2017年上海市高考数学试卷

1、2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1（4分）已知集合a=1，2，3，4，集合b=3，4，5，则ab= 2（4分）若排列数=654，则m= 3（4分）不等式1的解集为 4（4分）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于 5（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|= 6（4分）设双曲线=1（b0）的焦点为f1、f2，p为该双曲线上的一点，若|pf1|=5，则|pf2|= 7（5分）如图，以长方体abcda1b1c1d1的顶点d为坐标原点，过d的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是

2、 8（5分）定义在（0，+）上的函数y=f（x）的反函数为y=f1（x），若g（x）=为奇函数，则f1（x）=2的解为 9（5分）已知四个函数：y=x，y=，y=x3，y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 10（5分）已知数列an和bn，其中an=n2，nn*，bn的项是互不相等的正整数，若对于任意nn*，bn的第an项等于an的第bn项，则= 11（5分）设a1、a2r，且，则|10a1a2|的最小值等于 12（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点p1、p2、p3、p4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合=p1，p2，p3，p4，点

3、p，过p作直线lp，使得不在lp上的“”的点分布在lp的两侧用d1（lp）和d2（lp）分别表示lp一侧和另一侧的“”的点到lp的距离之和若过p的直线lp中有且只有一条满足d1（lp）=d2（lp），则中所有这样的p为 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式d为（）abcd14（5分）在数列an中，an=（）n，nn*，则an（）a等于b等于0c等于d不存在15（5分）已知a、b、c为实常数，数列xn的通项xn=an2+bn+c，nn*，则“存在kn*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）aa0b

4、b0cc=0da2b+c=016（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：=1和c2：x2+=1p为c1上的动点，q为c2上的动点，w是的最大值记=（p，q）|p在c1上，q在c2上，且=w，则中元素个数为（）a2个b4个c8个d无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图，直三棱柱abca1b1c1的底面为直角三角形，两直角边ab和ac的长分别为4和2，侧棱aa1的长为5（1）求三棱柱abca1b1c1的体积；（2）设m是bc中点，求直线a1m与平面abc所成角的大小18（14分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+，x（0，）（1）求

5、f（x）的单调递增区间；（2）设abc为锐角三角形，角a所对边a=，角b所对边b=5，若f（a）=0，求abc的面积19（14分）根据预测，某地第n（nn*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量sn=4（n46）2+8800（单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆：=1，a为的上顶点，p为上

6、异于上、下顶点的动点，m为x正半轴上的动点（1）若p在第一象限，且|op|=，求p的坐标；（2）设p（），若以a、p、m为顶点的三角形是直角三角形，求m的横坐标；（3）若|ma|=|mp|，直线aq与交于另一点c，且，求直线aq的方程21（18分）设定义在r上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2r，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在r上的、恒大于零的周期函数，m是g（x）的最大值函数h（x）=f（x）g（x）证明：“h（x）是周期函数”的充要条件

7、是“f（x）是常值函数”2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1（4分）已知集合a=1，2，3，4，集合b=3，4，5，则ab=3，4【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合a=1，2，3，4，集合b=3，4，5，ab=3，4故答案为：3，4【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2（4分）若排列数=654，则m=3【分析】利用排列数公式直接求解【解答】解：排列数=654，由排列数公式得，m=3故答案为：m=3【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，

8、注意排列数公式的合理运用3（4分）不等式1的解集为（，0）【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可【解答】解：由1得：，故不等式的解集为：（，0），故答案为：（，0）【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题4（4分）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于9【分析】由球的体积公式，可得半径r=3，再由主视图为圆，可得面积【解答】解：球的体积为36，设球的半径为r，可得r3=36，可得r=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为r2=9故答案为：9【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题5（4分）已知复数z满足z+=0，则|z

9、|=【分析】设z=a+bi（a，br），代入z2=3，由复数相等的条件列式求得a，b的值得答案【解答】解：由z+=0，得z2=3，设z=a+bi（a，br），由z2=3，得（a+bi）2=a2b2+2abi=3，即，解得：则|z|=故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题6（4分）设双曲线=1（b0）的焦点为f1、f2，p为该双曲线上的一点，若|pf1|=5，则|pf2|=11【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得|pf1|pf2|=6，解可得|pf2|的值，即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：=1，

10、其中a=3，则有|pf1|pf2|=6，又由|pf1|=5，解可得|pf2|=11或1（舍）故|pf2|=11，故答案为：11【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义7（5分）如图，以长方体abcda1b1c1d1的顶点d为坐标原点，过d的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（4，3，2）【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出a和c1的坐标，由此能求出结果【解答】解：如图，以长方体abcda1b1c1d1的顶点d为坐标原点，过d的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，的坐标为（4，3，2），a（4，0，0），c1（0，3

