高一寒假尖端班.第4讲.数列综合

1、第4讲数列综合内容层次要求数列数列的概念与表示B理解数列的概念，掌握数列的表示等差数列与等比数列的概念B理解等差数列的概念理解等比数列的概念等差与等比数列的通项与前项和公式C掌握等差数列的通项公式与前项和公式掌握等差数列的一些性质数列求和C掌握非等差、等比数列的几种求法求数列的通项C掌握非等差、等比数列通项的几种求法一、数列求通项的常用方法1.数列的通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第项（首项），第项，第项数列的一般形式可以写成：或简记为，其中是数列的第项，又称为数列的通项2.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个函数式来表示，则称这个公式为这个数列

2、的通项公式3.数列的递推公式：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项与它的前一项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式例如，给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法4.数列求通项的常用方法：1 用观察法（不完全归纳法）求数列的通项2 运用公式法求等差（等比）数列的通项公式3 已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）4 已知数列前项之积，一般可求，则（注意：不能忘记讨论）5 递推公式为，只要是可求的，就可以用累加法求6 递推公式是（ ）数列前项积可求，可用累乘法求7 已知数列的递推关系，研究与的关系式的特点，可以通过

3、变形构造新数列可求通项公式二、数列求和的常用方法 求和公式直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及整数的平方和、立方和公式.其相关公式有：（1）等差数列的前N项和： （2）等比数列的前N项和： （3）（4）【备注】公比含字母时一定要讨论；无穷递缩等比数列时，； 倒序相加等差数列前N项和公式的推导：设 ，倒序得：相加得：，由等差数列的性质，得， 错位相减法：针对数列或的数列求和应用此法，其中是等差数列，是等比数列. 裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项：（1） ，；（2） ；（3），； ；（4）若是公差为的等差数列，则；（5） 分组求和：把数列的每一项分成

4、若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.运用分组求和求等差数列的前N项和：=数列求通项【例1】 已知数列的前项和，求【例2】 已知数列的前项和为（为正整数）(1)求，；(2)求数列的通项公式【例3】 已知数列； 若满足，求 若满足 ，求【例4】 已知,则数列的通项公式( ) A. B. C. D. 【例5】 已知数列，()，写出这个数列的前4项，并根据规律，写出这个数列的一个通项公式.【例6】 已知数列满足，求数列的通项公式【例7】 已知数列满足，求通项【例8】 根据递推公式写出数列的通项公式：，【例9】 已知，求。【例10】 已知数列满足，求数列的通项公式数列求和【例1】 若函数对任意都有

5、。（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列的的前项和。【例2】 已知数列，求前 项和。【例3】 设等差数列的前项和，在数列中，（）求数列和的通项公式；（）设，求数列前项和【例4】 已知等比数列中，.（）若为等差数列，且满足，求数列的通项公式;（）若数列满足,求数列的前项和. 【例5】 已知数列的前项和，。 （I）求数列的通项公式； （II）记，求。【例6】 求 【例7】 在等比数列中，且，是和的等差中项.（I）求数列的通项公式；（II）若数列满足（），求数列的前项和. 1、（2012大纲全国）已知数列中，前项和（）求，；（）求的通项公式2、（2013北京大兴一模）已知数列中，数列

6、的前项和为，则_1、设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和2、已知数列中，（常数），对任意的正整数，并且（）求的值（）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，请说明理由3、某企业去年的纯利润为万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测今年起每年比上一年纯利润减少万元今年初该企业一次性投入资金万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）；设从今年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（需扣除技术改造资金）（）求、的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改