第六章二次型习题解答

1、第六章二次型习题解答1.写出下列二次型的矩阵解2.给定下列矩阵,写出相应的二次型解3.试证矩阵与为合同矩阵解4.试证:可逆实对称矩阵与是合同矩阵.证明可逆,其特征值,有特征值.和合同于它们的规范形,正惯性指数和负惯性指数由正特征值个数和负特征值个数决定,故规范形相同,从而和合同5.用可逆线性替换将下列二次型化为标准形解 A:=matrix(1,-1,1,-1,-3,-3,1,-3,0);C1:=matrix(1,-1,1,0,2,1,0,1,0);C:=inverse(C1);multiply(transpose(C),A,C); A:=matrix(0,-2,1,-2,0,1,1,1,0);

2、C:=matrix(1,1,1/2,1,-1,1/2,0,0,1);multiply(transpose(C),A,C); A:=matrix(6,-3,-3,-3,6,-3,-3,-3,6);C1:=matrix(1,-1/2,-1/2,0,1,-1,0,0,1);C:=inverse(C1);multiply(transpose(C),A,C);6.用正交变换将下列实二次型化为标准形. 解(二重根),.正交化.单位化单位化 A:=matrix(17,-2,-2,-2,14,-4,-2,-4,14);U:=matrix(-2/sqrt(5),-2/(3*sqrt(5),1/3,1/(sqrt

3、(5),-4/(3*sqrt(5),2/3,0,5/(3*sqrt(5),2/3);multiply(U,transpose(U);simplify(multiply(transpose(U),A,U);7.若用正交替换已经将二次型化为标准形求和所用的正交替换.解,二重根单位化单位化 A:=matrix(5,4,2,4,5,2,2,2,2);U:=matrix(-1/sqrt(2),-1/(3*sqrt(2),2/3,1/sqrt(2),-1/(3*sqrt(2),2/3,0,4/(3*sqrt(2),1/3);multiply(transpose(U),U);multiply(transpo

4、se(U),A,U);8.对于第5题中的所有二次型,按实数域和复数域两种情形化为规范形,指出其秩,对实二次型指出其正惯性指数p,负惯性指数r-p,以及符号差2p-r.解9.试证:一个实二次型可以分解为两个实系数一次齐齐次多项式乘积的充分必要条是它的秩等于2,而且符号差为零;或者秩等于1.证明 设一个实二次型可以分解为两个实系数一次齐齐次多项式乘积.即如果和不线性相关,则不妨设令是可逆线性替换,是可逆线性替换.如果和线性相关,不妨设,. 令系数行列式这是这是可逆线性替换,秩为1.10.试证:当且仅当时,的秩等于2.证明 的秩为2的充分必要条件是.11.判断下列矩阵是否为正定矩阵解正定.不是正定矩

5、阵.不是正定矩阵.正定.12.判断下列二次型是否为正定二次型.解故f是正定的.解不是正定.13.t 满足什么条件,二次型是正定的?解故当时二次型是正定的.14.A 为n 阶正定矩阵,B为n 阶半正定矩阵,试证A+B为正定矩阵.证明 对于任意n 维向量X, 15.实对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式负正相间.证明为正定矩阵,而的顺序主子式为即负正相间.16.试证(1)实二次型半正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于它的秩,即(2)实对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是它的它的特征值都大于或等于零.(3)半正定矩阵A的行列式大于或等于零.证明(1)设实二次型是半正定的.存在非退化

6、线性替换,使得都不等于零.如果某个存在使得的第i个分量为1,其余分量为0,于是矛盾,故所有大于零,即反之,设的正惯性指数为存在非退化线性替换,使得故f 是半正定的.(2)存在正交替换使得.为A的特征值.以下证明类似于(1).(3) 根据(2),A的特征值存在正交替换使得17.设A为实对称矩阵,且满足证明A为正定矩阵.证明设为A的特征值,则为的讨特征值,但是只有特征值零,故18.设为实矩阵,且证明为正定矩阵的充分必要条件是证明 首先证明为对称矩阵.设由于齐次方程组只有零解,故对于任意维非零列向量,故故为正定矩阵.如果,则齐次方程组有非零解,故不是正定矩阵.19.设A为n阶正定矩阵,E为n阶单位矩阵,证明A+E的行列式大于1.证明 设A的特征值为由于A是正定矩阵,故A+E的特征值为故20.设A为m阶实对称矩阵,并且正定,B为实矩阵