数值数组及其运算

1、1,本章集中叙述了一维、二维、任意高维双精度数值数组的生成和操作。这是MATLAB最常用、最基本、最传统的数据类型，定义在此类“对象”上的“方法”就是最具魅力的数组运算。,2,2.1 引导,数组是指由一组实数或复数排成的长方阵列。它可以是一维的“行”或“列”，可以是二维的“矩形”，也可以是三维的“若干同维矩阵的堆叠”，甚至更高的任意维。 数组运算是指：无论在数组上实施什么运算（加减乘除或函数），总认定那种运算对被运算数组中的每个元素平等的操作。,3,数组和数组运算的目的在于： 使计算程序简单、易读，使程序指令更接近于教科书上的数学计算公式 提高程序的向量化程度，提高计算效率，节省计算机开销。,

2、4,2.2 一维数组的创建和寻访,2.2.1 一维数组的创建 （1）逐个元素输入法 x=2 pi/2 sqrt(3) 3+5i x = 2.0000 1.5708 1.7321 3.0000 + 5.0000i,5,（2） 冒号成长法 这是通过“步长”设定，生成一维“行”数组的方法。 x=a:inc:b a是数组的第一个元素；inc是采样点之间的间隔，即步长。若(b-a)是inc的整数倍，则所生成的最后一个元素等于b，否则小于b。,6,（3）定数线形采样法 该法在设定的“总点数”下，均匀采样生成一维“行”数组。 格式：x=linspace(a,b,n) 其中，a,b分别是生成数组的第一个和最后

3、一个元素。n是采样总点数。 x=linspace(10,20,11) x = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20,7,2.2.2 一维数组的子数组寻访和赋值 （1）子数组的寻访 x(index) 寻找什么样的子数组，取决于下标index，其取值范围是（1，数组长度）之间的正整数或正整数数组。 eg: x=rand(1,5) x = 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 x(3) ans = 0.6068 x(1 2 5) ans = 0.9501 0.2311 0.8913,8,（2）子数组的赋值 eg: x(3)=0 x = 0.

4、9501 0.2311 0 0.4860 0.8913 x(1 4)=1 1 x = 1.0000 0.2311 0 1.0000 0.8913,9,2.3 二维数组的创建,2.3.1 直接输入法 规则： 整个输入数组必须用 括住 数组元素必须用逗号或空格分隔 在 内数组的行与行之间必须用分号分隔或按Enter键分割,10,数组元素可以是数字或任何matlab表达式 ，表达式不可包含未知的变量；可以是实数 ，也可以是复数，复数可用特殊函数i输入。 例：1. a=1 2 3;4 5 6 2. b=2 pi/2;sqrt(3) 3+5i 3. x=9; y=pi/6; %定义x,y变量 A=3 5

5、 sin(y) cos(y) x2 7 x/2 5 1 %产生数组A 说明：%为Matlab注释的开始标志，后面的文字不进行计算,11,2.3.2 利用M文件创建和保存数组 针对比较大而复杂的数组 步骤： （1）打开文件编辑调试器，并在空白填写框中输入数组； （2）保存文件，命名为*.m; （3）在MATLAB指令窗口中，运行*.m文件，数组自动保存在MATLAB内存中。,12,2.4 二维数组元素的标识,2.4.1 “全下标”标识 即指出 “第几行，第几列”的元素 eg: a=rand(2,3) a = 0.7621 0.0185 0.4447 0.4565 0.8214 0.6154 a(

6、2,3) ans = 0.6154,13,2.4.2 “单下标”标识 即用一个下标来指明元素在数组中的位置。 首先进行“一维编号”，把二维数组按先左后右的次序、首尾相接排成一维长列；然后，自上而下对元素位置进行编号。 MATLAB在实现两种标识方法间的转换命令有： sub2ind 全下标单下标 ind2sub 单下标全下标,14,2.4.3 “逻辑1”标识 eg: A=zeros(2,5) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A(:)=-4:5 A = -4 -2 0 2 4 -3 -1 1 3 5 L=abs(A)3 L = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 islogic

7、al(L) %判断L是否是逻辑值数组 ans = 1 x=A(L) %把L中逻辑值为1对应的A元素取出 x = -4 4 5,15,2.5 二维数组的子数组寻访和赋值,A=zeros(2,4) A = 0 0 0 0 0 0 0 0 A(:)=1:8 %全元素赋值法 A = 1 3 5 7 2 4 6 8 s=2 3 5; A(s) Sa=10 20 30 A(s)=Sa,ans = 2 3 5 Sa = 10 20 30 A = 1 20 30 7 10 4 6 8 A(:,2 3)=ones(2) A = 1 1 1 7 10 1 1 8,例:不同赋值方式示例。,同一维数组的子数组寻访和赋

8、值的方法,16,2.6 执行数组运算的常用函数,17,2.7 数组运算和矩阵运算,从外观形状和数据结构上看，二维数组和（数学中的）矩阵没有区别。但是，矩阵作为一种变换或映射算子的体现，矩阵运算有着明确的数学规则；数组运算是MATLAB软件所定义的规则，其目的是为了数据管理方便、操作简单、指令形式自然和执行计算的有效。虽然数组运算尚缺乏严谨的数学推理，数组运算本身仍在完善和成熟中。,18,19,1. 直接输入矩阵的创建 规则： 矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须用分号分隔或按Enter键分割,20,矩阵的修改, 直接修改 可用键找到所要修改的矩阵，用键

