《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解圆锥曲线的综合问题

1、圆锥曲线的综合问题(文视情况知识能否忆起1直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得关于变量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0)若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值自主解答(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(

2、x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN| d.由，解得k1.由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解以题试法1(2012信阳模拟)设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B2,2C1,1 D4,4解析：选C易知抛物线y28x的准线x2与x轴的交点为Q(2,0)，于是，可设过点Q(2,0)的直线l的方程为yk(x2)(由题

3、可知k是存在的)，联立k2x2(4k28)x4k20.当k0时，易知符合题意；当k0时，其判别式为(4k28)216k464k2640，可解得1k1.最值与范围问题典题导入例2(2012浙江高考)如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP面积取最大值时直线l的方程自主解答(1)设椭圆左焦点为F(c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x0，与不过原点的条件不符，舍

4、去故可设直线AB的方程为ykxm(m0)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx4m2120，则64k2m24(34k2)(4m212)0，所以线段AB的中点为M.因为M在直线OP：yx上，所以.得m0(舍去)或k.此时方程为3x23mxm230，则3(12m2)0，所以|AB|x1x2|，设点P到直线AB的距离为d，则d.设ABP的面积为S，则S|AB|d.其中m(2，0)(0,2)令u(m)(12m2)(m4)2，m2，2 ，u(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)所以当且仅当m1时，u(m)取到最大值故当且仅当m1时，S取到最大值综上，所求直线l的方程为3x2y220

5、.由题悟法1解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法2在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法

6、，确定参数的取值范围以题试法2(2012东莞模拟)已知抛物线y22px(p0)上存在关于直线xy1对称的相异两点，则实数p的取值范围为()A.B.C. D.解析：选B设抛物线上关于直线xy1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN的方程为yxb.将yxb代入抛物线方程，得x2(2b2p)xb20，则x1x22p2b，y1y2(x1x2)2b2p，则MN的中点P的坐标为(pb，p)因为点P在直线xy1上，所以2pb1，即b2p1.又(2b2p)24b24p28bp0，将b2p1代入得4p28p(2p1)0，即3p22p0，解得0p.定点定值问题典题导入例3(2012辽宁高考)如

7、图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2y2t与C0相交于A，B，C，D四点，其中bt2a，t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，证明：tt为定值自主解答(1)设 A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)(2)证明：设A(x2，

8、y2)，由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等，得4|x1|y1|4|x2|y2|，故xyxy.因为点A，A均在椭圆上，所以b2xb2x.由t1t2，知x1x2，所以xxa2，从而yyb2，因此tta2b2为定值由题悟法1求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值2定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况以题试法3(2012山东省实验中学模拟)已知抛物

9、线y22px(p0)及定点A(a，b)，B(a,0)，ab0，b22pa，M是抛物线上的点设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_解析：设M，M1，M2，由点A，M，M1共线可知，得y1，同理由点B，M，M2共线得y2.设(x，y)是直线M1M2上的点，则，即y1y2y(y1y2)2px，又y1，y2，则(2pxby)y022pb(ax)y02pa(by2pa)0.当xa，y时上式恒成立，即定点为.答案：1已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则,的最小值为()A2BC1 D0解析：选A设点P(x，

10、y)，其中x1.依题意得A1(1,0)，F2(2,0)，由双曲线方程得y23(x21),(1x，y)(2x，y)(x1)(x2)y2x2y2x2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，,取得最小值2.2过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为F，则|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合条件的直线有且仅有两条3(2012南昌联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点

11、M、N(均在第一象限内)，若,4,，则双曲线的离心率为()A. B.C. D.解析：选B由题意知F(c,0)，则易得M，N的纵坐标分别为，由,4,得4，即.又c2a2b2，则e.4已知椭圆1的焦点是F1，F2，如果椭圆上一点P满足PF1PF2，则下面结论正确的是()AP点有两个 BP点有四个CP点不一定存在 DP点一定不存在解析：选D设椭圆的基本量为a，b，c，则a5，b4，c3.以F1F2为直径构造圆，可知圆的半径rc34b，即圆与椭圆不可能有交点5已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足y1，则|PF1|PF2|的取值范围为_解析：当P在原点处时，|PF1|PF2|取

12、得最小值2；当P在椭圆上时，|PF1|PF2|取得最大值2，故|PF1|PF2|的取值范围为2,2 答案：2,2 6(2013长沙月考)直线l：xy0与椭圆y21相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则ABC面积的最大值为_解析：由得3x22，x，A，B，|AB|.设点C(cos ，sin )，则点C到AB的距离dsin()，SABC|AB|d.答案：7设F1，F2分别是椭圆E：x21(0bb0)，点P在椭圆上(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点若点Q在椭圆上且满足|AQ|AO|，求直线OQ的斜率的值解：(1)因为点P在椭圆上，故1，可得.于是e21，所以椭圆的离心率e

13、.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx，设点Q的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由|AQ|AO|，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00，而x00，故x0，代入，整理得(1k2)24k24.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.20(12分)(2012河南模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点为M(0,1)，直线l：ykx与椭圆相交于不同的两点A，B.(1)若|AB|，求k的值；(2)求证：不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.解：(1)由题意知，b1.由a2

14、b2c2可得cb1，a，椭圆的方程为y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x1x2|，化简得23k413k2100，即(k21)(23k210)0，解得k1.(2),(x1，y11)，,(x2，y21)，,x1x2(y11)(y21)，(1k2)x1x2k(x1x2)0.不论k取何值，以AB为直径的圆恒过点M.21 (2012广州模拟)设椭圆M：1(a)的右焦点为F1，直线l：x与x轴交于点A，若,2,0(其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2

15、(y2)21的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求,的最大值解：(1)由题设知，A，F1(，0)，由,2,0，得2，解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)设圆N：x2(y2)21的圆心为N，则,(,)(,)(,)(,),2,2,21.从而将求,的最大值转化为求NP,2的最大值因为P是椭圆M上的任意一点，设P(x0，y0)，所以1，即x63y.因为点N(0,2)，所以,2x(y02)22(y01)212.因为y0， ，所以当y01时，,2取得最大值12.所以,的最大值为11.22 (2012湖北模拟)如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝角，若|AF1|，|AF2|.(1)求曲线C1和C2的方程；(2)设点C是C2上一点，若|CF1| |CF2|，求CF1F2的面积解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，则2a|AF1|AF2|6，得a3.设A(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，则(xc)2y22，(xc)2y22，两式相减得xc.由抛物线的定义可知|AF2|xc，则c1，x或x1，c.又AF2F