折叠几何综合专题---16道题目(含答案)

1、01如图，将矩形abcd沿af折叠，使点d落在bc边的点e处，过点e作egcd交af于点g，连接dg.(1)求证：四边形efdg是菱形；(2)探究线段eg，gf，af之间的数量关系，并说明理由；(3)若ag6，eg2，求be的长 (1)证明：由折叠性质可得，effd，aefadf90，efadfa，eggd，egdc，dfaegf，efaegf，efegfdgd，四边形efdg是菱形；(2)解：eg2gfaf.理由如下：如解图，连接ed，交af于点h，四边形efdg是菱形，deaf，fhghgf，ehdhde，feh90efafae，fheaef90，rtfehrtfae，即ef2fhaf，又

2、fhgf，egef，eg2gfaf；(3)解：ag6，eg2，eg2afgf，(2)2(6gf)gf，解得gf4或gf10(舍)，gf4，af10.dfeg2，adbc4，de2eh28，cdedfa90，dafdfa90，cdedaf，dceadf90，rtdcertadf，即，ec，bebcec.02如图，将矩形abcd沿对角线bd对折，点c落在e处，be与ad相交于点f，若de4，bd8.(1)求证：afef；(2)求证：bf平分abd. 证明：(1)在矩形abcd中，abcd，ac90，bed是bcd对折得到的，edcd，ec，edab，ea，(2分)又afbefd，abfedf(aa

3、s)，afef；(4分)(2)在rtbcd中，dcde4，bd8，sincbd，cbd30，(5分)ebdcbd30，abf9030230，(7分)abfebd，bf平分abd.(8分) 03把一张矩形abcd纸片按如图方式折叠，使点a与点e重合，点c与点f重合（e、f两点均在bd上），折痕分别为bh、dg。（1）求证：bhedgf；（2）若ab6cm，bc8cm，求线段fg的长。【解答】解：（1）四边形abcd是矩形，ab=cd，a=c=90，abd=bdc，beh是bah翻折而成，1=2，a=heb=90，ab=be，dgf是dgc翻折而成，3=4，c=dfg=90，cd=df，beh与d

4、fg中，heb=dfg，be=df，2=3，behdfg，（2）四边形abcd是矩形，ab=6cm，bc=8cm，ab=cd=6cm，ad=bc=8cm，bd= = =10，由（1）知，bd=cd，cg=fg，bf=10-6=4cm，设fg=x，则bg=8-x，在rtbgf中，bg2=bf2+fg2，即（8-x）2=42+x2，解得x=3，即fg=3cm【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键04把一张矩形纸片abcd按如图方式折叠，使顶点b和顶点d重合

5、，折痕为ef若bf=4，fc=2，则def的度数是考点：翻折变换（折叠问题）。专题：计算题。分析：根据折叠的性质得到df=bf=4，bfe=dfe，在rtdfc中，根据含30的直角三角形三边的关系得到fdc=30，则dfc=60，所以有bfe=dfe=（18060）2，然后利用两直线平行内错角相等得到def的度数解答：解：矩形纸片abcd按如图方式折叠，使顶点b和顶点d重合，折痕为ef，df=bf=4，bfe=dfe，在rtdfc中，fc=2，df=4，fdc=30，dfc=60，bfe=dfe=（18060）2=60，def=bfe=60故答案为60点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图

6、形全等，即对应角相等，对应线段相等也考查了矩形的性质和含30的直角三角形三边的关系05如图，在矩形abcd中，ab=8，bc=16，将矩形abcd沿ef折叠，使点c与点a重合，则折痕ef的长为（）a6b12c2d4考点：翻折变换（折叠问题）分析：设be=x，表示出ce=16x，根据翻折的性质可得ae=ce，然后在rtabe中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得aef=cef，根据两直线平行，内错角相等可得afe=cef，然后求出aef=afe，根据等角对等边可得ae=af，过点e作ehad于h，可得四边形abeh是矩形，根据矩形的性质求出eh、ah，然后求出fh，再利用勾股定理列

