自动控制原理自学课件第二章 控制系统的数学模型

1、2-3 线性系统的传递函数线性系统的传递函数 控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。 控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但是当系统的参数或 结构形式发生变化时，微分方程及其解都会同时变化 ，需要重新列写微分方程和求解微分方程，不便于对 但是当系统的参数或 结构形式发生变化时，微分方程及其解都会同时变化 ，需要重新列写微分方程和求解微分

2、方程，不便于对 系统进行分析与研究。系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。 础上建立起来的。 1 一、传递函数的定义 一、传递函数的定义

3、 线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。 若线性定常系统的微分方程标准形式为 若线性定常系统的微分方程标准形式为 在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得 在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得 )( )()()( )( )()()( 01 1 1 1 01 1 1 1 trb dt tdr b dt trd b dt trd b tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a m m m m m m n n n n n n )( )(

4、 01 1 1 01 1 1 sRbsbsbsb sCasasasa m m m m n n n n 2 根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传递 函数为 可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的 。 根据传递函数的定义，描述该线性定常系统的传递 函数为 可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出的 。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下 图表示，输出是由输入经过 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用下 图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的，因此 称 的传递而得到的，因此 称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条件下定为传递函数。因为传递函数是在

5、零初始条件下定 义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征系统的动 态性能。 义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征系统的动 态性能。 )502( )( )( )( 01 1 1 01 1 1 asasasa bsbsbsb sR sC sG n n n n m m m m 3 二、传递函数的性质二、传递函数的性质 从线性定常系统传递函数的定义可知，传递函数 具有以下性质： 从线性定常系统传递函数的定义可知，传递函数 具有以下性质： 1.传递函数的定义只适用于线性定常系统。传递函数的定义只适用于线性定常系统。 2.传递函数是在初始条件为零时定义的。控制系统 的初始条件为零有两个含义： 传递函数

6、是在初始条件为零时定义的。控制系统 的初始条件为零有两个含义： 一一是指输入量是在时间是指输入量是在时间t=0-以后才作用于系统。 因此，系统输入量及其各阶导数在 以后才作用于系统。 因此，系统输入量及其各阶导数在t=0-时的值均为零 ； 时的值均为零 ； 二二是指输入量作用于系统之前，系统是相对静止 的。因此，系统输出量及其各阶导数在 是指输入量作用于系统之前，系统是相对静止 的。因此，系统输出量及其各阶导数在t=0-时的值也时的值也 为零。为零。 4 3.传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理分式函数，它具有复变函 数的所有性质。 的有理分式函数，它具有复变函 数的所有性质。其分子和分母

7、多项式的系数均为实数，其分子和分母多项式的系数均为实数， 都是由系统的物理参数决定的都是由系统的物理参数决定的。其分子多项式的阶次。其分子多项式的阶次m 低于或等于分母多项式的阶次低于或等于分母多项式的阶次n，即，即mn。这是因为系 统（或元部件）具有惯性的缘故，即能量不能突变。 。这是因为系 统（或元部件）具有惯性的缘故，即能量不能突变。 4.传递函数是描述系统（或元部件）动态特性的一种数传递函数是描述系统（或元部件）动态特性的一种数 学表达式，它学表达式，它只取决于系统（或元部件）的结构和参数只取决于系统（或元部件）的结构和参数 ，而，而与输入量和输出量的形式和大小无关与输入量和输出量的形

8、式和大小无关。并且传递函。并且传递函 数只反映系统的动态特性，而不反映系统物理性能上的数只反映系统的动态特性，而不反映系统物理性能上的 差异，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数 。在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出 差异，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数 。在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出 时，其传递函数一般也不相同。时，其传递函数一般也不相同。 5 5.传递函数与微分方程之间的关系。传递函数与微分方程之间的关系。 dt d S 微分方程传递函数如果将如果将 置换置换 01 2 2 01 asasa bsb sR sC sG sRbsbsCasasa