9、移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改 可以用A(,)= 来修改。,21,例如 a=1 2 0;3 0 5;7 8 9 a =1 2 0 3 0 5 7 8 9 a(3,3)=0 a =1 2 0 3 0 5 7 8 0,22,2.用matlab函数创建和修改矩阵,Matlab提供了大量的函数来创建一些常用的特殊矩阵，例如对角阵、单位阵和零矩阵 例1：0-1分布的随机矩阵，利用rand函数产生任意行列的随机矩阵 a=rand(5,5),23,例2 利用diag产生对角阵 diag（M）M为矩阵或向量，对于矩阵，取对角元产生一个列向量；对于向量则产生一个对角阵, a=rand(5,5) a

10、 = 0.7027 0.7948 0.9797 0.1365 0.6614 0.5466 0.9568 0.2714 0.0118 0.2844 0.4449 0.5226 0.2523 0.8939 0.4692 0.6946 0.8801 0.8757 0.1991 0.0648 0.6213 0.1730 0.7373 0.2987 0.9883, D=diag(d) %向量产生矩阵 D = 0.7027 0 0 0 0 0 0.9568 0 0 0 0 0 0.2523 0 0 0 0 0 0.1991 0 0 0 0 0 0.9883, d=diag(a) %矩阵产生列向量 d =

11、0.7027 0.9568 0.2523 0.1991 0.9883,24,Matlab中用于产生特殊矩阵的函数,zeros(m,n) mn的零矩阵，全部元素都为0 ones(m,n) 全部元素都为1的mn的矩阵 rand(m,n) 随机矩阵 eye(m,n) 单位矩阵 magic(n) n维magic方阵 空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。,25,还有伴随矩阵、稀疏矩阵、范德蒙等矩阵的创建等等 注意：matlab严格区分大小写字母，因此a与A是两个不同的变量。 matlab函数名必须小写。,26,3 矩阵的基本数值运算,（1）矩阵加、减法运算 规则： 相加、减的两

12、矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。,27,（2） 矩阵乘（）运算 规则： A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数 例a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*b c =14 32 23 标量可与任何矩阵相乘 例 d=-1;0;2;f=pi*d f = -3.1416 0 6.2832,28,在matlab中矩阵除的运算有两种矩阵除运算,MATLAB用“/” 代表右除(常用除法)和“”左除运算。这两种运算的差别如下： 例如：2/5 表示0.4， 25 表示2.5； 对于矩阵， A/B 表示AB-1，

13、即A*inv(B)； BA 表示B-1A，即inv(B)*A。 矩阵除法可以看作矩阵乘法的逆运算,（3） 矩阵除运算,29,例左除解方程组ax=b的解 ：x=ab, a=rand(5); %产生（5*5)的均匀分布随机矩阵 b=ones(5,1); %产生全为1的5元列向量 x1=inv(a)*b x1 = -0.1734 0.5573 0.0309 0.7208 0.8147 x2=ab x2 = -0.1734 0.5573 0.0309 0.7208 0.8147,30,a p a 自乘p次幂,方阵,1的整数,（4） 矩阵乘方 an,ap,pa,对于p的其它值,计算将涉及特征值 和特征向

14、量，如果p是矩阵，a是标量 ap使用特征值和特征向量自乘到p次 幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。,31,a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2 ans =30 36 42 66 81 96 102 126 150,当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。,32,a0.5 ans = 0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i 1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i 1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0

15、.2717i,33,inv 矩阵求逆 size 矩阵的大小（行列数） det 行列式的值 eig 矩阵的特征值 rank 矩阵的秩 矩阵转置 sqrt 矩阵开方 svd矩阵的奇异值分解,（5） 矩阵的其它运算,34,（6）矩阵的一些特殊操作,矩阵的变维 a=1:12;b=reshape(a,3,4) c=zeros(3,4);c(:)=a(:) 矩阵的变向 rot90:旋转; fliplr:上翻; flipud:下翻 矩阵的抽取 diag:抽取主对角线;tril: 抽取主下三角; triu:抽取主上三角,35,2.8 数组构作技法综合,赋值扩展法 A=reshape(1:9,3,3) A =

16、1 4 7 2 5 8 3 6 9 A(5,5)=111 A = 1 4 7 0 0 2 5 8 0 0 3 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 111 A(:,6)=222 A = 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 多次寻访扩展法 AA=A(:,1:6,1:6) AA = 1 4 7 0 0 222 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0

17、 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 0 0 0 0 111 222,合成扩展法 B=ones(2,6) B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB_r=A;B AB_r = 1 4 7 0 0 222 2 5 8 0 0 222 3 6 9 0 0 222 0 0 0 0 0 222 0 0 0 0 111 222 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB_c=A,B(:,1:5) AB_c = 1 4 7 0 0 222 1 1 2 5 8 0 0 222 1 1 3 6 9 0 0 222 1 1 0 0 0 0 0 222 1 1 0

