2016年湖南省永州市高三上学期第二次模拟考试数学试卷(文科)(解析版)

1、2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1复数z=i（1+3i）在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知=（1，2），=（1，m），若，则m=（）ABC2D23函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）4如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A1个B2个C3个D无数个5已知直线l1：x+ay2=0，l2：xay1=0，则“a=1”是

2、“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6若实数x，y满足，则xy的最小值等于（）A2B0C2D37某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）A5B6C7D88用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为，则球的表面积为（）A4B8C12D169已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）A=1B=1C=1D=110一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C2+4D3+411若偶函数f（x）在（，0上

3、单调递减，a=f（log23），b=f（1），c=f（2），则a，b，c满足（）AabcBbacCcabDcba12已知圆C的方程为x2+y22x4y1=0，直线l：ax+by2=0（a0，b0），若直线l始终平分圆C，则ab的最大值为（）ABC1D2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知集合U=0，1，2，A=x|x2=x，xR，则UA=14已知数列an满足a1=2，an+1=an+2，则a16=15在平面直角坐标系中，角的终边过点P（1，2），则cos2+sin2的值为16对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+

4、c0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式+0的解集为（2，）（，1），则关于x的不等式+0的解集为三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在平面直角坐标系xOy中，CAB=60，AC=2，BC=（1）求ABC的面积；（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的图象经过A、C、B三点，求和的值18某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否

5、喜欢该节目的人数如图所示：喜欢不喜欢合计10岁至30岁ab30岁至50岁cd合计（1）写出列表中a，b，c，d的值；（2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在3050岁之间的概率下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=B

6、1C=5，点D是线段AB的中点，四边形ACC1A1为正方形（1）求证：AC1平面B1CD；（2）求三棱锥DB1C1C的体积20已知函数f（x）=（1a2）lnxx3（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=ex2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）k0在x（0，+）时恒成立，求实数a的取值范围21已知ABC的顶点A、B的坐标分别为（，0）、（，0），C为动点，且满足sinB+sinA=sinC（1）求点C的轨迹L的方程；（2）设M（x0，y0）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（xx0）2+（yy0）2=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q

7、若直线OP、OQ的斜率均存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，BC是圆O的直径，点F在弧BC上，点A为劣弧的中点，作ADBC于点D，BF与AD交于点E，与AC交于点G（1）求证：AE=BE；（2）若圆O的半径为5，AB=6，求AG选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：=4cos（1）把直线l的参数方程化

8、为极坐标方程，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）已知点P（1，0），直线l与曲线C交于M、N两点，求|PM|PN|的值选修4-5：不等式选讲2016年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1复数z=i（1+3i）在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义【分析】求出复数z，根据其代数形式的几何意义找出平面中对应的点的坐标，由坐标判断复数对应的点所在的象限【解答】解：复数z=i（1+3i）=i

9、3=3i，z在复平面上对应的点的坐标为（3，1），在第三象限故选：C2已知=（1，2），=（1，m），若，则m=（）ABC2D2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量的共线的充要条件，列出方程求解即可【解答】解： =（1，2），=（1，m），若，可得2=m，则m=2故选：C3函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（）A（2，1）B（1，0）C（0，1）D（1，2）【考点】函数零点的判定定理【分析】由函数的解析式可得f（1）f（0）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间【解答】解：由函数的解析式可得f（1）=1+=0，f（0）=0+1=10，f（1

10、）f（0）0，根据函数零点的判定定理可得函数f（x）=x+3x的零点所在的区间为（1，0），故选：B4如图给出了一个程序框图，其作用是输入实数x的值，输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（）A1个B2个C3个D无数个【考点】程序框图【分析】由已知的程序框图，我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，结合输入的x值与输出的y值相等，我们分类讨论后，即可得到结论【解答】解：由题意得该程序的功能是：计算并输出分段函数y=的值，又输入的x值与输出的y值相等，当x0时，x=|x|，解得x=0，当x0时，x=，解得x=1或1（舍去）故满足条件的x值共有2个故选：B5已知

11、直线l1：x+ay2=0，l2：xay1=0，则“a=1”是“l1l2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】“l1l2”“1+a（a）=0”“a=1，或a=1”，进而结合充要条件的定义，可得答案【解答】解：直线l1：x+ay2=0，直线l2：xay1=0，“l1l2”“1aa=0”“a=1，或a=1”，故“a=1”是“l1l2”的充分不必要条件，故选：A6若实数x，y满足，则xy的最小值等于（）A2B0C2D3【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立

12、方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令z=xy，则y=xz，联立，解得A（1，1），由图可知，当直线y=xz过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2故选：A7某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则植树所需要的最少天数为（）A5B6C7D8【考点】等比数列的前n项和【分析】由已知第n天植树的棵数an=2n1，即an是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出植树所需要的最少天数【解答】解：第一天植1棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，第n天植树的棵数an=2n1，即an是首项为1，公比为2的等比数列