9、 0101 2 2 trb dt tdr btca dt tdc a dt tcd a 0101 2 2 2 6 6 传递函数传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应的拉氏反变换是脉冲响应 g(t) 脉冲响应（也称脉冲过渡函数）脉冲响应（也称脉冲过渡函数）g(t)是系统在单 位脉冲 是系统在单 位脉冲 输入时的输出响应，此时：输入时的输出响应，此时： 由卷积定理可知，对于任意输入由卷积定理可知，对于任意输入r(t)的响应的响应c(t)，有：，有： t 1tLsR tt t dgtrdtgr dtgrLL sRsGLsCLtc 00 0 1 11 tgsGLsRsGLsCLtc 111 g(t)=

10、L-1G(s)为系统的脉冲响应为系统的脉冲响应 见见P31卷积定理卷积定理 7 为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积，为了方便，常把传递函数分解为一次因式的乘积， 式（式（2-51）中的）中的K常称为传递函数的增益或传递系数 的放大系数。式（ 常称为传递函数的增益或传递系数 的放大系数。式（2-52）中）中zj(j=1,2,m)为分子多项为分子多项 式的根，称为传递函数的零点。式的根，称为传递函数的零点。pi(i=1,2,n)为分母 多项式的根，称为传递函数的极点。 为分母 多项式的根，称为传递函数的极点。 )522( )( )( )()( )()( )( )512( ) 1( ) 1(

11、 ) 1() 1)(1( ) 1() 1)(1( )( 1 1 21 21 1 1 21 21 n i i m j jr n mr n i i m j j n m ps zsK pspsps zszszsK sG sT sK sTsTsT sssK sG 或 8 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数 ，由于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数， 故若有复数零、极点时，它们必是 传递函数的零、极点可以是实数或零，也可以是复数 ，由于传递函数分子、分母多项式的系数都是实数， 故若有复数零、极点时，它们必是成对共轭成对共轭的。的。 传递函数的分母多项式就是相应微分方程式（传递函数的分母多

12、项式就是相应微分方程式（2- 49）的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得）的特征多项式，令该分母多项式等于零，就可得 到相应微分方程的特征方程。在特征方程中，到相应微分方程的特征方程。在特征方程中，s的最 高阶次等于输出量最高阶导数的阶次，如果 的最 高阶次等于输出量最高阶导数的阶次，如果s的最高 阶次等于 的最高 阶次等于n，这种系统就称为，这种系统就称为n阶系统。阶系统。 )492()( )()()( )( )()()( 01 1 1 1 01 1 1 1 trb dt tdr b dt trd b dt trd b tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a m

13、m m m m m n n n n n n 9 )( )( )( )( )( 01 1 1 01 1 1 sD sN asasasa bsbsbsb sR sC sG n n n n m m m m 运动模态）决定系统响应的类型（ 它们是）传递函数的极点特征方程的根等于（就 式特征方程 , 0)( 01 1 1 j n n n n p asasasasD )()()()( )()()()( 01 1 1 1 01 1 1 1 trbtr dt d btr dt d btr dt d b tcatc dt d atc dt d atc dt d a m m m m m m n n n n n n

14、 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： 式中式中c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。是系统输入量，参数是常系数。 状它们决定系统响应的形传递函数的零点, i z 10 1 传递函数传递函数G(s)的极点对输出的影响的极点对输出的影响 21 36 ss s sR sC sG 5 21 5 21 s r s r sRerrtr TLt. 传函： 输入： 响应： 传函： 输入： 响应： ttt errerrerr s r s r ss s LsCLtc 2 2112 5 21 21 11 231239 521 36

15、 前两项具有与输入函数前两项具有与输入函数r(t)相同的模态，后两项包含了 由极点 相同的模态，后两项包含了 由极点-1和和-2形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成 分，但其系数却与输入函数有关，因此可认为这两项是受 形成的自由运动模态。这是系统“固有”的成 分，但其系数却与输入函数有关，因此可认为这两项是受 输入函数激发而形成的。这意味着传递函数的极点可以受输入函数激发而形成的。这意味着传递函数的极点可以受 输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。 11 )( . )( )( )()( )( . )( )( )( )()( )( )

16、( 21 251 21 24 21 251 21 24 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sss s Ltc sss s LsCLtc ss s sR sC sG ss s sR sC sG j 0 -1-2 -1 1 -0.5-1.33 Z1Z2 极点和零点分布图极点和零点分布图 2 传递函数传递函数G(s)的零点对输出的影响的零点对输出的影响 r(t)=1 0 1 23 4 5 t c(t) tt eetc 2 2 5 . 05 . 01)( tt eetc 2 1 321)( r(t)=1 0 1 23 4 5 t c(t) tt eetc 2 2 5 . 05 . 01)( tt

