2015年江苏高考数学试卷带详解

1、2015江苏高考理科数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. (15江苏高考)已知集合，则集合中元素的个数为_.【参考答案】5【测量目标】集合并集及其运算.【试题分析】，中的元素个数为5. 2. (15江苏高考)已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6，那么这组数据的平均数为_. 【参考答案】6【测量目标】平均数的计算.【试题分析】 ，这组数的平均数为6.3. (15江苏高考)设复数满足（是虚数单位），则的模为_.【参考答案】【测量目标】复数的基本运算.【试题分析】 =,.4. (15江苏高考)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为

2、_.第4题图 【参考答案】7【测量目标】流程图.【试题分析】 (1)，；(2)，；（3），；(4)，； 输出的结果为7.5. (15江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球. 从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.【参考答案】【测量目标】随机事件与概率.【试题分析】 从中随机一次摸出2只球的所有可能出现的结果为：（白，红），（白，黄1），（白，黄2），（红，黄1），（红，黄2），（黄1，黄2）总共有6种可能，显然2只球颜色不同有5种可能. . 6. (15江苏高考)已知向量，若，则的值为_.【参考答案】-3【测量目标】平面向量的坐标运算.【试题

3、分析】 ，得，.7. (15江苏高考)不等式的解集为_.【参考答案】【测量目标】解不等式.【试题分析】，即，得，解集为.8. (15江苏高考)已知，则的值为_.【参考答案】3【测量目标】两角和与差的正切公式.【试题分析】.9. (15江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.【参考答案】【测量目标】圆柱、圆锥的体积计算.【试题分析】，设新的底面半径为，则有：， ，解得.10. (15江苏高考)在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最

4、大的圆的标准方程为_.【参考答案】【测量目标】直线与圆的位置关系，圆的标准方程.【试题分析】 圆心到切线的距离为，最大的半径为，半径最大圆的标准方程为.11. (15江苏高考)设数列满足，且，则数列前10项的和为_.【参考答案】【测量目标】数列的通项和性质.【试题分析】 ，即，又， 前10项的和为.12. (15江苏高考)在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点.若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_.【参考答案】【测量目标】双曲线的几何性质.【试题分析】设点坐标为，则点到直线的距离=，又在双曲线上，即 从而.=，的最小值为的最大值为.13. (15江苏高考)已知函数， 则方程实根

5、的个数为_.【参考答案】4【测量目标】方程的根.【试题分析】根据题意，分情况讨论： 当时，有1个解，此时有一个根.当时，单调递增，且，此时有一个根.当时，先减后增，且，此时与有两个交点，即有两个根.综上，方程的实根共有4个.14(15江苏高考)设向量，则的值为_.【参考答案】【测量目标】向量的乘积运算和数列的求和.【试题分析】.以为周期循环，.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (15江苏高考)（本小题满分14分）在中，已知，.（1）求的长；（2）求的值.【测量目标】(1)余弦定理的应用；(2)正弦定理的应用.【试

6、题解析】（1）由余弦定理知，所以.(2)由正弦定理知，,所以.因为,所以为锐角，则.故.16. (15江苏高考)（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点为.求证：（1）平面；（2）.第16题图 【测量目标】(1)线面平行的判定；(2)线线垂直的判定和性质.【试题解析】证明：（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此.又因为平面，平面，所以/平面.（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面.因为平面，所以.又因为,平面，平面，所以平面.又因为平面，所以.因为，所以矩形是正方形，因此.因为平面,，所以平面.又因为平面，所以.17(15江苏高考)（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直

7、的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为.计划修建的公路为. 如图所示，为的两个端点，测得点M到，的距离分别为5千米和40千米，点到，的距离分别为20千米和2. 5千米.以，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系. 假设曲线符合函数 （其中为常数）模型.(1)求的值；(2)设公路与曲线相切于点，的横坐标为.请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度.第17题图 【测量目标】(1)利用导数研究函数的极值和单调性；(2)直线与曲线的位置关系.【试题解析】 （1）由题意知