7、式计算即可得解解答：解：设be=x，则ce=bcbe=16x，沿ef翻折后点c与点a重合，ae=ce=16x，在rtabe中，ab2+be2=ae2，即82+x2=（16x）2，解得x=6，ae=166=10，由翻折的性质得，aef=cef，矩形abcd的对边adbc，afe=cef，aef=afe，ae=af=10，过点e作ehad于h，则四边形abeh是矩形，eh=ab=8，ah=be=6，fh=afah=106=4，在rtefh中，ef=4故选d点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出be的长度是解题的关键，也是本题的突破口06如图

8、，将矩形纸片abcd折叠，使边ab、cd均落在对角线bd上，得折痕be、bf，则ebf=第1题图分析：根据四边形abcd是矩形，得出abe=ebd=abd，dbf=fbc=dbc，再根据abe+ebd+dbf+fbc=abc=90，得出ebd+dbf=45，从而求出答案解答：解：四边形abcd是矩形，根据折叠可得abe=ebd=abd，dbf=fbc=dbc，abe+ebd+dbf+fbc=abc=90，ebd+dbf=45，即ebf=45，故答案为：45点评：此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的，再进行计算，是一道基础题07如图，将矩形abcd沿ef折叠，

9、使顶点c恰好落在ab边的中点c上若ab=6，bc=9，则bf的长为（）a4b3c4.5d5考点：翻折变换（折叠问题）分析：先求出bc，再由图形折叠特性知，cf=cf=bcbf=9bf，在直角三角形cbf中，运用勾股定理bf2+bc2=cf2求解解答：解：点c是ab边的中点，ab=6，bc=3，由图形折叠特性知，cf=cf=bcbf=9bf，在直角三角形cbf中，bf2+bc2=cf2，bf2+9=（9bf）2，解得，bf=4，故选：a点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高同时也考查了列方程求解的能力解题的关键是找出线段的关系08如图，将矩形abcd沿ce向上折叠，使点b落在

10、ad边上的点f处若ae=be，则长ad与宽ab的比值是 考点：翻折变换（折叠问题）分析：由ae=be，可设ae=2k，则be=3k，ab=5k由四边形abcd是矩形，可得a=abc=d=90，cd=ab=5k，ad=bc由折叠的性质可得efc=b=90，ef=eb=3k，cf=bc，由同角的余角相等，即可得dcf=afe在rtaef中，根据勾股定理求出af=k，由cosafe=cosdcf得出cf=3k，即ad=3k，进而求解即可解答：解：ae=be，设ae=2k，则be=3k，ab=5k四边形abcd是矩形，a=abc=d=90，cd=ab=5k，ad=bc将矩形abcd沿ce向上折叠，使点

11、b落在ad边上的点f处，efc=b=90，ef=eb=3k，cf=bc，afe+dfc=90，dfc+fcd=90，dcf=afe，cosafe=cosdcf在rtaef中，a=90，ae=2k，ef=3k，af=k，=，即=，cf=3k，ad=bc=cf=3k，长ad与宽ab的比值是=故答案为点评：此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义解此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用09如图，已知在矩形abcd中，点e在边bc上，be=2ce，将矩形沿着过点e的直线翻折后，点c、d分别落在边bc下方的点c、d处，且点c、d、b在同一条直线上，折痕与边ad交于点f，df与be交

12、于点g设ab=t，那么efg的周长为2t（用含t的代数式表示）考点：翻折变换（折叠问题）分析：根据翻折的性质可得ce=ce，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半判断出ebc=30，然后求出bgd=60，根据对顶角相等可得fge=bgd=60，根据两直线平行，内错角相等可得afg=fge，再求出efg=60，然后判断出efg是等边三角形，根据等边三角形的性质表示出ef，即可得解解答：解：由翻折的性质得，ce=ce，be=2ce，be=2ce，又c=c=90，ebc=30，fdc=d=90，bgd=60，fge=bgd=60，adbc，afg=fge=60，efg=（180afg）=（

13、18060）=60，efg是等边三角形，ab=t，ef=t=t，efg的周长=3t=2t故答案为：2t10如图，将矩形abcd沿bd对折，点a落在e处，be与cd相交于f，若ad=3，bd=6（1）求证：edfcbf；（2）求ebc（第1题图）考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得de=bc，e=c=90，对顶角dfe=bfc，利用aas可判定defbcf；（2）在rtabd中，根据ad=3，bd=6，可得出abd=30，然后利用折叠的性质可得dbe=30，继而可求得ebc的度数解答：（1）证明：由折叠的性质可得：de=bc

