空间数据分析原理与方法

1、第11章 面状数据空间模式分析 面状数据是地理学研究中的一类重要数据，很多地理现象都通过规则的或不规则的多边形表示，这类地理现象的显著特点是空间过程与边界明确的面积单元有关。面状数据通过各个面积单元上变量的数值描述地理现象的分布特征，变量的值描述的是这个空间单元的总体特征，与面积单元内的空间位置无关。例如气候类型区、土壤类型区、土地利用类型区、行政区、人口普查区等。空间点模式主要从点的位置信息研究空间分布模式，而面状数据的空间模式研究的是面积单元的空间关系作用下的变量值的空间模式，换句话说，面积单元之间的邻接与否、距离远近等对于变量的空间分布具有重要影响。本章重点探讨面状数据空间模式的概念与测

2、度方法。11.1空间接近性与空间权重矩阵 在研究面积单元的空间模式之前，我们首先需要定义空间接近性，这是测度空间模式的基础。实质上“空间接近性”就是面积单元之间的“距离”关系，根据地理学第一定律，“空间接近性”描述了不同“距离”关系下的空间相互作用，而接近性程度一般使用空间权重矩阵描述。对“距离”的不同定义就产生了不同的空间接近性测度方法，于是就会有不同形式的空间权重矩阵。空间权重矩阵给出了一个面积单元受邻近空间单元影响的可量化测度。111且 空间接近性 基于“距离”的空间接近性测度就是使用面积单元之间的距离定义接近性，那么如何测度任意两个面积单元之间的距离呢?这就产生了两种方法：其一是按照面

3、积单元之间是否有邻接关系的邻接法，其二是基于面积单元中心之间距离的重心距离法(图111)。 (1)边界邻接法面积单元之间具有共享的边界(即分界线)，被称为是空间接近的，用边界邻接首先可以定义一个面积单元的直接近邻，然后根据近邻的传递关系还可以定义间接近邻，或者多重近邻。 (2)重心距离法面积单元的重心或中心之间的距离小于某个指定的距离，则面积单元在空间上是接近的。显然这个指定距离的大小对于一个单元的近邻数量有影响。图11.1不规则面积单元的空间接近性图111描述了不规则面积单元的空间接近性。规则的正方形网格相当于高度简化的多边形结构，其接近性的定义是类似的，一般分为3种方式(图112)，即类似

4、国际象棋棋子的行走方式，分别是车的行走方式、象的行走方式和王后的行走方式。常用的是按照车和王后的行走方式来定义空间上接近的网格单元。 对于图112中的9个单元格，中心单元格为X，在“车行走方式”下的接近性相当于具有共享边界的情况，X有4个近邻，分别为BDGE。在“王后行走方式”下，周围8个面积单元都是X的近邻，虽然有的多边形仅是通过点相连接。这相当于按照距离的接近性定义，假设网格的边长为L，则中心之间的距离的网格单元定义为X的近邻。对于图112所示的情况，这些近邻都是X的直接近邻，所以称为一阶近邻。一阶近邻的直接近邻形成X的二阶近邻，据此我们可以推广到n阶近邻。(a)按照车的行走方式 (b)按

5、照象的行走方式 (c)按照王后的行走方式图11.2 规则格网的接近性1112 空间权重矩阵 空间权重矩阵是空间接近性的定量化测度。假设研究区域中有n个多边形，任何两个多边形都存在一个空间关系，这样就有nn对关系。于是需要nn的矩阵存储这n个面积单元之间的空间关系。但是根据不同的准则能够定义不同的空间关系矩阵。下面将讨论定义空间关系的方法及其相关的矩阵空间邻接矩阵或空间权重矩阵，这一矩阵对于空间自相关统计量的计算具有重要的意义。1.二元邻接矩阵前已指出不同的接近性定义可导出不同的矩阵。首先考虑最简单的邻近定义，共享边界的面积单元定义为近邻。两个单元共享边界，则权重矩阵的元素, 否则，即 (11.

