直线BC的方程为y3=（x4），化为6x5y9=0点评：本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题18（16分）某工厂年初用49万元购买一台新设备，第一年设备维修及原料消耗的总费用6万元，以后每年都增加2万元，新设备每年可给工厂创造收

24、益25万元（1）工厂第几年开始获利？（2）若干年后，该工厂有两种处理该设备的方案：年平均收益最大时，以14万元出售该设备；总收益最大时，以9万元出售该设备问出售该设备后，哪种方案年平均收益较大？考点：数列与函数的综合；函数模型的选择与应用 专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：（1）判断费用是以6为首项，2为公差的等差数列，设第n年时累计的纯收入为f（n）求出通项公式，利用f（n）0，列出不等式，求解即可（2）方案：列出年平均收入利用基本不等式求出最值；方案：利用数列的函数的特征，通过二次函数求解最值即可解答：（本题满分16分）解：（1）由题设，每年费用是以6为首项，2为公差的等差数

25、列，设第n年时累计的纯收入为f（n）f（n）=25n49=n2+20n49，（3分）获利即为：f（n）0n2+20n490，即n220n+49010，又nN，n=3，4，5，17 6 分当n=3时，即第3年开始获利；（7分）（2）方案：年平均收入（万元），此时n=7，出售该设备后，年平均收益为（万元）；11 分方案：f（n）=（n10）2+51，当n=10时，f（n）max=51，出售该设备后，年平均收益为（万元），15 分故第一种方案年平均收益较大 16 分点评：本题考查数列与函数的综合应用，基本不等式求解最值，武承嗣的性质的应用，考查分析问题解决问题的能力19（16分）已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx4（1）若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当AOB=时，求k的值（2）若k=1，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，问：直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值考点：直线和圆的方程的应用 专题：直线与圆分析：（1）求出点O到l的距离，然后求解k即可（2）设P（t，t4）其方程为：x（xt）+y（yt+4）=