17、 eetc 2 1 321)( 输出响应输出响应 传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但是却影响在响 应中各模态所占比重，因而也就影响响应曲线的形状。 传递函数的零点并不形成自由运动的模态，但是却影响在响 应中各模态所占比重，因而也就影响响应曲线的形状。 单位阶跃响应：单位阶跃响应： 12 一个物理系统是由许多元件组合而成的， 虽然元件的结构和工作原理多种多样，但若考 察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种 一个物理系统是由许多元件组合而成的， 虽然元件的结构和工作原理多种多样，但若考 察其数学模型，却可以划分成为数不多的几种 基本类型，称之为典型环节。这些环节是基本类型，称之为典型环节。

18、这些环节是比例 环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分 环节和滞后环节。 比例 环节、惯性环节、积分环节、振荡环节、微分 环节和滞后环节。 13 如果将传函写成上式，可以看出具有以下几种典型环节：如果将传函写成上式，可以看出具有以下几种典型环节： h j hn j jjjj l i s lm i iiii sTsTsTs esssK sR sC sG 1 )( 2 1 1 22 1 )( 2 1 1 22 ) 12() 1( ) 12() 1( )( )( )( 比例环节比例环节 K 微分环节微分环节 s 积分环节积分环节 1/s 惯性环节惯性环节 1/(Ts+1) 振荡环节振荡环节 一阶微

19、分环节一阶微分环节 二阶微分环节二阶微分环节 滞后环节滞后环节 )12(1 22 TssT 1s 12 22 ss s e 14 )()(tKrtc K sR sC sG )( )( )( 15 在上图中，运算放大器具有很大的开环放大系数，且 其输入电流很小，可以忽略，因此 在上图中，运算放大器具有很大的开环放大系数，且 其输入电流很小，可以忽略，因此 A 点对地电位近似 为零，于是有 点对地电位近似 为零，于是有i0=i1=ur/R0，而电压，而电压uc又近似等于又近似等于R1两端两端 电压，故有电压，故有 - + A i0 R0 R1 i1 ur uc rrc cr Kuu R R u R

20、 u R u 0 1 10 或 无限大的输入阻抗（理想的 运算放大器输入端不容许任 何电流流入 无限大的输入阻抗（理想的 运算放大器输入端不容许任 何电流流入 ） 趋近于零的输出阻抗 ） 趋近于零的输出阻抗 16 下图为一测速发电机，在不计所接负载的影 响时，其输出端电压 下图为一测速发电机，在不计所接负载的影 响时，其输出端电压u与输入转速与输入转速n的关系为的关系为 u=Kn 式中式中K为测速发电机的比例系数为测速发电机的比例系数 u n 17 2.惯性环节惯性环节 惯性环节又称非周期环节，其输入、输出之间的 微分方程为 惯性环节又称非周期环节，其输入、输出之间的 微分方程为 式中式中T为

21、时间常数，为时间常数，K为比例系数为比例系数 惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化， 存在时间上延迟，时间常数存在时间上延迟，时间常数T愈大惯性愈大，延迟时间 也愈长，时间常数 愈大惯性愈大，延迟时间 也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。表征了该环节的惯性。 )562( 1)( )( )( )552()()( )( Ts K sR sC sG tKrtc dt tdc T 传递函数为 18 若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号 ，则有 若在零初始条件下对惯性环节输入单位阶跃信号 ，则有 可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数 函数变

22、化的。当t= 可见，在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数 函数变化的。当t=3T4T时，输出才能接近其稳态值 。如下图所示 时，输出才能接近其稳态值 。如下图所示 ) 1 11 ( 1 1 )()()( T s s K sTs K sRsGsC )1 ()( 1 T t eKsCLtc 由拉氏反变换得 19 例例1 对由对由RC元件组成的无源网络，其传函可由两种方式获得元件组成的无源网络，其传函可由两种方式获得 先写微分方程，再进行先写微分方程，再进行L.T，整理可得，整理可得 用复阻抗直接求得用复阻抗直接求得 dt du ciidt c u uuRi c c c 1 uu dt du R

