2015年天津市南开区高考数学一模试卷（理科）含解析

1、2015年天津市南开区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1（5分）（2015南开区一模）i是虚数单位，复数=（）AiBiCiD+i 2（5分）（2015南开区一模）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值是（）A0B6C8D12 3（5分）（2015南开区一模）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x（AB），条件q：x（AB），则p是q的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 4（5分）（2015南开区一模）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线

2、上，则双曲线的方程为（）A4x212y2=1 B4x2y2=1 C12x24y2=1 Dx24y2=1 5（5分）（2015南开区一模）函数y=log0.4（x2+3x+4）的值域是（）A（0，2B2，+） C（，2 D2，+） 6（5分）（2015南开区一模）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）ABC4D27（5分）（2015南开区一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（）ABCD或 8（5分）（2015南开区一模）已知函数f（x）=|mx|xn|（0n1+m），若关于x的不等式f（x）0的解集中的整

3、数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A3m6B1m3C0m1D1m0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上 9（5分）（2015南开区一模）如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为 10（5分）（2015南开区一模）已知a0，（x）6的二项展开式中，常数项等于60，则（x）6的展开式中各项系数和为（用数字作答） 11（5分）（2015南开区一模）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S= 12（5分）（2015南开区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为

4、：（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cossin=0，则圆C截直线l所得弦长为 13（5分）（2015南开区一模）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、B两点，割线PCD经过圆心O已知PA=AB=2，PO=8则BD的长为 14（5分）（2015南开区一模）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=，= 若点F为线段BE的中点，点O为ADE的重心，则=三.解答题：（本大题共6个小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（13分）（2015南开区一模）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，xR（）求函数f（x）的最小正周期和单

5、调减区间；（）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值 16（13分）（2015南开区一模）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球（）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（）设随机变量为放入A盒的小球的个数，求的分布列与数学期望 17（13分）（2015南开区一模）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面

6、EAC所成角的正弦值 18（13分）（2015南开区一模）已知椭圆C：=1（ab0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b（）求椭圆C的离心率；（）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上 19（14分）（2015南开区一模）设数列an满足：a1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=bnlog3an，求数列cn的前n项和Tn；（）证明：对任意nN*且n2，有+ 20（14分）（2015南开区

7、一模）已知函数f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+（e1）2ye=0其中e=2.71828为自然对数的底数（）求a，b的值；（）如果当x0时，f（2x），求实数k的取值范围2015年天津市南开区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015南开区一模）i是虚数单位，复数=（）AiBiCiD+i考点：复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值解答：解：=故选：A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2（5分）（201

8、5南开区一模）已知实数x，y满足约束条件，则目标函数z=x2y的最小值是（）A0B6C8D12考点：简单线性规划菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（4，4），化目标函数z=x2y为，由图可知，当直线过C时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于424=12故选：D点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题3（5分）（2015南开区一模）设A，B为两个不相等的集合，条件p：x（AB），条件q

9、：x（AB），则p是q的（）A充分不必要条件B充要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题：集合；简易逻辑分析：根据集合关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：当xA，且x（AB），满足x（AB），即充分性不成立，若x（AB，则x（AB），成立，即必要性成立，故p是q必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系是解决本题的关键4（5分）（2015南开区一模）已知双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A4x212y2

10、=1B4x2y2=1C12x24y2=1Dx24y2=1考点：抛物线的简单性质；双曲线的标准方程菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的渐近线的方程可得a：b=：1，再利用抛物线的准线x=1=c及c2=a2+b2即可得出a、b得到椭圆方程解答：解：双曲线（a0，b0）的一条渐近线方程是xy=0，a：b=：1，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线x=1上，c=1c2=a2+b2，解得：b2=，a2=此双曲线的方程为：x24y2=1故选：D点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质，熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键5（5分）（2015南开区一模）

11、函数y=log0.4（x2+3x+4）的值域是（）A（0，2B2，+）C（，2D2，+）考点：函数的值域菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：先通过配方能够得到0，所以根据对数函数的图象即可得到，进行对数的运算从而求出原函数的值域解答：解：；有；所以根据对数函数log0.4x的图象即可得到：=2；原函数的值域为2，+）故选B点评：配方的方法求二次函数的值域，对数函数的定义域，以及对数函数的图象，根据图象求函数的值域的方法6（5分）（2015南开区一模）如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为（）ABC4D2考点：由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题：空间位

12、置关系与距离分析：由已知中的三视图，分析出几何体的形状，进而画出几何体的直观图，进而代入锥体体积公式，可得答案解答：解：由已知中的三视图可得：此棱锥的直观图如下图所示：其底面ABCD为一个底边长为2和2的矩形，面积S=4，高是P点到底面ABCD的距离，即h=，故几何体的体积V=，故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中根据已知分析出几何体的形状，是解答的关键7（5分）（2015南开区一模）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2+bc，A=，则内角C=（）ABCD或考点：余弦定理菁优网版权所有专题：解三角形分析：由余弦定理可得，而b2=a2+bc，可得c