14、，e=c=90，在def和bcf中，defbcf（aas）；（2）解：在rtabd中，ad=3，bd=6，abd=30，由折叠的性质可得；dbe=abd=30，ebc=903030=30点评：本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键11如图，在矩形abcd中，点e，f分别在边ab，bc上，且ae=ab，将矩形沿直线ef折叠，点b恰好落在ad边上的点p处，连接bp交ef于点q，对于下列结论：ef=2be；pf=2pe；fq=4eq；pbf是等边三角形其中正确的是（）abcd解答：解：ae=ab，be=2ae，由翻折的性质得，pe=be，ape=30，

15、aep=9030=60，bef=（180aep）=（18060）=60，efb=9060=30，ef=2be，故正确；be=pe，ef=2pe，efpf，pf2pe，故错误；由翻折可知efpb，ebq=efb=30，be=2eq，ef=2be，fq=3eq，故错误；由翻折的性质，efb=bfp=30，bfp=30+30=60，pbf=90ebq=9030=60，pbf=pfb=60，pbf是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是故选d点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关

16、键12已知矩形abcd的一条边ad=8，将矩形abcd折叠，使得顶点b落在cd边上的p点处（第6题图）（1）如图1，已知折痕与边bc交于点o，连结ap、op、oa求证：ocppda；若ocp与pda的面积比为1：4，求边ab的长；（2）若图1中的点p恰好是cd边的中点，求oab的度数；（3）如图2，擦去折痕ao、线段op，连结bp动点m在线段ap上（点m与点p、a不重合），动点n在线段ab的延长线上，且bn=pm，连结mn交pb于点f，作mebp于点e试问当点m、n在移动过程中，线段ef的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段ef的长度解答：解：（1）如图1，四边形abcd是矩形

17、，ad=bc，dc=ab，dab=b=c=d=90由折叠可得：ap=ab，po=bo，pao=baoapo=bapo=90apd=90cpo=pocd=c，apd=pococppdaocp与pda的面积比为1：4，=pd=2oc，pa=2op，da=2cpad=8，cp=4，bc=8设op=x，则ob=x，co=8x在rtpco中，c=90，cp=4，op=x，co=8x，x2=（8x）2+42解得：x=5ab=ap=2op=10边ab的长为10（2）如图1，p是cd边的中点，dp=dcdc=ab，ab=ap，dp=apd=90，sindap=dap=30dab=90，pao=bao，dap=

18、30，oab=30oab的度数为30（3）作mqan，交pb于点q，如图2ap=ab，mqan，apb=abp，abp=mqpapb=mqpmp=mqmp=mq，mepq，pe=eq=pqbn=pm，mp=mq，bn=qmmqan，qmf=bnf在mfq和nfb中，mfqnfbqf=bfqf=qbef=eq+qf=pq+qb=pb由（1）中的结论可得：pc=4，bc=8，c=90pb=4ef=pb=2在（1）的条件下，当点m、n在移动过程中，线段ef的长度不变，长度为213如图，正方形abcd的边长是16，点e在边ab上，ae=3，点f是边bc上不与点b、c重合的一个动点，把ebf沿ef折叠，

19、点b落在b处，若cdb恰为等腰三角形，则db的长为 .efcdba第15题b 【分析】若cd恰为等腰三角形，判断以cd为腰或为底边分为三种情况：db=dc；cb=cd；cb=db，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解.16或【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想.根据题意，若cd恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若db=dc时，则db=16（易知点f在bc上且不与点c、b重合） ；（2）当cb=cd时，eb=eb，cb=cb点e、c在bb的垂直平分线上，ec垂直平分bb，由折叠可知点f与点c重合，不符合题意，舍去；（3）如解图，当cb=db时，作bgab与点g，交cd于点h.abcd，bhcd，cb=db，dh=cd=8，ag=dh=8，ge=agae=5，在rtbeg中，由勾股定理得bg=12，bh=ghbg=4.在rtbdh中，由勾股定理得db=，综上所述db=16或.14如图， 矩形中，ab=8，bc=6，p为ad上一点，将abp 沿bp翻折至ebp， pe与cd相交于点o，且oe=od，则ap的长为 【答案】.【考点】翻折变换（折叠问题）；