6、1)根据重心距离也可以得到类似于式（11.1）的权重定义： (11.2)图11.3 研究区域中的7个面积单元上述权重矩阵称为二元邻接矩阵，因为根据式(11.1)或式(112)定义的n个面积单元之间的接近性矩阵W是由0，1构成的。下面我们以图113为例，运用式(111)得到的研究区域中面积单元的邻接矩阵W，这是一个对称的矩阵。图113所示的面积单元之间的二元邻接矩阵为(11.3) 二元邻接矩阵C有很多重要的性质：对角线元素，因为面积单元i不能成为自己的邻居。矩阵具有对称性，即如果面积单元A是B的邻居，则B是A的邻居。矩阵的行元素之和表示该空间单元直接邻居的数量， 。假设共享边界的数量为J，则矩阵

7、的元素之和为。 由于二元连接矩阵中有大量的0出现，以及对称矩阵的性质，因此将引起存储冗余问题。我们以图114所示的美国俄亥俄州7个县的空间邻接情况说明这一问题。表111是用0和1表示的7个县的二元邻接矩阵。由于对称关系，矩阵中出现很多0，即同时记录了非直接近邻。因此采用表112所示的方式进行压缩，使得记录中只存放一个空间单元的近邻多边形。表111 美国俄亥俄州7个县的二元邻接矩阵我们还可以给出高阶形式的二元邻接矩阵。对于图113的情况，考虑任意一个面积单元的3阶最近邻，则得到接近性矩阵W如式(114)所示，这是一个非对称关系的接近性矩阵。矩阵各行求和的值，表示该行对应的面积单元的3阶近邻的数量

8、。同理，根据距离也可以定义高阶的邻接矩阵。(11.4)2.行标准化权重矩阵在二元邻接矩阵中，若面积单元是近邻则权重为1。数学上，单位值权重对空间关系建模不一定很好。例如，我们期望分析一幢房屋的价值是如何受到周围单元的影响的。根据房地产的实践，我们认为周围每一个单元对房屋价值都将产生部分影响，如果有4个邻居单元，每一个单元对于房屋的影响的权重都是o25。 已知二元矩阵1表示相对应的行和列上的面积单元是相邻的，因此对于每一行，行和记为，表示该面积单元的近邻的总数。为了找出每一个近邻单元对于所考察的面积单元的贡献，用矩阵元素的值除以就得到每一个近邻面积单元的权重 (11.5) 以美国俄亥俄州7个县为

9、例，其二元邻接矩阵记为，见表111，根据式(115)可以得到这7个县的行标准化矩阵，记为W，结果见表113。比较和可看出，该矩阵不再具有对称性。1113 重心距离与权重矩阵 除了使用近邻性测度来描述一组地理对象之间的空间关系和定义近邻之外，经常使用的另一种方法是采用面积单元之间的距离。使用距离的某种形式作为权重描述空间关系的能力非常强，根据地理学第一定律，两个对象之间的关系是其距离的函数，因此使用距离作为权重描述空间关系有很好的理论基础。 考虑到距离的远近对于变量值的贡献，接近性测度可定义为式(116)的形式，表示随着重心之间距离的增加，第个面积单元对于第个面积单元的影响呈指数下降。 (11.