13、=b，a2=b2，再利用余弦定理即可得出解答：解：由余弦定理可得=，b2=a2+bc，=0，解得c=b，a2=b2bc=b2，cosC=，cb，C为锐角，故选：B点评：本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）（2015南开区一模）已知函数f（x）=|mx|xn|（0n1+m），若关于x的不等式f（x）0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为（）A3m6B1m3C0m1D1m0考点：根的存在性及根的个数判断菁优网版权所有专题：函数的性质及应用分析：根据f（x）=|mx|xn|0，及题意得m1，从而，再根据解集中的整数的个数可知2（m1）n3（m1），解之即可

14、解答：解：f（x）=|mx|xn|0，即|mx|xn|，（mx）2（xn）20，即（m1）x+n（m+1）xn0，由题意：m+10，f（x）0的解集中的整数恰好有3个，可知必有m10，即m1，（否则解集中的整数不止3个）故不等式的解为，0n1+m，所以解集中的整数恰好有3个当且仅当，即2（m1）n3（m1），又n1+m，所以2（m1）n1+m，即2（m1）1+m，解得m3，从而1m3，故选：B点评：本题考查函数零点的判断，灵活对表达式进行变形、挖掘已知条件中的隐含信息是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上9（5分）（2015南开区一模）

15、如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2小组的频数为15，则抽取的学生人数为60考点：频率分布直方图菁优网版权所有专题：概率与统计分析：根据已知，求出第2小组的频率，再求样本容量即可解答：解：第2小组的频率为（10.037550.01255）=0.25；则抽取的学生人数为：=60故答案为：60点评：本题考查了读取频率分布直方图中数据的能力，属于基础题10（5分）（2015南开区一模）已知a0，（x）6的二项展开式中，常数项等于60，则（x）6的展开式中各项系数和为1（用数字作答）考点：二项式定理的应用菁优网版权所有专题：计算题；二项式定

16、理分析：写出二项式的通项，令x的指数等于0，求出r的值，给x赋值，做出二项式展开式的各项系数之和解答：解：a0，（x）6的二项展开式中，常数项等于60，通项Tr+1=C6r（a）rx63r，当63r=0时，r=2，常数项是C6r（a）r=60a=2，令x=1，得到二项式展开式中各项的系数之和是1，故答案为：1点评：本题考查二项式通项和各项系数之和，本题解题的关键是写出通项，这是解这种问题的通法，本题是一个基础题11（5分）（2015南开区一模）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S=2500；考点：程序框图菁优网版权所有专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是

17、计算并输出S=1+3+5+7+99=2500解答：解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0S=1，i=3不满足条件i99，S=4，i=5不满足条件i99，S=9，i=7不满足条件i99，S=16，i=9不满足条件i99，S=1+3+5+7+99，i=101满足条件i99，退出循环，输出S=1+3+5+7+99=2500故答案为：2500点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了等差数列的求和，属于基本知识的考查12（5分）（2015南开区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：cossin=0，则圆C截直线l所得弦长

18、为考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程菁优网版权所有专题：坐标系和参数方程分析：首先把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出圆心到直线的距离，进一步利用勾股定理求出结果解答：解：平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y2）2=4，直线l的方程：cossin=0，转化成直角坐标方程为：，所以：圆心（0，2）到直线的距离d=1，所以：圆被直线所截得弦长：=2故答案为：点评：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程，点到直线的距离，勾股定理的应用13（5分）（2015南开区一模）如图，圆O的割线PAB交圆O于A、

19、B两点，割线PCD经过圆心O已知PA=AB=2，PO=8则BD的长为2考点：平行截割定理菁优网版权所有专题：选作题；立体几何分析：利用割线定理，求出PC，再证明ACOB，2=D，AOB=BOD，即可得出结论解答：解：设PC=x，则利用割线定理可得24=x（x+8x+8x），x=4，连接OA，OB，AC，则A，C分别为PB，PO的中点，ACOB，1=2，1=LD，2=D，AOB=BOD，BD=AB=2故答案为：2点评：本题考查割线定理，考查圆的内接四边形的性质，考查学生的计算能力，比较基础14（5分）（2015南开区一模）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且=，= 若点

