高一上学期(必修1、4)数学知识点总结

1、一、集合与元素1、 集合与元素概念一般，我们把研究对象称为元素，把元素组成的总体叫集合2、 集合的三种特性（1） 确定性。一个元素a与集合A的关系，要么，要么，两者必居其一，并且只居其一；（2） 互异性。就是指集合中的所有的元素彼此都不相同；（3） 无序性。集合中的元素可以随意排列顺序。3、 集合的表示方法（1） 语言描述法。比如集合用语言描述法表示为“小于10的正奇数组成的集合”（2） 列举法。例如、（3） 描述法。将集合中所有元素的共有特性用数学语言表示出来。例如或者4、 常用数集的简称（1） 自然数集（非负整数集），记为N；（注意集合N中的元素为0，1，2，3，4，5，.）（2） 正整数

2、集，记为；（注意集合中的元素为1，2，3，4，5，.）（3） 整数集，记为Z；（4） 有理数集，记为Q；（5） 实数集，记为R； 5、 集合的形式有数的集合、点的集合、集合的集合（其中数的集合、点的集合常用）6、子集：对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，那么称集合A为集合B的子集，记为（或）7、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为。注意，空集是任何集合的子集8、子集的性质：任何一个集合都是它自身的子集若9、真子集：若集合，且，那么集合A是集合B的真子集，记为AB。 注意空集是任何非空集合的真子集10、元素与集合的关系有“属于”与“不属于”这两种，用符号表示11、集

3、合与集合的关系有“包含”、“不包含”这两种，用符号、表示； 其中“包含”有“真包含”和“相等”两种，用符号、=13、并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号表示14、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号表示2、 函数概念一、映射（一）映射：设、是两个非空集合，如果按照某种对应法则,对中的任意一个元素，在中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合到集合的映射记为：， 这时称是在映射的作用下的象，记作，于是称作的原象 集合叫做映射的定义域（函数定义域的推广），所有象构成的集合叫做映射的值域，记作注：1一对一、

4、多对一是映射，一对多不是映射2集合中的元素一定有象，集合中的元素不一定有原象（二）一一映射：如果是到的一个映射，并且对于集合中的任意一个元素，在集合中有且只有一个原象（三）映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射函数是数集到数集的映射二、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则 注：分段函数是一个函数 分段函数的定义域是自变量的取值区间的并集，值域是各个区间对应的值域的并集 解决分段函数的重要策略就是分类讨论三、函数的单调性1.增函数：一般地，设函数的定义域为，区间如果取区间中的任意两个，若，则称函数在区间上是增函数2.减函数：一般地，设函数的定义域为，区间如

5、果取区间中的任意两个，若，则称函数在区间上是减函数3.对勾函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；一般地，对勾函数在区间上为增函数，在区间上为减函数；4.对于复合函数，其中称为外函数，称为内函数 当内外函数单调性相同时，为增函数; 当内外函数单调性相反时，为减函数 5.设 ，那么 当 ，则 在 上是 增函数； 当 ，则 在 上是减函数 1.奇函数与偶函数的定义:设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为偶函数。设y=f(x)，xA，如果对于任意A，都有，则称y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数y=具有奇偶性。2.性质：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关

6、于原点对称，y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，3. 函数对称的性质（课本以外）（1）针对一个函数的对称性若，则函数的图象关于直线对称若，则函数的图象关于直线对称若，则函数的图象关于直线对称（2）针对两个函数的对称性函数与函数的图象关于直线对称4. 函数周期性若，则函数的周期若，则函数的周期若，则函数的周期若，则函数的周期1、指数函数定义一般地，函数叫做指数函数2、指数函数图象与性质图象定义域值域性质（1）过定点，即时，（2

7、）在上是减函数（2）在上是增函数（3）时，时，（3）时，时，（4）对于同一个，与的图象关于轴对称（5）接近于，越靠近轴（5）越大，越靠近轴3、有关指数运算公式； ； ； 我们规定，正分数指数幂可以定义为；（且为既约分数）负整数指数幂可以定义为（且为既约分数）一、对数的概念1. 对数的概念：如果（，），那么b叫做以a为底N的对数，记作 （，）2. 对数恒等式： 3. 常用对数：以为底的对数叫做常用对数为了简便，通常把底10略去不写，并把写成，即把记做4. 自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数以为底的对数叫做自然对数通常记作二、对数的运算 （，） ，三、对数函数的概念：一般地，我们把

8、函数（，）叫做对数函数图象定义域值域性质（1）函数图象过定点，即当时，（2）在上是减函数（2）在上是增函数（3）当时，；当时，（3）当时，；当时，（4）与关于轴对称。（5）越接近于，图象越靠近轴（5）越大，图象越靠近轴四、指数函数与对数函数的关系1反函数的概念：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量我们称这两个函数互为反函数 函数的反函数通常用表示2指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称一、幂函数的定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中是常数二、幂函数的图象函数；的图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数

9、奇函数单调性单调递增在上减在上增单调递增单调递增在和上单调递减公共点图象所在象限一、三一、二一、三一一、三三、幂函数的性质（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在上是增函数；（3）时，幂函数在上是减函数；在第一象限内，图象向上与轴无限地接近，向右与轴无限地接近（4）任何幂函数图象都不经过第四象限；（5）任何两个幂函数的图象最多有三个交点（6）任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点；（7）作幂函数的图象时： 将第一象限的图象作出，如下图所示，遵循8字诀窍“正抛负双，大竖小横” 再根据幂函数的奇偶性，将第二或者第三象限的图象作出一、函数的零点1 函数

10、零点的概念一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则实数叫做这个函数的零点2 函数零点的意义函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3 零点存在判定定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函数 在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的根二、二分法1 二分法：求函数零点的近似值的一种方法2 二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间上，求它在上的一个零点的近似值，使它满足给定的精确度第一步 在内取一个闭区间，使与异号，即零点位于区间中第二步 取区间的中点，则此中点对应的坐标为计算和，并判断：（1）如果，则就

11、是的零点，计算终止； （2）如果，则零点位于区间中， 令； （3）如果，则零点位于区间中， 令继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止2、 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角了解象限角和轴线角的表示方法。3、与角终边相同的角的集合为4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度5、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是6、弧度制与角度制的换算公式：，7、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，Pvx y A O M T 8、设

12、是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，9、三角函数线：，10、 同角三角函数的基本关系： ；11、函数的诱导公式： ， 口诀：奇变偶不变，符号看象限二、由的图象变换到的图象的方法方法：将的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象方法：将的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象

13、上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象（一）两角和与差的正弦、余弦和正切公式；（）；（）（二）二倍角的正弦、余弦和正切公式，(三）万能公式，其中平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量2、数量：只有大小，没有方向的量3、有向线段的三要素：起点、方向、长度4、零向量：长度为的向量5、单位向量：长度等于个单位的向量6、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行7、相等向量：长度相等且方向相同的向量8、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：9、 运算性质：交换律：；结合律：；10、坐标运算：设，则11、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设，则设、两点的坐标分别为，则12、向量数乘运算：实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，运算律：；坐标运算：设，则13、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使设，其中，则当且仅当时，向量、共