10、6)式中，是幂指数如果用距离表示的空间权重矩阵记为D，其元素记为，表示第个多边形和第个多边形之间的距离。距离权重一般使用倒数的方式，因为空间作用关系随着距离的增加而减弱。因此，当使用距离矩阵时，权重是距离的倒数。但是根据空间过程的经验研究，权重并非和距离倒数成正比关系，研究发现，很多空间关系的强度随着距离的减弱程度要强于线性比例关系，因此经常采用平方距离的倒数作为权重。 仍然以美国俄亥俄州的7个县为例，任意两个县重心之间的距离计算如表114所示，根据式(116)，取2，则可采用式(117)计算基于距离的权重矩阵，见表115。式(117)认为个面积单元对于另一个面积单元影响的权重按照距离二次方的

11、倒数递减。 (11.7)按照距离定义空间权重矩阵时，需要注意距离的定义方式带来的影响。通常，两个点之间的距离易于定义，而两个多边形之间的距离定义存在多种方法。最为常用的是用两个多边形的重心间的距离表示多边形的距离。重心指的是多边形的几何中心。但是确定多边形几何中心的方法有多种，得到的结果却存在差异。一般而言，多边形的不规则性对几何中心的位置有重要的影响，计算的重心经常会出现在不合意的位置上。当多边形是凹多形时，可能会产生重心位于多边形外的情况，这时几何中心的确定可以采用骨架算法。11.2面状数据中趋势分析空间数据的一阶效应反映了研究区域上变量的空间趋势，通常用变量的均值描述这种空间变化。研究一

12、阶效应使用的方法主要是利用空间权重矩阵进行空间滑动平均估计。如果面积单元数据是基于规则格网的，一般使用中位数光滑(media polish)的方法，此外核密度估计方法也是研究面状数据一阶效应的常用方法。这些方法不仅用于探索面状数据均值的空间变化，而且从一种面积单元到另一种面积单元变换时的空间插值，也经常使用这一技术。521 空间滑动平均空间滑动平均是利用近邻面积单元的值计算均值的一种方法，称之为空间滑动平均。设区域中有个面积单元，对应于第个面积单元的变量的值为，面积单元邻近的面积单元的数量为个，则均值平滑的公式为： (11.8)最简单的情况是假设近邻面积单元对的贡献是相同的，即，则有 (11.

13、9)式(118)和式(119)的作用是对变量进行空间滤波，或用于空间插值。522 中位数光滑若面积单元是规则的格网，则常用的方法是用中位数光滑来估计趋势。趋势估计中使用中位数替代均值是因为均值对于离群值比较敏感，当数据中存在离群值时，中位数比均值更加稳健。根据统计学的思想，一个变量的空间分布可看作是多种因素影响下的空间过程的一个实现，在这个空间过程中包含了全局趋势、局部效应和随机误差。于是对于规则格网表示的变量的空间分布情况，变量的值可表示成式(1110)所示的分解： (11.10)式中， 是总的趋势；和分别表示的是行和列的效应，相当于局部效应； 是随机误差。于是总的均值为 (11.11)为了

14、计算规则格网中变量的空间趋势，根据式(1111)得到中位数光滑算法的一般过程如下： (1)将每一行的中位数记录在这一行的边上，并在每一行中减去中位数。 (2)计算行中位数的中位数，将其作为总的效应，从每一行中位数中减去总效应。 (3)将每一列的中位数记录在这一列的下面，并在每一列中减去中位数。 (4)计算列中位数的中位数，将其和总效应相加，从每一列中位数的总效应中减去这一数值。 (5)重复步骤(1)(4)，直到行或列的中位数不再变化。 经过上述步骤计算即可产生的每一个网格的值山，作为均值的估计，提供了数据的全局趋势： (11.12)同时，我们从观测数据中剔出这一趋势便得到残差，可对残差做深入的

15、分析，这需要使用112节以后的二阶方法。在中位数光滑过程中，需要注意根据格子的方向进行趋势分解可能产生条带效应，而这些方向可能和数据的趋势方向并无关系；并且这一方法无法控制光滑的程度。 我们使用图115的数据说明中位数光滑方法的应用。图115是一个33的规则网格，其变量的数值分布见图中的数字。对其进行的中位数光滑计算过程如下： (1)将每一行的中位数记录在这一行的边上，即记录于列中，并在每一行中减去列对应的中位数，添加行，行元素充0，结果如图116所示。(2)计算行中位数的中位数，结果为5，将其作为总的效应，从每一行中位数中减去总效应，结果见列(图117)。(3)将每一列的中位数记录在这一列的