23、C c c sUsURCs c 1 2.2. U Cs R Cs U c 1 1 1 1 1 1 TsRCsU U sG c 复阻抗计算：复阻抗计算：CsCLsLRR1, 20 图示的直流电机的激磁电路中，当以激磁电压 图示的直流电机的激磁电路中，当以激磁电压 uf 为输入量、以激磁电流 为输入量、以激磁电流 if 为输出量时，其 电路方程为 为输出量时，其 电路方程为 式中 为激磁绕组的电磁时间常数。式中 为激磁绕组的电磁时间常数。 f f f f ffff f f u R i dt di uiR dt di L 1 或 f f f R L uf Rf Lf if 1 1 s R sU sI

24、 sG f f f f 21 例例:说明负载效应说明负载效应 两环节串连，若后一环节的运行状态影响前一环节的输出，则说明两 环节间存在“负载效应”（又称单向性原则）。对实际存在的负载效 应，不能将串连环节的传函相乘。 两环节串连，若后一环节的运行状态影响前一环节的输出，则说明两 环节间存在“负载效应”（又称单向性原则）。对实际存在的负载效 应，不能将串连环节的传函相乘。要求后级网络的输入阻抗足够大， 或要求前级网络的输出阻抗趋于 要求后级网络的输入阻抗足够大， 或要求前级网络的输出阻抗趋于0，或在两级网络之间接入隔离放大器。，或在两级网络之间接入隔离放大器。 tuituc 1 R 1 C t

25、i tuo 2 R 2 Cti2 ti1 dti C u dti C iRdtii C dtii C iRu o i 2 2 2 2 2221 1 21 1 11 1 11 1 1 1 212211 2 2121 sCRCRCRsCCRR sG 1 1 2211 2 2121 21 sCRCRsCCRR sGsGsG 22 3.积分环节积分环节 积分环节的微分方程是积分环节的微分方程是 式中式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，而，称为积分环节的放大系数，而T称为积 分时间常数。 称为积 分时间常数。 积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。 由式（ 积分环节的输出量是与其输入量的积分成

26、比例的。 由式（2-58）求得积分环节的单位阶跃响应为）求得积分环节的单位阶跃响应为 c(t)=L-1C(s)=L-1K/s2Kt 单位阶跃响应的斜率为单位阶跃响应的斜率为 K， 如右图所示。如右图所示。 )582()( 1 )()( )572()( )( dttr T dttrtc tKr dt tdc 或 )592( 1 )( )( )( Tss K sR sC sG传递函数为 K 23 下图给出了积分环节的实例。下图给出了积分环节的实例。 在图在图(a)中，因为中，因为 而输出电压而输出电压uc近似等于电 容两端电压，所以有 近似等于电 容两端电压，所以有 在图在图(b)中，以电动机的转

27、速中，以电动机的转速n(转转/分分)为输入量，以减 速齿轮带动负载运动的轴的角位移为输出量，可得 为输入量，以减 速齿轮带动负载运动的轴的角位移为输出量，可得 积分方程积分方程 式中式中T为考虑转速、转角单位关系的常数。为考虑转速、转角单位关系的常数。 R u ii r c dtu RC dti c u rcc 11 dttn T t)( 1 )( - + R ur uc (a) i ic C (b) n ur 24 4.振荡环节4.振荡环节 振荡环节的微分方程是振荡环节的微分方程是 式中式中T为时间常数，为阻尼比，对振荡环节有 0 1 当输入为单位阶跃函数时， 可用拉氏变换求得环节的输出 为

28、时间常数，为阻尼比，对振荡环节有 0 1 当输入为单位阶跃函数时， 可用拉氏变换求得环节的输出 响应，如右图所示响应，如右图所示 )()()( )()( 6022 2 2 2 tKrtc dt tdc T dt tcd T )( )( )( )(612 12 22 TssT K sR sC sG 传递函数为 25 下图给出振荡环节的实例。下图给出振荡环节的实例。 图图(a)中，输出电压中，输出电压uc 和输入电压和输入电压ur 之间的微分方程为之间的微分方程为 图图(b)中，输出位移中，输出位移y(t)与输入作用力与输入作用力F(t)之间的微分方程为之间的微分方程为 可见它们都是典型的振荡环节