11、，2），故答案为：（4，3，2）【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题8（5分）定义在（0，+）上的函数y=f（x）的反函数为y=f1（x），若g（x）=为奇函数，则f1（x）=2的解为【分析】由奇函数的定义，当x0时，x0，代入已知解析式，即可得到所求x0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x0时，x0，即有g（x）=3x1，由g（x）为奇函数，可得g（x）=g（x），则g（x）=f（x）=13x，x0，由定义在（0，+）上的函数y=f（x）的反函

12、数为y=f1（x），且f1（x）=2，可由f（2）=132=，可得f1（x）=2的解为x=故答案为：【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题9（5分）已知四个函数：y=x，y=，y=x3，y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件a：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件a：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率【解答】解：给出四个函数：y=x，y=，y=x3，y=x，从四个函数中任选2个，

13、基本事件总数n=，有两个公共点（0，0），（1，1）事件a：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：，共2个，事件a：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p（a）=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用10（5分）已知数列an和bn，其中an=n2，nn*，bn的项是互不相等的正整数，若对于任意nn*，bn的第an项等于an的第bn项，则=2【分析】an=n2，nn*，若对于一切nn*，bn中的第an项恒等于an中的第bn项，可得=于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16即可得出【解答】解：an=n2，nn*，若

14、对于一切nn*，bn中的第an项恒等于an中的第bn项，=b1=a1=1，=b4，=b9，=b16b1b4b9b16=2故答案为：2【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11（5分）设a1、a2r，且，则|10a1a2|的最小值等于【分析】由题意，要使+=2，可得sin1=1，sin22=1求出1和2，即可求出|1012|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sin1，sin22的范围在1，1，要使+=2，sin1=1，sin22=1则：，k1z，即，k2z那么：1+2=（2k1+k2），k1、k2z|1012|=|10（2k1+k2）|的最

15、小值为故答案为：【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查12（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点p1、p2、p3、p4以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合=p1，p2，p3，p4，点p，过p作直线lp，使得不在lp上的“”的点分布在lp的两侧用d1（lp）和d2（lp）分别表示lp一侧和另一侧的“”的点到lp的距离之和若过p的直线lp中有且只有一条满足d1（lp）=d2（lp），则中所有这样的p为p1、p3、p4【分析】根据任意四边形abcd两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四

16、边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论【解答】解：设记为“”的四个点是a，b，c，d，线段ab，bc，cd，da的中点分别为e，f，g，h，易知efgh为平行四边形，如图所示；又平行四边形efgh的对角线交于点p2，则符合条件的直线lp一定经过点p2，且过点p2的直线有无数条； 由过点p1和p2的直线有且仅有1条，过点p3和p2的直线有且仅有1条，过点p4和p2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是p1、p3、p4故答案为：p1、p3、p4【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13（5分）关

17、于x、y的二元一次方程组的系数行列式d为（）abcd【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：d=故选：c【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用14（5分）在数列an中，an=（）n，nn*，则an（）a等于b等于0c等于d不存在【分析】根据极限的定义，求出an=的值【解答】解：数列an中，an=（）n，nn*，则an=0故选：b【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题15（5分）已知a、b、c为实常数，数列xn的通项xn=an2+bn+c，nn*，则

18、“存在kn*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列”的一个必要条件是（）aa0bb0cc=0da2b+c=0【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差数列，可得：2x200+k=x100+kx300+k，代入化简即可得出【解答】解：存在kn*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差数列，可得：2a（200+k）2+b（200+k）+c=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化为：a=0使得x100+k，x200+k，x300+k成等差数列的必要条件是a0故选：a【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻

19、辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c1：=1和c2：x2+=1p为c1上的动点，q为c2上的动点，w是的最大值记=（p，q）|p在c1上，q在c2上，且=w，则中元素个数为（）a2个b4个c8个d无穷个【分析】设出p（6cos，2sin），q（cos，3sin），02，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数【解答】解：椭圆c1：=1和c2：x2+=1p为c1上的动点，q为c2上的动点，可设p（6cos，2sin），q（cos，3sin），02，则=6coscos+6s

20、insin=6cos（），当=2k，kz时，w取得最大值6，则=（p，q）|p在c1上，q在c2上，且=w中的元素有无穷多对另解：令p（m，n），q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即o、p、q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的p、q有无穷多对，d项正确故选：d【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如图，直三棱柱abca1b1c1

