2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)平面向量的基本定理及坐标表示(含解析)

1、2016届高考数学一轮复习教学案平面向量的基本定理及坐标表示知识能否忆起一、平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使ax iyj，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中

2、x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标(2)设xiyj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若(x，y)，则A点坐标为(x，y)，反之亦成立(O是坐标原点)二、平面向量坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)2向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.三、平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.若abx1y2x2y10.小题能否全取1(2

3、012广东高考)若向量(1,2)，(3,4)，则()A(4,6)B(4，6)C(2，2) D(2,2)解析：选A，(1,2)(3,4)(4,6)2已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，则ab等于()A(2，1) B(2,1)C(3，1) D(3,1)解析：选A由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)3(教材习题改编)已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与同向的单位向量是()A. B.C. D.解析：选AA(4,1)，B(7，3)，(3，4)，与同向的单位向量为.4在平行四边形ABCD中，若(1,3)，(2,5)，则_，_.解析：(2,5)(1,3)(1,2)，(1,2)(1

4、,3)(0，1)答案：(1,2)(0，1)5梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别是CD，AB的中点，设a，b.若manb，则_.解析：abaab，m，n1.4.答案：41.基底的不唯一性只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息平面向量基本定理及其应用典题导入例1(2012苏北四市联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点

5、O，设a，b，若2，则_(用向量a和b表示)自主解答2，DOCBOA，且，()ab.答案ab由题悟法用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算以题试法1(2012南宁模拟)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为()A.B.C. D1解析：选A设mm()(0m1)，则(1m) m，所以.平面向量的坐标运算典题导入例2(1)(2012西城期末)已知向量a(，1)，b(0，2)若实数k与向量c满足a2bkc，则c可以是()A(，1)B(1，)C(，1)

6、D(1, )(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c.求3ab3c；求满足ambnc的实数m，n.自主解答(1)a(，1)，b(0，2)，a2b(，3)(1，)(2)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)mbnc(6mn，3m8n)，解得答案(1)D本例中第(2)题增加条件3c，2b，求M，N的坐标及向量的坐标解：3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)(9，18)由题悟法1向量的坐标运算实现了向量运算代数化

7、，将数与形结合起来，从而可使几何问题转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用注意向量的坐标与点的坐标不同：向量平移后，其起点和终点的坐标都发生变化，但向量的坐标不变以题试法2(2012淮安模拟)已知向量a(6,4)，b(0,2)，ab，O为坐标原点，若点C在函数ysin的图象上，则实数的值为_解析：由题意得(6,4)(0,2)(6,42)，故点C的坐标为(6,42)，根据条件得42sin1，解得.答案：平面向量共线的坐标表示典题导入例3(2011广东高考)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A.B.C1 D2自主

8、解答可得ab(1，2)，由(ab)c得(1)4320，所以.答案B在本例条件下，问是否存在非零常数，使ab和ac平行？若平行， 是同向还是反向？解：ab(1，2)，ac(13，24)，若(ab)(ac)，(1)(24)2(13)0.1.ab(2,2)与ac(2，2)反向即存在1使ab与ac平行且反向由题悟法ab的充要条件有两种表达方式(1)ab(b0)ab(R)；(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10.两种充要条件的表达形式不同第(1)种是用线性关系的形式表示的，而且有前提条件b0，而第(2)种无b0限制以题试法3(1)(2012北京东城区综合练习)已知向量a(2

9、,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则()A2 B2C D.解析：选C由向量a(2,3)，b(1,2)得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)，因为manb与a2b共线，所以(2mn)(1)(3m2n)40，整理得.(2)(2012嘉兴模拟)已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，那么A，B，C三点共线的充要条件为()A2 B1C1 D1解析：选DA，B，C三点共线，存在实数t，满足t，即abtatb，又a，b是不共线的向量，即1.1在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则等于()A(2,7)B(6,21)C(2，7) D(6，21)解

10、析：选B33(2)63(6,30)(12,9)(6,21)2已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析：选C由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)3.(2013昆明模拟)如图所示，向量a，b，c，A，B，C在一条直线上，且3，则()AcabBcabCca2bDca2b解析：选A3，3()，即cab.4已知点A(2,1)，B(0,2)，C(2,1)，O(0,0)给出下面的结论：直线OC与直线BA平行；2.其中正确的结论的个数是()A1

11、B2C3 D4解析：选C(2,1)，(2，1)，又A，B，C，O不共线，OCAB.正确；，错误；(0,2)，正确；2(4,0)，(4,0)，正确5(2012郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成cab(、为实数)，则m的取值范围是()A(，2) B(2，)C(，) D(，2)(2，)解析：选D由题意知向量a，b不共线，故m，解得m2.6在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab解析：选B由已知得DEEB，又DEFBEA，D

12、FAB.即DFDC.CFCD.()ba.abaab.7(2012洛阳质检)已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x_.解析：a2b，2ab(16x，x1)，由题意得(82x)(x1)(16x)，整理得x216，又x0，所以x4.答案：48(2013九江模拟)Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是两个向量集合，则PQ等于_解析：P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)则得此时ab(13，23)答案：9已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_解析：若点A，B，C能

13、构成三角形，则向量，不共线(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，1(k1)2k0，解得k1.答案：k110已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解：(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得点C的坐标为(5，3)11已知a(1,0)，b(2,1)求：(1)|a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？解：(1)因为a(1,0)，b(2,1)，所以a3b(7,3

14、)，故|a3b|.(2)kab(k2，1)，a3b(7,3)，因为kab与a3b平行，所以3(k2)70，即k.此时kab(k2，1)，a3b(7,3)，则a3b3(kab)，即此时向量a3b与kab方向相反12已知O为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A，B，M三点都共线解：(1) t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4

15、)t2，不论t2为何实数，A，B，M三点共线1.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()ABC D解析：选D由向量减法的三角形法则知，排除B；由向量加法的平行四边形法则知，排除A、C.2(2012山西四校联考)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若x(1x) ，则x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D依题意，设，其中1，则有()(1) .又x(1x) ，且，不共线，于是有x1，即x的取值范围是.3(2012东营模拟)已知P为ABC内一点，且3450.延

16、长AP交BC于点D，若a，b，用a，b表示向量，.解：a，b，又3450，34(a)5(b)0，化简，得ab.设t (tR)，则t at b又设k (kR)，由ba，得k(ba)而a，ak(ba)(1k)akb.由，得解得t.代入，有ab.1已知向量a(，1)，b(sin m，cos )，且ab，则实数m的最小值为()A2 B1C D3解析：选Aab，cos sin m0.msin cos 2sin2.2若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析：选Da在基底p，q下的坐标为(2