13、，某住宅小区计划植树不少于100棵，Sn=2n1100，n7植树所需要的最少天数为7天故选：C8用一个与球心距离为1的平面去截球，所得截面的面积为，则球的表面积为（）A4B8C12D16【考点】球的体积和表面积【分析】由已知中一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，我们可以求出该圆的半径，其中根据球半径、截面圆半径及球心距构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以求出球半径，进而代入球的表面积公式，即可得到该球的表面积【解答】解：由已知中与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，故该圆的半径为1，故球的半径为，故该球的表面积S=4R2=8故选：B9已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=20x的焦

14、点重合，其一条渐近线的斜率等于，则该双曲线的标准方程为（）A=1B=1C=1D=1【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点，即有c=5，求得渐近线方程即有=，结合a，b，c的关系，即可解得a，b，进而得到双曲线方程【解答】解：抛物线y2=20x的焦点为（5，0），即有双曲线的焦点为（5，0），设双曲线的方程为=1（a0，b0），则c=5，由渐近线方程为y=x则有=，又a2+b2=c2，解得a=4，b=3，则双曲线的方程为=1故选：D10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C2+4D3+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体

15、的一部分，利用图中数据求出它的表面积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体的一半，该几何体的表面积为S几何体=12+12+22=3+4故选：D11若偶函数f（x）在（，0上单调递减，a=f（log23），b=f（1），c=f（2），则a，b，c满足（）AabcBbacCcabDcba【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反可得f（x）在（0，+）上单调递增，且b=f（1），容易得出，从而由增函数的定义即可得出a，b，c的大小关系，从而找出正确选项【解答】解：根据题意，f（x）在（0，+）上单调递增；且b=f（1）=f（1）；又1log232，；f（1）

16、；即bac故选：B12已知圆C的方程为x2+y22x4y1=0，直线l：ax+by2=0（a0，b0），若直线l始终平分圆C，则ab的最大值为（）ABC1D2【考点】直线与圆的位置关系【分析】由已知得圆心C（1，2）在直线ax+by2=0上，从而a+2b2=0，由此利用均值定理能求出ab的最大值【解答】解：圆C的方程为x2+y22x4y1=0，直线l：ax+by2=0（a0，b0），直线l始终平分圆C，圆心C（1，2）在直线ax+by2=0上，a+2b2=0，a0，b0，2ab（）2=1，ab当且仅当a=2b=1时，ab取最大值故选：A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已

17、知集合U=0，1，2，A=x|x2=x，xR，则UA=2【考点】补集及其运算【分析】求出集合的等价条件，根据补集运算进行求解即可【解答】解：A=x|x2=x，xR=0，1，UA=2，故答案为：214已知数列an满足a1=2，an+1=an+2，则a16=32【考点】等差数列的通项公式【分析】根据等差数列的定义判断an是等差数列，写出它的通项公式，再求出a16的值【解答】解：数列an满足a1=2，an+1=an+2，d=an+1an=2；an=2+（n1）2=2n，a16=216=32故答案为：3215在平面直角坐标系中，角的终边过点P（1，2），则cos2+sin2的值为1【考点】任意角的三角

18、函数的定义【分析】利用任意角三角函数的定义和二倍角公式求解【解答】解：在平面直角坐标系中，角的终边过点P（1，2），x=1，y=2，r=，sin=，cos=，cos2+sin2=（）2+2sincos=1故答案为：116对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为（1，2），解关于x的不等式ax2bx+c0”，给出如下一种解法：由ax2+bx+c0的解集为（1，2），得a（x）2+b（x）+c0的解集为（2，1），即关于x的不等式ax2bx+c0的解集为（2，1）参考上述解法，若关于x的不等式+0的解集为（2，）（，1），则关于x的不等式+0的解集为（3，）（1，2）【考点】其他不

19、等式的解法【分析】根据不等式的新解法，进行类比求解即可【解答】解：由+0的解集为（2，）（，1），得+0，即+0，由2或1，得3x或1x2，即不等式+0的解集为（3，）（1，2），故答案为：（3，）（1，2）三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17如图，在平面直角坐标系xOy中，CAB=60，AC=2，BC=（1）求ABC的面积；（2）如图所示，若函数f（x）=2sin（x+）（0，|）的图象经过A、C、B三点，求和的值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】（1）由已知及余弦定理可求c的值，利用三角形面积公式即可求值得解（2）由

20、图象可求函数周期T，利用周期公式可求，由OA=，可得点A（1，0）在函数图象上，可得f（1）=2sin（+）=0，结合范围|，即可解得的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）ABC中，CAB=60，AC=2，BC=由余弦定理可知：a2=c2+b22bccos，c22c3=0，c=|AB|=3，SABC=23sin=6分（2）T=23=6，=，OA=，A（1，0），f（1）=2sin（+）=0，+=k（kZ），即：=k+（kZ），|，=12分18某电视台为调查市民对本台某节目的喜爱是否与年龄有关，随机抽取了100名市民，其中是否喜欢该节目的人数如图所示：喜欢不喜欢合计10岁至30岁ab6030

