矩阵的对角化

1、摘 要矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化AbstractMatrix diagonalization refers similarity

2、 matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value.Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition

3、 for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their pre

4、decessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization.Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization目录引言1一 矩阵可对

5、角化的概念21.1 特征值、特征向量的概念 21.2 矩阵可对角化的概念2二 矩阵可对角化的几个等价条件42.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明42.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤8三 矩阵可对角化的应用93.1具体矩阵对角化的求解过程93.2矩阵对角化的应用133.2.1在反求矩阵方面的应用133.2.2 求方阵的高次幂143.2.3 求行列式的值153.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限163.2.5 在二次曲面上的一些应用17结论19致 谢20参 考 文 献21引言矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类

6、，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是高等代数和线性代数中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：阶方阵可以对

7、角化的充要条件是它有个线性无关的特征向量；方阵可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完高等数学和线性代数的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化

8、的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。一 矩阵可对角化的概念1.1 特征值、特征向量的概念 定义1 设是数域上线性空间的一个线性变换, 如果对于数域中的一个数存在一个非零向量使得,那么称为的一个特征值，而 称为的属于特征值的一个特征向量。求方阵的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程=0求得的个特征值，设是的互异特征值,其重数分别为则。(2)求解齐次线性方程组,其基础解系()就是所对应特征值的线性无关的特征向量。1.2 矩阵可对角化的概念定义2 设是数域上一个阶方阵，如果存在数域上的一个可逆矩阵,使得为对角形矩阵，那么就说矩阵可以对角化。任意方阵的每一个特征值都有一个与之相对应的特征向

9、量满足，则这个方程可以写成 , （1）我们定义矩阵,则（1）式可写成,若矩阵是可逆阵，则有引理1 设、都是阶矩阵,则有秩 秩+秩 证： 但注：代数中称式为Sylverster(薛尔佛斯特)公式引理2 设()为阶方阵的所有互异特征值，则矩阵的线性无关的特征向量的最大个数为。证明 设()为阶方阵的所有互异特征值，因为特征值相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组的基础解析所含向量的个数，所以特征值 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为，而矩阵的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵线性无关的特征向的最大个数为。引理3 设为阶方阵,是任意两两互异的数,则。 二 矩

10、阵可对角化的几个等价条件2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1 数域上阶方阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。证明（1）充分性 假设是矩阵的个线性无关的特征向量，即有,令矩阵由特征向量组成，因为是线性无关的，因此矩阵是非奇异矩阵，其逆矩阵记为，根据逆矩阵的定义有=，另一方面，由易知, =,给此式左乘矩阵，则有=，即充分性得证。 （2）必要性 令矩阵和对角形矩阵相似，即存在可逆矩阵使得,则有,于是记=()，则可以写成=()即有,这说明矩阵的列向量是矩阵的特征向量，而已知是可逆阵，故的个列向量线性无关，必要性得证。定理2 设 ，则可以对角化的充分必要条件是：(1)的特征根都

11、在数域内,(2)对的每个特征根,有，其中是的重数。条件(2) 也可改述为：特征根的重数等于齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。条件(2)还可改述为：令有，即属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数是。条件(1)，(2)还可改述为:的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于。证明 设是的所有不同的特征根,是齐次线性方程组的一个基础解系，则的特征向量一定线性无关。如果, 则有个线性无关的特征向量, 从而可以对角化。若可以对角化, 则属于的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是。若不然, 则由定理1可设的个线性无关的特征向量为,设是属于特征根的特征向量，则可由线性

12、表出，从而可由向量组线性表出，于是，rank rank =与线性无关矛盾。定理3 设是阶复矩阵, 则与对角形矩阵相似的充分必要条件是的最小多项式无重根。证明 充分性 因无重根,由| 知,的每个不变因子都不能有重根，从而特征矩阵作为复数域上的矩阵,其初等因子全为一次式，故必与对角阵相似。必要性 因与对角阵相似,特征矩阵的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式无重根。此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:定理4 设是维向量空间的一个线性变换，的矩阵可以对角化的充分必要条件是可以分解为个在之下不变的一维子空间的直和。 证

13、明 必要性若可以对角化，则存在的一组基使得在这组基下的矩阵为，令,则 ，事实上：（1），则，又, ，即。（2）,，且，且, ，又，,即又线性无关=0,即=0。充分性若可分解为个在之下不变的一维子空间的直和,即,设的基分别为则可构成的一组基。令， 在基下的矩阵为，即可以对角化。定理5 设是数域上的一个阶矩阵，的特征根全在内，若是的全部不同的特征根，其重数分别为，则可对角化的充要条件是秩。证明 设可对角化，则存在可逆矩阵,使这里右边是分块对角矩阵，为阶单位阵，于是有秩=秩=秩 =秩 =秩 =秩 =。反之，若秩=，则反复用本文引理1可得： =，于是有=。从而 =，这样可对角化。 定理6 设为阶方阵,

14、则可以对角化的充要条件为存在两两互异的使得。证明 必要性 设阶方阵可以对角化,()为的所有互异特征值,由引理2及定理1，从而有个线性无关的特征向量,即故，再由引理3得0，从而有。充分性设为阶方阵且存在两两互异的数使得，记为=。设为的特征值，则必为的特征值，从而。所以,因此矩阵的特征值的取值范围为，显然当可逆时，不是的特征值；当可逆时，是的特征值。因为线性方程组的基础解系所含向量的个数即为的特征值的重数 (当可逆时, 不是的特征值,此时)。从而矩阵线性无关的特征向量的最大个数为。再由引理3，当时，所以 ，即阶方阵有个线性无关的特征向量,从而可以对角化。2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤

15、 具体步骤 设，求可逆矩阵，使为对角矩阵的步骤是:(1) 求矩阵的全部特征根；(2) 如果的特征根都在数域内(否则不可对角化), 那么对每个特征根, 求出齐次线性方程组的一个基础解系；(3) 如果对每个特征根,的基础解系所含解向量个数等于的重数(否则不可对角化), 那么可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得阶可逆阵, 且是对角阵, 而对角线上的元素是的全部特征根。三 矩阵可对角化的应用3.1具体矩阵对角化的求解过程例1： 判断矩阵是否可以对角化。解法一： 的特征多项式=解得的特征值是（重），（重），对于特征根-4，求出齐次线性方程组的一个基础解系，对于特征根2，求出齐次线性方程组的一个基础解

16、系，由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以可以对角化。取那么说明：这种方法相对来说比较简单和基础，也是常用方法。解法二：，E=故的特征值是2（二重）和-4当时得和是属于2的特征向量当时得是属于-4的特征向量于是取则解法三：由上知2和-4是矩阵A的全部互异的特征值，我们可以计算得到从而矩阵A可以对角化由于2是二重特征根，则矩阵A的属于2的特征向量是矩阵A+4E列向量组的前2列；矩阵A的属于-4的特征向量是矩阵A-2E列向量组的前一列由此可得到可逆矩阵使得说明：相比起来这种方法在具体对角化的过程中运算量没有明显减少，但因其步骤简单，可以作为数学软件求解的理论依据例如在Matlab

17、中求解特征值和矩阵相乘只分别需要eig（A）和C=A*B一行简单的代码即可完成上述三种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区分对待，灵活把握例2：设是两个不同的数，又阶矩阵满足，证明相似于对角阵证明: 若，或则或结论显然成立。故可设，此时首先证明是的特证值。由于，故有，使得,又，于是是的属于特征值的特征向量，同理是的特征值。又设是的基础解，因而是的属于的线性无关的特征向量 ，设是的线性无关的特征向量，故可知线性无关，设是任一维向量，有，令，则有，因此有，故可被线性表示，于是为基，令则。 例3：设,，问能否相似于对角阵，若能相似于对角阵，求可逆矩阵，使得是对角阵；若不能相似于对角阵

18、，请说明理由。解：求 的特征值、特征向量，,故 。当时由，即得对应的线性无关特征向量，因，则.故的特征向量其中，而对应的特征向量仍是故存在可逆矩阵，有3.2矩阵对角化的应用本节探讨矩阵对角化在以下几个方面的应用3.2.1在反求矩阵方面的应用已知级矩阵的特征值和特征向量反求矩阵时，若矩阵可对角化，则有简单的方法事实上，当级矩阵可对角化时，存在由矩阵的个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵，使得,其中是由的所有特征值组成的对角矩阵，则 即为所求例4 :设3阶实对称矩阵的特征值为=-1，=1，=1对应于的特征向量为=,求矩阵分析：由矩阵可对角化的条件知，实对称矩阵是可对角化的，为了得到可逆矩阵,还需求出

19、对应于=1，=1的两个线性无关的特征向量，这还要利用到实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的这一性质解：设对应于=1，=1的特征向量为，它应与特征向量正交，即0+=0。得到基础解系为和，它们即是对应于=1，=1的线性无关的特征向量取 =(,)=,=，则=B于是=3.2.2 求方阵的高次幂求方阵的高次幂（k为正整数），若直接计算,按归纳法来寻求的规律有时是很困难的若矩阵可对角化，计算矩阵的高次幂就有简单的方法事实上，若有,其中 k有,则有 ，而=。则有=例5 设,求解：由=0得A得特征值为对于特征值解方程组,得到两个对应的线性无关的特征向量为对于，解方程组,得到对应的特征向量为令则,故=3.

20、2.3 求行列式的值对于具体给出的行列式，我们常利用行列式的性质对行列式进行初等变换，将其化为三角行列式直写出其值，或者化为含0较多的行列式，进而按行（列）展开降低行列式的阶数求行列式的方法有很多，应针对不同的行列式类型采用最简便的方法而计算抽象方阵的行列式时，主要是利用行列式的性质及行列式的计算公式若抽象方阵可对角化，求其行列式有简单的方法例6 设A是n阶方阵，是A的n个特征值E是一个n阶单位方阵计算行列式的值解：已知n阶方阵A有n个互异的特征值，而由矩阵可对角化的条件知，n阶方阵A可对角化的故存在可逆矩阵T使得AT=B=diag于是 =3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限对于一类具有线性递推关系组的数列，可利用矩阵来表示出递推关系，然后利用矩阵对角化的方法，可得到数列的通项.若数列有极限，进而求出数列的极限例7 已知。证明及存在且相等，并求出极限证明：将递推关系化简为再改写为矩阵的形式： 记由求得矩阵的特征值为分别对应的特征向量为,取则于是得到=故，于是=3.2.5 在二次曲面上的一些应用设是n元实二次型，那么=1或=0表示什么样的二次曲面呢？若把此二次曲面对应的矩阵化为对角矩阵，即作直角坐标变换使得这个二次曲面的方程在新坐标下