16、下面，并在每一列中减去中位数（图11.8）(4)计算列中位数的中位数，将其和总效应相加，从每一列中位数的总效应中减去这一数值，到此步为止，行和列的中位数不再变化(图119)。 于是， ，表示在本例中所有单元格的均值都为5，而剩余的随机残差是各个网格中的数值减去该网格的均值。1123 核密度估计方法 在点模式的研究中，核密度估计方法(简称核估计)被用于探索点密度的变化，也常用于描述连续数据的一阶趋势的变化。核估计也同样可用于描述面状数据的一阶趋势。虽然我们在本章的开始就讨论了接近性及其测度的矩阵w，但是在核密度估计方法的估计过程中不需要W矩阵，仅需考虑面积单元之间的距离。这里面积单元之间的距离是

17、由其重心之间的距离定义的，所以首先需要计算各个面积单元的重心，假设我们用对面积单元 (重心表示)周围的单元的变量值估计的值，和之间的距离用向量表示为估计为 (11.13) 式中，是面积单元s 的估计；是核函数；是宽带，可解释为对产生影响的距离。式（11.13）适用于面积单元中的变量时；连续数值的情况。如果变量的值是计数值（count），面积单元内的观测时计数值，则不适用，需要改写核估计公式为 (11.14)式（11.14）表示单位面积内总的计数值。 面积单元核估计的一个重要应用是从一种面积单元变换到另一种面积单元时的空间插值。例如，为了研究人口密度的空间分布，需要将不规则的人口普查单元中的人口

18、统计数据转换到规则的正方形格网上。通过核估计的应用将一种面积单元中的人口数据重新聚集到另外一种面积单元中，满足了分析使用的需要。 在点模式分析中，我们就指出了带宽的选择对核估计使用的影响，选择一个合理的带宽对于面积单元的估计具有同样的重要性。由于核估计计算上比较繁琐，在面积单元转换的实际应用中常采用其他近似的方法来获得新的面积单元的数值估计。这些方法主要有：最近邻重心赋值法，重心对多边形赋值法，以及面积权重法。1.最近邻重心赋值法 一种面积单元到另一种面积单元的插值是根据变换前后两种面积单元重心的接近程度进行的，原则是用变换后的面积单元的重心计算其变换前的最近邻的面积单元的重心，用最近邻的重心

19、对应的面积单元的值对变换后的面积单元赋值。2.重心对多边形赋值法 类似于最近邻重心赋值法，这一方法将变换前的面积单元的重心和变换后的面积单元进行多边形叠加，根据重心落人的多边形对新的面积单元赋值。这种方法需要根据两个面积单元之间的关系进行适当的处理。3面积权重法面积权重法是根据一组面积单元和另外一组面积单元的叠加，用前一组面积单元落人的面积权重平均对另一组面积单元进行插值，获得新的面积单元中变量的估计。图1110是面积权重法的应用实例。在该实例中我们根据上海市浦东新区7000多个基本的人口普查单元中的人口数量，运用面积权重法将面积单元中人口总量数据转换到200m200m的网格上，图1110(a

20、)是在GIS中对网格中人口数量分布的3维显示，图1110(b)则是经过光滑处理后的人口密度分布效果图。图11.10 面积权重法应用实例11.3空间自相关的概念531 空间自相关 空间自相关是空间地理数据的重要性质，空间上近邻的面积单元中地理变量的相似性特征将导致二阶效应。在面状数据的背景上，二阶效应又称为空间自相关。 空间自相关的研究提供了空间数据分析中非常有用的统计技术，大部分的空间数据存在一定程度的空间自相关(Anselin，1988)。空间自相关是研究空间模式时间变化的有用工具。它能够提供我们理解空间模式从过去到现在、从现在到未来变化的知识，并且通过空间模式时间变化的研究能够揭示导致空间