20、F为线段BE的中点，点O为ADE的重心，则=0考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：如图，根据向量的加减法运算法则，及重心的性质，用、表示、，再根据正三角形ABC的边长为2，进行数量积运算即可解答：解：连AO并延长交DE于G，如图，O是ADE的重心，DG=GE，=，又=，=，=（），显然，又=（1），=（+）=（+）=（）=+，=（1）+，=，=（1），=+（2），又正三角形ABC的边长为2，|2=|2=4，=（1）+（2）=（1）2+（1）（2）+（2）=0点评：本题考查平面向量的数量积的计算，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题三.解答题：（本大题共6

21、个小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（13分）（2015南开区一模）设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，xR（）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；（）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值考点：函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的周期性及其求法即可求得函数f（x）的最小正周期，由2k2x+（2x+1），可解得函数的单调

22、减区间（）由（）先求得g（x），由0x，可求2x，从而可得cos（2x）+12，即可求出f（x）的取值范围解答：解：（）f（x）=cos（2x+）+2cos2x=+1+cos2x2分=cos2xsin2x+1=cos（2x+）+14分所以函数f（x）的最小正周期为5分由2k2x+（2x+1），可解得kxk+，所以单调减区间是：k，k+，kZ8分（）由（）得g（x）=cos（2（x）+）+1=cos（2x）+1 （10分）因为0x，所以2x，所以cos（2x）1，（12分）因此cos（2x）+12，即f（x）的取值范围为，2 （13分）点评：本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，三角

23、函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，三角函数恒等变换，综合性较强，属于中档题16（13分）（2015南开区一模）将编号为1，2，3，4的4个小球随机放到A、B、C三个不同的小盒中，每个小盒至少放一个小球（）求编号为1，2的小球同时放到A盒的概率；（）设随机变量为放入A盒的小球的个数，求的分布列与数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有专题：概率与统计分析：（）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，直接求解即可（）=1，2，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可解答：解：（）设编号为1，2的小球同时放到A盒的概率为P，P= （4分）（）=1，2，

24、（5分）P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列为（11分）12P的数学期望E（）=1+2= （13分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，考查计算能力17（13分）（2015南开区一模）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）证明ACPCACBC通过直

25、线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC平面PBC（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及面PAC的法向量面EAC的法向量，通过二面角PACE的余弦值为，求出直线PA的向量，利用向量的数量积求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值即可解答：解：（）PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPCAB=4，AD=CD=2，AC=BC=AC2+BC2=AB2，ACBC又BCPC=C，AC平面PBCAC平面EAC，平面EAC平面PBC（5分）（）如图，以点C为原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，

26、0），A（2，2，0），B（2，2，0）设P（0，0，2a）（a0），则E（1，1，a），=（2，2，0），=（0，0，2a），=（1，1，a）取=（1，1，0），则=0，为面PAC的法向量设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则=0，即，取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2 （10分）于是n=（2，2，2），=（2，2，4）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|cos，|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为（13分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力18（13分

27、）（2015南开区一模）已知椭圆C：=1（ab0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b（）求椭圆C的离心率；（）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设F的坐标为（c，0），原点O到直线FA的距离为b，列出方程，即可求解椭圆的离心率（）求出椭圆方程，联立方程组，通过韦达定理，设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），求出MB方程，NA方程，求出交点坐标，推出结果解答

28、：解：（）设F的坐标为（c，0），依题意有bc=ab，椭圆C的离心率e= （3分）（）若b=2，由（）得a=2，椭圆方程为 （5分）联立方程组化简得：（2k2+1）x2+16kx+24=0，由=32（2k23）0，解得：k2由韦达定理得：xM+xN=，xMxN=（7分）设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），MB方程为：y=x2，NA方程为：y=x+2，（9分）由解得：y=（11分）=1即yG=1，直线BM与直线AN的交点G在定直线上（13分）点评：本题考查直线与椭圆的综合应用，椭圆的简单性质方程的求法，考查分析问题解决问题的能力19（14分）（2015南开区一模）设数列an满足：a

29、1=1，an+1=3an，nN*设Sn为数列bn的前n项和，已知b10，2bnb1=S1Sn，nN*（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=bnlog3an，求数列cn的前n项和Tn；（）证明：对任意nN*且n2，有+考点：数列的求和菁优网版权所有专题：等差数列与等比数列分析：（）判断an是等比数列，求出通项公式，判断bn是等比数列，求出通项公式为bn（）化简cn的表达式，利用错位相减法求解Tn即可（）化简并利用放缩法，通过数列求和证明即可解答：解：（）an+1=3an，an是公比为3，首项a1=1的等比数列，通项公式为an=3n1（2分）2bnb1=S1Sn，当n=1时，2b1b1=S1S1，S1=b1，b10，b1=1 （3分）当n1时，bn=SnSn1=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是公比为2，首项a1=1的等比数列，通项公式为bn=2n1（5分）（）cn=bnlog3an=2n1log33n1=（n1）2n1，（6分）Tn=020+12