18、0 0 0 111 222 1 1,（1）数组的扩展,36,（2）单下标寻访和reshape 指令演示 clear A=reshape(1:16,2,8) 变一维数组为（28）数组 A = 1 3 5 7 9 11 13 15 2 4 6 8 10 12 14 16 reshape(A,4,4) ans = 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16 s=1 3 6 8 9 11 14 16; 定义单下标数组 A(s)=0 对元素赋值 A = 0 0 5 7 0 0 13 15 2 4 0 0 10 12 0 0,37,（3）逻辑函数的运用 R=randn(3

19、,6) R = 0.8644 0.8735 -1.1027 0.1684 -0.5523 -0.6149 0.0942 -0.4380 0.3962 -1.9654 -0.8197 -0.2546 -0.8519 -0.4297 -0.9649 -0.7443 1.1091 -0.2698 L=abs(R)1.5 % 不等式条件运算，结果给出逻辑数组 L = 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 R(L)=0 % “逻辑1”对应的元素赋0值 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 0 -0.5523 -0.6149 0 0 0 0 -0.8197

20、0 -0.8519 0 -0.9649 -0.7443 1.1091 0 s=(find(R=0) %利用find获得符合关系等式条件的元素的“单下标” s = 2 5 6 8 10 11 17 18 R(s)=111 利用“单下标”定位赋值 R = 0.8644 0.8735 -1.1027 111.0000 -0.5523 -0.6149 111.0000 111.0000 111.0000 111.0000 -0.8197 111.0000 -0.8519 111.0000 -0.9649 -0.7443 1.1091 111.0000 ii,jj=find(R=111); %利用fin

21、d获得符合关系等式条件的元素的“双下标” disp(ii),disp(jj) 2 2 3 2 1 2 2 3 1 2 2 3 4 4 6 6,38,2.9 高维数组,2.9.1 高维数组的创建 方法： 直接通过“全下标”元素赋值方法 由若干相同的低维数组合成 由函数ones,zeros,rand,randn直接创建 借助cat,repmat,reshape等函数构作,39,【例1】“全下标”元素赋值方式创建高维数组演示。 A(2,2,2)=1 A(:,:,1) = 0 0 0 0 A(:,:,2) = 0 0 0 1 B(2,5,:)=1:3 B(:,:,1) = 0 0 0 0 0 0 0

22、0 0 1 B(:,:,2) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 B(:,:,3) = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3,40,【例2】低维数组合成高维数组。 clear; A=ones(2,3);A(:,:,2)=ones(2,3)*2;A(:,:,3)=ones(2,3)*3 A(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1 A(:,:,2) = 2 2 2 2 2 2 A(:,:,3) = 3 3 3 3 3 3,41,【例3】由函数ones, zeros, rand, randn直接创建标准高维数组的示例。 rand(2,4,3) ans(:,:,1) = 0.6278 0.

23、9748 0.2585 0.6949 0.2544 0.2305 0.0313 0.1223 ans(:,:,2) = 0.4889 0.3898 0.8489 0.0587 0.9138 0.3071 0.4260 0.6331 ans(:,:,3) = 0.2802 0.2073 0.7438 0.2714 0.4051 0.2033 0.4566 0.2421,42,【例 4】借助cat, repmat, reshape等函数构作高维数组。 cat(3,ones(2,3),ones(2,3)*2,ones(2,3)*3) %第一个输入宗量填写的数字是“表示串连接方向的维数” ans(:,

24、:,1) = 1 1 1 1 1 1 ans(:,:,2) = 2 2 2 2 2 2 ans(:,:,3) = 3 3 3 3 3 3 repmat(ones(2,3),1,1,3) 第一个输入宗量是”模块数组”; 第二个输入宗量是“各维方向”铺放“模块数组”的 数目 ans(:,:,1) = 1 1 1 1 1 1 ans(:,:,2) = 1 1 1 1 1 1 ans(:,:,3) = 1 1 1 1 1 1 reshape(1:12,2,2,3) 第一个输入宗量是“待重组”的数组；第二、三、四是“行数、列数、页数” ans(:,:,1) = 1 3 2 4 ans(:,:,2) =

25、5 7 6 8 ans(:,:,3) = 9 11 10 12,43,2.9.2 高维数组的标识 （1）数组维数和ndims指令 （2）数组的大小和size指令、length指令 eg: clear; A=reshape(1:24,2,3,4); dim_A=ndims(A) %维数 size_A=size(A) %大小 L_A=length(A) %长度(等价max(size(A) dim_A = 3 size_A = 2 3 4 L_A = 4,44,2.10 “非数”和“空”数组,2.10.1 非数 NaN,根据IEEE数学标准,0/0,0/, 0* 等运算都会产生非数（ Not a Number ）。该非数在MATLAB中用NaN或nan记述。 性质： （1） NaN参与运算所得的结果也是NaN，即具有传递性 （2）非数没有大小的概念，即两个非数不能比较大小。,45,非数的功能 （1）真实记述0/0,0/,