21、的底面为直角三角形，两直角边ab和ac的长分别为4和2，侧棱aa1的长为5（1）求三棱柱abca1b1c1的体积；（2）设m是bc中点，求直线a1m与平面abc所成角的大小【分析】（1）三棱柱abca1b1c1的体积v=sabcaa1=，由此能求出结果（2）连结am，a1ma是直线a1m与平面abc所成角，由此能求出直线a1m与平面abc所成角的大小【解答】解：（1）直三棱柱abca1b1c1的底面为直角三角形，两直角边ab和ac的长分别为4和2，侧棱aa1的长为5三棱柱abca1b1c1的体积：v=sabcaa1=20（2）连结am，直三棱柱abca1b1c1的底面为直角三角形，两直角边ab

22、和ac的长分别为4和2，侧棱aa1的长为5，m是bc中点，aa1底面abc，am=，a1ma是直线a1m与平面abc所成角，tana1ma=，直线a1m与平面abc所成角的大小为arctan【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题18（14分）已知函数f（x）=cos2xsin2x+，x（0，）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设abc为锐角三角形，角a所对边a=，角b所对边b=5，若f（a）=0，求abc的面积【分析

23、】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（a）=0，解得a，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）函数f（x）=cos2xsin2x+=cos2x+，x（0，），由2k2x2k，解得kxk，kz，k=1时，x，可得f（x）的增区间为，）；（2）设abc为锐角三角形，角a所对边a=，角b所对边b=5，若f（a）=0，即有cos2a+=0，解得2a=，即a=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosa，化为c25c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosb=0，即有b为钝角，c=2不成立，则c=3，abc

24、的面积为s=bcsina=53=【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题19（14分）根据预测，某地第n（nn*）个月共享单车的投放量和损失量分别为an和bn（单位：辆），其中an=，bn=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量sn=4（n46）2+8800（单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出an和bn的前4项和的差即

25、可得出答案；（2）令anbn得出n42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论【解答】解：（1）an=，bn=n+5a1=514+15=20a2=524+15=95a3=534+15=420a4=104+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530=935（2）令anbn，显然n3时恒成立，当n4时，有10n+470n+5，解得n，第42个月底，保有量达到最大当n

26、4，an为公差为10等差数列，而bn为等差为1的等差数列，到第42个月底，单车保有量为39+53542=39+53542=8782s42=416+8800=873687828736，第42个月底单车保有量超过了容纳量【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题20（16分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆：=1，a为的上顶点，p为上异于上、下顶点的动点，m为x正半轴上的动点（1）若p在第一象限，且|op|=，求p的坐标；（2）设p（），若以a、p、m为顶点的三角形是直角三角形，求m的横坐标；（3）若|ma|=|mp|，直线aq与交于另一点c，且，求直线aq的方程【分析】（

27、1）设p（x，y）（x0，y0），联立，能求出p点坐标（2）设m（x0，0），a（0，1），p（），由p=90，求出x0=；由m=90，求出x0=1或x0=；由a=90，则m点在x轴负半轴，不合题意由此能求出点m的横坐标（3）设c（2cos，sin），推导出q（4cos，2sin1），设p（2cos，sin），m（x0，0）推导出x0=cos，从而 4cos2cos=5cos，且2sinsin1=4sin，cos=cos，且sin=（12sin），由此能求出直线aq【解答】解：（1）设p（x，y）（x0，y0），椭圆：=1，a为的上顶点，p为上异于上、下顶点的动点，p在第一象限，且|op|=，

28、联立，解得p（，）（2）设m（x0，0），a（0，1），p（），若p=90，则，即（x0，）（，）=0，（）x0+=0，解得x0=如图，若m=90，则=0，即（x0，1）（x0，）=0，=0，解得x0=1或x0=，若a=90，则m点在x轴负半轴，不合题意点m的横坐标为，或1，或（3）设c（2cos，sin），a（0，1），q（4cos，2sin1），又设p（2cos，sin），m（x0，0），|ma|=|mp|，x02+1=（2cosx0）2+（sin）2，整理得：x0=cos，=（4cos2cos，2sinsin1），=（cos，sin），4cos2cos=5cos，且2sinsin1=4s

29、in，cos=cos，且sin=（12sin），以上两式平方相加，整理得3（sin）2+sin2=0，sin=，或sin=1（舍去），此时，直线ac的斜率kac= （负值已舍去），如图直线aq为y=x+1【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题21（18分）设定义在r上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2r，当x1x2时，都有f（x1）f（x2）（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在r上的、恒大于零的周期函数，m是g（x）的最大值函数h（x）=f（x）g（x）证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”【分析】（1）直接由f（x1）f（x2）0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为tk，任取x0r，则有f（x0）=f（x0+tk），证明对任意xx0，x0+tk，f（x0）f（x）f（x0+tk），可得f（x0）=f（x0+ntk），nz，再由x03tk，x02tkx02tk，x0tkx0tk，x0x0，x0+tkx0+tk，x0+2tk=r，可得对任意xr，f（x）=f（x0）=c