21、模式变化的驱动因子。 空间自相关的概念来自于时间序列的自相关，所描述的是在空间域中位置s上的变量与其邻近位置上同一变量的相关性。对于任何空间变量(属性)Z，空间自相关测度的是Z的近邻值对于Z相似或不相似的程度。如果近邻位置上相互间的数值接近，我们说空间模式表现出的是正空间自相关；如果相互间的数值不接近，我们说空间模式表现出的是负空间自相关。、 显然空间自相关是根据位置相似性和属性相似性的匹配情况来测度的。根据11.1节的讨论，位置的相似可通过空间接近性矩阵或权重矩阵W来描述，而属性值的相似一般通过交叉乘积，或平方差异，或绝对差异来描述。若存在正空间自相关，则在近邻的空间位置上属性值的差异小；若

22、在负的空间自相关，则近邻的位置上属性值的差异大。此外空间自相关程度各不相同，其强度是可测度的。强的空间自相关意味着近邻对象的属性值高度接近，而无论是正值还是负值。图111l是3种典型的空间自相关模式。11.3.2空间随机性为了研究面积单元的空间自相关，我们需要首先建立空间随机性(spatial randomness)的概念。如果任意位置上观测的属性值不依赖于近邻位置上的属性值，我们说空间过程是随机的。 Hanning则从完全独立性的角度提出了更为严格的定义，对于连续空间变量，若式(1115)成立，则是空间独立的： (11.15)式中，n为研究区域中面积单元的数量，若变量是类型数据，则空间独立性

23、改写为 (11.16)式中， ,是变量的两个可能的类型， 。 Hanning还描述了3类空间随机过程，其中前两种过程的因变量服从式（11.15)和式(1116)： (1)赋值到n个位置上的连续变量来自于正态分布N(0， )。(2)赋值到n个位置上的离散变量的值来自于n次硬币的投掷。 (3)坐标为(，)的位置上的变量的值在一定程度上受到近邻位置的值的影响。 例如： ，其中， ，是来 自于均值为0，方差为常数的正态分布的误差项。为了计算方便，空间位置规定 为规则格子的中心。 显然对于上述3个过程中，(1)和(2)产生的空间分布模式是空间随机性 模式；而(3)将产生具有一定程度的相似性的空间模式。图

24、1112通过模拟的方式分别给出了确定性的函数关系，即空间自相关和空间随机性关系的3种空间模 式。其中，变量x,y的取值范围为(一1，1)，规则网格的边长为0.02。 1133 关于空间自相关的测度 根据空间接近性矩阵w和描述近邻属性值差异的数学形式，可以提出多种空间自相关的测度。如果被研究的空间属性或变量是名义变量或二元变量(属性只有两个值)，那么可以使用连接计数统计量。如果空间变量是间距变量或比率变量，合适的空间自相关统计量是Morans I和Gearys C，那么还可用使用广义统计量。如果假设面积单元的属性值是位于其重心之上的，则还可以使用协方差图和方差图揭示不同空间尺度上的相关性，这将在

25、第7章中讨论。 这些测度都被作为“空间自相关或空间联系的全局测度”，因为统计量是从全部研究区域上得到的，描述的是所有面积单元的整体空间关系。但是没有任何理由说明空间过程都是同质性的分布。空间自相关的程度随着空间位置会发生变化，因此一个分布或空间模式可以是空间异质性的。为了描述这种异质性条件下的空间自相关，我们必须能够在局部尺度上探测空间自相关的测度方法。LISA(空间联系局部化指标)和局部统计量就是为这一目的而设计的。 11.4名义变量的空间自相关测度连接计数法 我们首先应用连接计数法(join counts)研究规则网格上分布的二元数据的空间自相关问题。众多的地理问题表现为名义标度的变量，最

