线性代数模块总结

1、线性代数模块总结一、线性代数在数学的地位 线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于中国古代数学名著九章算术）。线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的

2、随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。2、 对线性代数教学的几点看法1、 加强背景知识的介绍 线性代数概念较为抽象，如果采用纯粹的定义、定理加推导的公式，学生容易失去兴趣，也很难深刻理解相关概念。现在许多学生在学习线性代数时，就只会一味的解题，对这门课的主要内容，相关背景一无所知。为了避免这种现象，我们有必要追溯到线性代数相关的历史，对其被经济发展状况作简单的介绍，探究那些想象力、创造力、努力交织在一起的故事。这样不仅有助于学

3、生在轻松的环境下理解知识点的来龙去脉，并加深对概念的理解，同时还有利于脱光他们的知识面，提高他们的数学修养。2、 注意知识点的合理引入 俗话说：“兴趣是最好的老师”。一堂课的成功与否，知识点的引入非常关键。因为只有通过合理的引入，才能吸引学生的注意力并激发他们的兴趣，使他们的学习有被动接受转为主动参与。在关于线性代数的教学过程中，可以结合具体教学内容采用不同的引入方法。一种典型的引入方法是结合学生已经掌握的知识通过类比引入。3、 注重知识点的几何意义阐述数学的教学目标是训练学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，因而数形结合是数学教育的重要思想和方法之一。但对于线性代数这样有许多抽象概

4、念的课程，往往过于强调抽象思维能力、逻辑推理能力，而容易忽视空间想象能力的培养，也就是容易忽视“形”概念的几何意义对教学的帮助作用。3、 线性代数的学习方法掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。四、课程的基本要求1理解 n 阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式2熟练掌握行列式的基本计算方法和性

5、质3熟练掌握克莱姆法则4理解矩阵的定义5熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法6理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性7掌握求矩阵秩的方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系8理解向量空间的概念，会求向量的坐标9熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组10熟练掌握线性方程组的求解方法，知道线性方程组的简单应用11熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法12掌握相似矩阵的概念，矩阵对角化的概念13熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法14理解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和15掌握二次型正定性概念及应用五、主要内容1、行列式行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；

6、代数余子式的性质：、和的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；代数余子式和余子式的关系：设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；证

7、明的方法：、；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0是其特征值；2、矩阵是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；对于阶矩阵： 无条件恒成立；矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：、；、；、；（主对角分块）、；（副对角分块）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组一个矩阵，总可经过初等变换化为

8、标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）若，则可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，

9、符号，且，例如：；、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；、倍加某行或某列，符号,且，如：；矩阵秩的基本性质：、；、；、若，则；、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、；、；、；、如果是矩阵，是矩阵，且，则：、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；、若、均为阶方阵，则；三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：、展开后有项；、组合的性质：；、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；、关于矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；、，中有

10、阶子式全部为0；、，中有阶子式不为0；线性方程组：，其中为矩阵，则：、与方程的个数相同，即方程组有个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；线性方程组的求解：、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、；、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）、（全部按列分块，其中）；、（线性表出）、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；、向量组的线性相关、

11、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；维向量线性相关的几何意义：、线性相关；、线性相关坐标成比例或共线（平行）；、线性相关共面；线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无

12、关，则；向量组能由向量组线性表示，则；向量组能由向量组线性表示有解；向量组能由向量组等价方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解、矩阵列等价：（右乘，可逆）；、矩阵等价：（、可逆）；对于矩阵与：、若与行等价，则与的行秩相等；、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；若，则：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；设

13、向量组可由向量组线性表示为：（）其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；5、相似矩阵和二次型正交矩阵或（定义），性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；施密特正交化：；;对于普通方阵，不同