8、，点的坐标分别为，.将其分别代入，得解得（2）由（1）知，则点的坐标为，设在点处的切线交轴分别于点，则的方程为，由此得，.故，.设，则.令.解得.当时，是减函数；当时，是增函数. 从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时.答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米.18. (15江苏高考)（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于,若，求直线的方程.【测量目标】(1)椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】（1）由题意，得且.解得，则.所

9、以椭圆的标准方程为.（2）当轴时，,又,不合题意.当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，则.的坐标为，且.若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意.从而，故直线的方程为，则点的坐标，从而.因为，所以，解得此时直线方程为或.19. (15江苏高考)（本小题满分16分）已知函数 （1）试讨论的单调性；（2）若（实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值.【测量目标】(1)利用导数研究函数的单调性；(2)函数的零点.【试题解析】（1），令，解得，.当时，因为，所以函数在上单调递增；当时，时，时，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，

10、时，时，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个零点等价于，从而或又，所以当时，或当时，.设.因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是，则在上，且在上均恒成立.从而且因此.此时，因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，所以，且，解得.综上 .20. (15江苏高考)（本小题满分16分）设是各项为正数且公差为的等差数列.(1)证明：依次构成等比数列；(2)是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由.【测量目标】(1)等比数列的判定；(2)等差数列、等比数列的性质；(3)等差、等比数列的性质.

11、【试题解析】（1）证明：因为 是同一个常数，所以依次构成等比数列.（2）令，则分别为.假设存在，使得依次构成等比数列，则，且.令，则，且 ，化简得，且.将代入式，则，显然不是上面方程的解.矛盾，所以假设不成立.因此不存在，使得依次构成等比数列.（3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列.则，且.分别在两个等式的两边同除以及，并令，则，且.将上述两个等式两边取对数，得 ，且.化简得，且.再将这两式相除，化简得 . 令，则 .令，则.令，则.令.则.由，知在和上均单调.故只有唯一零点.即方程只有唯一解，故假设不成立.所以不存在及正整数，使得依次构成等比数列.数学（附加题）21.【选做题】本题包括

12、A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲 (15江苏高考)（本小题满分10分）如图，在中，的外接圆的弦交于点.求证：.第21题-A图【测量目标】三角形相似的判定和弧长与圆周角、弦长的相互关系.【试题解析】证明：因为，所以.又因为，所以，又为公共角，可知.B.选修4-2:矩阵与变换 (15江苏高考)（本小题满分10分）已知.向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值.【测量目标】矩阵的特征值与特征向量之间相互关系.【试题解析】由已知，得，即，则即，

13、所以矩阵.从而矩阵的特征多项式.所以矩阵的另一个特征值为1.C.选修4-4:坐标系与参数方程 (15江苏高考)（本小题满分10分）已知圆的极坐标方程为，求圆的半径.【测量目标】极坐标与直角坐标之间的相互转化.【试题解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系.圆的极坐标方程为.化简，得.则圆的直角坐标方程为.即，所以圆的半径为.D.选修4-5:不等式选讲 (15江苏高考)（本小题满分10分）解不等式.【测量目标】解含绝对值的不等式.【试题解析】解:原不等式可化为或解得或.综上，原不等式的解集是.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡

14、指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (15江苏高考) (本小题满分10分)如图(1)，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，.（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点是线段上的动点.当直线与所成的角最小时，求线段的长.第22题图(1 【测量目标】(1)两平面所成二面角的余弦值；(2)两直线所成角的大小.【试题解析】以为正交基底建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，.第22题图（2） (1)因为平面.所以是平面的一个法向量，.因为，.设平面的法向量为，则，即令，解得，.所以是平面的一个法向量. 从而，所以平面与平面所成的二面角的余弦值为.(2)因为，设 ，又，则，又，从而.设，则.当且仅当.即时，的最大值为.因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值. 又因为，所以.23. (15江苏高考)（本小题满分10分）已知集合，设整除或整除令表示集合所含元素的个数.（1）写出的值；（2）当时，