26、简单的情况是二元名义数据，例如对于温度场的高低划分、城市和郊区的划分等。 假设规则网格中分布的二元数据的变量或属性为工，则变量在任何网格单元上的取值只能是1或0两个数，或黑白两种颜色： (11.17) 对于二元数据的网格单元，其连接类型可分为， ， 3种情况，我们使用交叉积计算如下3种连接的统计量，其中BB表示黑色单元和黑色单元邻接，余同。 设研究区域共划分为个单元，其中编码为1的单元有个，编码为0的单元有个，则，于是上述3种情况的计数可写成: (11.19)式中，为接近性矩阵，规则网格取值可根据邻接规则的不同而不同。前指出按照车的行走方式和王后的行：方式定义的两种邻接规则是最为常用的，图11

27、.13是按照车(rook)的连接方式计算的邻接矩阵的实例。当接近性矩阵确定后，我们就能计算连接计数统计量。图1114分别给出了按照车和王后两种连接方式的3种空间模式连接计数统计量的计算结果。其中，图11.14(a)是黑色的单元和白色的单元在空间上聚集在一起，因此无论采用哪种连接方式，和两种们况的计数值都大，表明邻近位置上的变量值的相似性，正相关；图11.14(b)所示的情况中，黑白两种单元相间排列，于是和的计数值小，而白计数值大，表明相近的位置上变量的值不相似，负相关。图11.14(c)是黑白两种单元随机排列的情况，因此其，和的计数值介于上述两种情况之间于是通过比较，的计数值可以判断空间模式的

28、一般性结论；当相邻的单元具有相似的名义变量时，存在正空间自相关；当相邻的单元具有更多的不相似的名义变量时，存在负空间自相关。但是要确切地给出空间模式的推断还必须和随机空间模式进行比较。在完全随机条件下， 个单元可以组合成种空间模式，和 3种连接方式的期望计数值分别为 （11.20）式中， ；和分别是一个单元被编码为或的概率。 在采样位置不可置换的情况下，个单元可以组合的空间模式的数量是，、和 3种连接方式的期望计数值分别为 （12.21） 式中， 。若相似的编码单元相互排列在一起，则，和增大；当不相似的编码单元排列在一起时， ， ，。 在完全随机条件下，、和的标准差的期望为 （11.22）式中

29、，和的意义同前，而m按照式(1123)计算 （11.23）式中，是第个单元的连接数量。根据上述公式，可以计算图1114所示实例的期望连接数量与方差。根据图1114， ，考虑车的连接方式，即N-S和E-W方向上的连接，从图1114(b)可以得到总的连接数量，而m的计算较为复杂，分别有位于角上的2种连接，位于“边”上的3种连接，以及位于“中间”的4种连接，于是有在随机条件下，在得到各种连接类型计数的均值和方差的基础上，我们可进步构造一个服从正态分布的统计量： （11.24）式中，表示上述3种连接方式的计数值。通过实际计算的值和一定显著性水平上对应的值的比较即可得到观测的空间模式是否显著地异于随机模

30、式的推断。对于上面的例子，我们得到车连接方式的值的计算结果，见表116。在的显著性水平上，只有分布模式(c)位于独立随机性的数值范围内，于是(a)和(b)是非随机的模式，且对于模式(c)拒绝随机模式的零假设是不充分的。11.5空间自相关统计量Morans I和Gearys C 虽然连接计数统计量提供了直观且简易的方法测度二元名义尺度变量的全局空间自相关，但是这种条件相当严格，在应用中存在诸多缺陷。其一，连接计数法只能用于二元名义变量，即黑白、高低、干湿等情况；其二，计算相当繁琐，且在统计推断中统计量转换为Z值后造成解释上的困难；其三，现实世界的大部分变量是以间距或比率尺度量测的。于是在空间自相