29、。可见它们都是典型的振荡环节。 rc cc uu dt du RC dt ud LC 2 2 )( 1 )( )()( 2 2 tF k ty dt tdy k f dt tyd k m R L C ur uc (a) F(t) K m f y(t) (b) 26 5.微分环节5.微分环节 理想微分环节的微分方程为 式中 理想微分环节的微分方程为 式中 为微分时间常数。 理想微分环节在瞬态过程中其输出量是输入量的微商 ，该环节的数学运算是微分运算。 理想微分环节的 为微分时间常数。 理想微分环节在瞬态过程中其输出量是输入量的微商 ，该环节的数学运算是微分运算。 理想微分环节的单位阶跃响应单位阶

30、跃响应为 这是一个强度为 为 这是一个强度为 的理想脉冲。的理想脉冲。 在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。 )622( )( )( dt tdr tc )632( )( )( )(s sR sC sG传递函数为 )( )( )(t dt tdr tc 27 下图给出了微分环节的实例。 下图给出了微分环节的实例。 在图( 在图(a)的电路中，输出电压)的电路中，输出电压uc与输入电压与输入电压ur间 的微分方程为 间 的微分方程为 dt tdu RCtu dt tdu RC r c c )( )( )( 。式中 传递函数为 RC s ss s sU

31、sU sG r c 1 1 1)( )( )( (a) R C ur uc i 上例实际上是包含了一个积分环节和一个惯性环节上例实际上是包含了一个积分环节和一个惯性环节 28 在图 在图(b)中，输出电流中，输出电流i(t)与输入电压与输入电压ur(t)间的微 分方程为 间的微 分方程为 R s R s RsU sI sG RC tu dt tdu R ti r r 1 ) 1( 1 )( )( )( )( )( 1 )( 其传递函数为 。式中 C R i1 i2 ur i (b) 29 在图 在图(c)中，选取直流测速发电机的输入量为 转角，输出量为电枢电压 中，选取直流测速发电机的输入量为

32、 转角，输出量为电枢电压u(t)，则其输入、输出 间的微分方程为 显然其特性相当于一个微分环节。 ，则其输入、输出 间的微分方程为 显然其特性相当于一个微分环节。 dt d KKtu )( (c) u(t) if 30 6.纯滞后环节纯滞后环节 当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时 间 当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时 间 后，才能复现输入信号，在时间后，才能复现输入信号，在时间0到到 的时间内， 输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环 节。纯滞后环节的数学表达式为 的时间内， 输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环 节。纯滞后环节的数学表达式为 式中为纯滞后时

33、间。当输入信号为下图式中为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单 位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。 所示的单 位阶跃函数时，其响应曲线如下图(b)所示。 )652( )( )( )( )642()()( s e sR sC sG trtc 传递函数为 (a)(b) 31 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间 间隔。 实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数 学模型就包含有延迟环节。 实际控制系统都含有滞后环节，只是延迟时间常数大小问 题（小忽略不计） 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间 间隔。 实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，

34、其数 学模型就包含有延迟环节。 实际控制系统都含有滞后环节，只是延迟时间常数大小问 题（小忽略不计） Coal bunker Coal Feeder belt 例：给煤机闸门改变落在皮带上 的煤流时，进入煤仓的煤量并不 马上改变，要经过一段时间的延 迟 例：给煤机闸门改变落在皮带上 的煤流时，进入煤仓的煤量并不 马上改变，要经过一段时间的延 迟 皮带速度 皮带长度 V L 32 上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分 的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和 实际元件相联系时，应注意以下几点： 上述各典型环节，是从数学模型的角度来划分 的。它们是系统传递函数的最基本的构成因子。在和 实

35、际元件相联系时，应注意以下几点： 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分 的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一 个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型 的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是 系统的典型环节是按数学模型的共性来划分 的，他与系统中使用的元件并非都是一一对应的，一 个元件的数学模型可能是若干个典型环节的数学模型 的组合。而若干个元件的数学模型的组合也可能就是 一个典型的数学模型。一个典型的数学模型。 同一装置（元件），如果选取的输入、输出 量不同，它可以成为不同的典型环节。如直流电动机 以电枢电压为输入、转速为输出时，它是一个二阶振 同一装置（元件），如果选取的输入、输出