21、岁至50岁cd40合计7525100（1）写出列表中a，b，c，d的值；（2）判断是否有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，说明你的理由；（3）现计划在这次调查中按年龄段用分层抽样的方法选取5名市民，并从中抽取2名幸运市民，求2名幸运市民中至少有一人在3050岁之间的概率下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用【分析】（1）计算a、b、c、d的值，填写列联表即可；（2）计算观测值K2，通过表中数据

22、得出概率结论；（3）利用分层抽样原理求出“10岁30岁”与“30岁50岁”的市民人数，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可【解答】解：（1）a=50，b=10，c=25，d=15；填表如下：喜欢不喜欢合计10岁至30岁50106030岁至50岁251540合计7525100（2）没有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关，理由如下；K2=5.566.635，又P（K26.635）=0.01，所以P（K25.56）0.01，所以1P（K25.56）0.99，故没有99%的把握认为喜欢该节目与年龄有关；（3）设所抽的5名市民中有m名“10岁30岁”的市民，则=，解得m=3，所以5名市民中有3名

23、“10岁30岁”的市民，2名“30岁50岁”的市民，分别记为a、b、c、D、E，从中任选2名，基本事件有ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE共10个，其中2名市民中至少有1名在3050岁之间事件为aD，aE，bD，bE，cD，cE，DE共7个，所以2名幸运市民中至少有1人在3050岁之间的概率为P=19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=B1C=5，点D是线段AB的中点，四边形ACC1A1为正方形（1）求证：AC1平面B1CD；（2）求三棱锥DB1C1C的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）取BC1中点M，由中位

24、线定理可得AC1DM，故而AC1平面B1CD；（2）由勾股定理的逆定理得出ACBC，由正方形的性质得出ACCC1，故而AC平面BCC1B1，于是D到平面BCC1B1的距离d=，利用勾股定理求出CC1，得出棱锥的底面积S，代入棱锥的体积公式计算【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点M，则M为BC1的中点，连结DMD是AB的中点，AC1DM，又AC1平面B1CD，DM平面B1CD，AC1平面B1CD（2）AC=4，BC=3，AB=5，AB2=AC2+BC2，ACBC四边形ACC1A1为正方形，ACCC1，又BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，BCCC1=C，AC平面BCC1B1D是A

25、B的中点，D到平面BCC1B1的距离d=2CC1=4，S=V=d=420已知函数f（x）=（1a2）lnxx3（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=ex2（e为自然对数的底数），k为函数f（x）在x=1处切线的斜率，若g（x）k0在x（0，+）时恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出f（x）的导数，得到k的值，根据函数的单调性求出g（x）g（0），从而有a21，解出即可【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），f（

26、x）=（x0），由f（x）0，解得：0x1，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，f（x）极大值=f（1）=，无极小值；（2）f（x）=，（x0），由题意得k=f（1）=a2，g（x）=ex0，（x0），g（x）在（0，+）递增，g（x）g（0）=1，kg（0）=1，即a21，故a1或a121已知ABC的顶点A、B的坐标分别为（，0）、（，0），C为动点，且满足sinB+sinA=sinC（1）求点C的轨迹L的方程；（2）设M（x0，y0）是曲线L上的任一点，从原点O向圆M：（xx0）2+（yy0）2=2作两条切线，分别交曲线L于点P、Q若直线OP、OQ的斜率均存在，并记为k1，k2，求

27、证：k1k2为定值；试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）运用正弦定理和椭圆的定义可得，C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有a=，c=，b=，即可得到所求轨迹方程；（2）由直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y022=0的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到所求定值；OP2+OQ2为定值9讨论当直线OP，OQ的斜率均存在时，P（x1，y1），Q（x2，y2），运用的结论，结合P，Q在椭圆上，满足椭圆方程，

28、化简整理，由两点的距离公式即可得到定值9；当直线OP，OQ的斜率不存在时，圆M与x，y轴均相切，即可得到定值【解答】解：（1）由sinB+sinA=sinC，可得|CA|+|CB|=|AB|，即有|CA|+|CB|=22，即有C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且a=，c=，b=，可得轨迹L的方程为+=1（y0）；（2）证明：由直线OP：y=k1x与圆M相切，可得=，即有（x022）k122x0y0k1+y022=0，同理由直线OQ：y=k2x与圆M相切，可得（x022）k222x0y0k2+y022=0，即k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y022=0的两个不等的实根，可得k1k2=，由M在椭圆上，可得+=1，即为y02=3x02，即有k1k2=；OP2+OQ2为定值9理由如下：当直线OP，OQ的斜率均存在时，P（x1，