31、关的研究中提出了其他的测度方法。这就是本节介绍的Morans I统计量和Gearys C统计量。 Morans I统计量和Gearys C统计量具有某些共同的特点，但是其统计性质是不同的。分析人员大多喜欢采用Morans I是因为该统计量的分布特征更加合意(A.DCliff，JKOrd，1981)。并且两个统计量都是基于邻近面积单元上变量值的比较。如果研究区域中邻近面积单元具有相似的值，统计指示正的空间自相关；若邻近面积单元具有不相似的值，则表示可能存在强的负空间相关。但是两个统计量使用了不同的方法来比较近邻面积单元的值。1151 Morans I统计 设研究区域中存在，个面积单元，第个单元上

32、的观测值记为，观测变量在个单元中的均值记为，则Morans I定义为式中，等号右边第二项类似于方差，是最重要的项，事实上这是一个协方差，邻接矩阵W和的乘积相当于规定对相邻的单元进行计算，于是J值的大小决定于i和j单元中的变量值对于均值的偏离符号，若在相邻的位置上，和是同号的，则为正；和是异号的，则为负。在形式上Morans I与协变异图为了简化公式，还可写成矩阵的形式： （11.26）式中，W是矩阵， ；是构成的列向量。 Morans I 指数的变化范围为（-1,1）。如果空间过程是不相关的，则I的期望接近于0，当I取负值时，一般表示负相关，I取正值，则表示正的自相关，用I指数推断空间模式还必

33、须与随机模式中的I指数作比较。 假设随机变量Y的观测值来自于正态分布，并且和是空间依赖的，那么抽样得到I的分布是近似的正态分布，并且有 （11.27）式中， （11.29） （11.30） （11.31） 在获得理论I值的基础上，可构造服从正态分布的统计量Z，以此检验空间自相关的显著性。Z统计量表示为 （11.32）下面用Moran，sJ检验美国俄亥俄州首府哥伦布市的犯罪率的空间分布是否在显著的空间自相关。图1115是关于犯罪率分布的分层设色地图，从浅亮到暗色的变化表示犯罪率的从低到高的变化。叠加在城市空间单元上的连线是使多边形重心构成的邻接图。计算中使用的接近性矩阵按照共享边界的方法计乙首先

34、作出如下假设： H。：在俄亥俄州首府哥伦布市的犯罪率不存在空间自相关。 H1：在俄亥俄州首府哥伦布市的犯罪率存在正空间自相关。计算得到犯罪率的标准差为5.5894，p值为1.139e-08,根据样本得到的统计量估计为 Morans I 期望 方差 0. -0. 0.于是，在和的显著性水平上拒绝，俄亥俄州首都哥伦布市犯罪率的空间分布为显著正空间自相关。11.5.2 Gearys 统计量Gearys 也是一种测度空间自相关的统计量，采用的也是交叉积的形式，定义为 （11.33）式中， ，即指数是非负的。 完全空间随机过程的期望值，如果，表示正的空间自相关；表示负的空间自相关。当相似的值聚集时趋向于

35、0，当不相似的值聚集时趋向于2。显然和相比较，是一种反向关系。 与相似，也可以应用于任何类型的空间权重矩阵，虽然最常用的是二元矩阵和行标准化矩阵，将的计算公式和的计算公式想比较，显著的差异是的分子采用的是交叉积的形式，采用的是两个近邻的数值对于均值的离差；而采用的是直接比较两个近邻数值的方法。在很大的程度上，我们不关心比大多少或小多少，但是比较两个数值大小的目的是关心两个近邻的数值的相似程度。因此，对近邻值的差求平方可消除差异的方向性影响。值的变化范围为(0，2)，其中，0表示完全的正空间自相关(即所有的近邻值一致，这样交叉积项为0)，2表示完全的空间负自相关。与不同的是，的期望值不受样本数量

36、的影响，是常数1。11.6广义统计量 和都具有描述全局空间自相关的良好统计特性，但是它们不具有识别不同类型的空间聚集模式的能力。这些模式有时被称为“hot spots和“cold spots。如果高值面积单元相互之间接近，和将指示相对高的正空间自相关，这些高值面积单元的聚集可被标注为“hot spots。但是和指出的高的正空间自相关也可由相互接近的低值面积单元构成。这种类型的聚集可被描述为“cold spots。和不能区分这两种类型的空间自相关。广义统计量(A.Getis，JKOrd，1992)的优势是能检测研究区域中的“hot spots或“cold spots。 广义统计量也采用交叉积的形

37、式。交叉积还常被作为空间联系(spatial association)的测度。广义统计量一般定义为 （11.34）式中， 。统计量是根据距离定义的，在距离之内的面积单元可作为的近邻。当单元和的距离小于时，权重为1，否则为0。于是权重矩阵是二元对称矩阵，但是近邻关系由距离定义。权重矩阵元素的和定义为，其中。由于权重的这种性质，当和的距离大于时，的点对将不能包括在分子中。另一方面，分母包括所有的，而不管这些单元对之间的距离有多远。显然，分母总是大于和等于(当值很大时)分子。基本上，当近邻的数值变大时，的分子将变大；反之，当近邻的值变小时，也变小，这是统计量的独特性质。中等水平的反应了高和中等数值的

38、空间联系，低水平的表示低和低于均值的空间联系。 在计算广义统计量之前，必须首先定义近邻的距离。在美国俄亥俄州的例子中，选择，根据表114中7个县中心之间的距离，按照门限计算二元权重矩阵，见表117。30mile对于每个县至少包含一个近邻来说已经是非常大的距离了，但是对于任何一个县包含所有的县来说这一距离又很小。计算得到该例中的统计量为但是对于广义统计量的更为详细的解释依赖于期望值和标准化后的变量Z值。 为了导出Z并检验广义统计量，我们必须知道的期望和方差。的数学期望为（11.35） （11.35）本例中， ，直观上，由于观测的轻微地大于期望的，我们认为观测模式展示出一定的正向空间联系，但是在检

39、验之前我们不能断定统计是显著的，于是需要导出Z值。的方差为 （11.36）式中， （11.37）于是， ； 。检验统计量为这一数值小于005显著水平上的标准阈值196，即计算的具有轻微的空间联系。Z值表明具有高的中位数家庭收入的县与中等收入水平的县相联系(30mile近邻尺度上)。这一关系不是统计上显著的，即这样的模式可能是小概率的事件而不是系统的过程。 11.7局部空间自相关统计量前述所有的空间自相关统计量都是全局统计量，因为它们是对于整个研究区域概括出的统计量。假定研究区域上具有不同的空间自相关值是合理的，或者说，在某些区域上的空间自相关的值可能是高的，另外一些区域上的值可能是低的，甚至可

40、能在研究区域的某一部分中找到正的空间自相关而在另一些区域中找到的是负的空间自相关。这一现象出现的原因在于空间异质性的存在。 为了获取空间异质性的测度，我们必须依赖于其他的测度。对全局测度统计量（、及广义的适当修正可用于探测局部尺度上的空间自相关。1171 空间联系局部指标LISA LISA是与和相关的局部化版本(L.Anselin，1995)。为了说明在局部尺度上空间自相关的水平，需要在任意面积单元上导出空间自相关数值。对于面积单元，其局部Morans I统计量定义为 （11.38）式中， ，分别是对于均值和标准差的标准化变量； ， 为的标准差。 局部Morans I的高值表示具有相似变量值的面积单元的空间聚集(可以是高或低)，而局部MoransJ的低值说明不相似值的空间单元的空间聚集。一般地， 可以使用行标准化矩阵，但是其他的空间权重矩阵也适用。 如果权重是行标准化的形式，那么面积单元的局部Morans I是的均值扁差乘以所有值均值偏差的积的和，空间权重定义了和之间的关系。 以美国俄亥俄州7个县的例子说明LISA的