高中数学直线中对称问题归类解析

1、姓名：日期：高一直线中对称问题归类解析 要想得到最好的就必须努力争第一知元教育赵老师整理 第 1 页 共 4 页 直线中对称问题归类解析直线中对称问题归类解析 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。 下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称 例 1 已知点 A（2，3），求关于点 P（1，1）的对称点 B（ o x， o y）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点 A（2，3）关于点 P（1，1）的对称点为 B（ o x， o y），则由中点坐标公式得 1 2 3 1 2 2 o o y x

2、解得 1 4 o o y x 所以点 A 关于点 P（1，1）的对称点为 B（4，1）。 评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称 例 2 求直线043: 1 yxl关于点 P（2，1）对称的直线 2 l的方程。 解法 1：（用点到直线距离公式） 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03byx。 解：由直线 2 l与043: 1 yxl平行，故设直线 2 l方程为03byx。 由已知可得，点 P 到两条直线距离相等，得 13 16 13 416 22 b 解得10b，或4b（舍）。则直线 2 l的方程为0103

3、yx 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点 P 到两条直线的距离相等。几 何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。 解法 2:（利用中点坐标法） 分析： 设已知直线 1 l上任意点 A （a， b） ， 对称点 P(x0， y0)即为中点坐标， 则对称点 A(ax 0 2，by 0 2) 在与已知 1 l的对称直线 2 l上，两直线平行，可设为03byx，带入即可求出 2 l 解：设 A（1，-1）在直线043: 1 yxl上，关于点 P（2，-1）的对称点 A(3，-1) 把点 A(3,-1) 带入直线03byx得 b=-10.则直线 2 l为0103 yx

4、 解法 3：（利用图像平移法） 分析：取已知直线上与对称点 P 相同的横坐标或纵坐标，求出点 A 坐标，根据 AP 之间距离可得 AA之 间距离，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线 姓名：日期：高一直线中对称问题归类解析 要想得到最好的就必须努力争第一知元教育赵老师整理 第 2 页 共 4 页 解：取直线043: 1 yxl与对称点 P(2，-1)相同的横坐标的点 A 为（2,2），则 AP 之间的距离为 3， 可知直线需要向下平移 6 个单位，带入043 yx可得直线为0103 yx 注：如果是纵坐标呢？ 3、点关于直线的对称 例 3 求点 A（2，2）关于直线0942 yx的对

5、称点坐标。 解法 1（利用中点转移法）：设点 A（2，2）关于直线0942 yx的对称点为 A（ 0 x， 0 y），则直 线 AA与已知直线垂直，故可设直线 AA方程为024cyx，把 A（2，2）坐标代入，可求得 c=-12。 直线 AA方程为062 yx。 由方程组 062 0942 yx yx 解得 AA中点 M（ 2 3 ，3）。 由中点坐标公式得 2 3 2 2 0 x ，3 2 2 0 y ，解得1 0 x，4 0 y 所求的对称点坐标为（1，4）。 评注：解题时，有时可先通过求中间量，再利用中间量求解结果。 解法 2（相关点法）分析：设 B（a，b）是 A（2，2）关于直线的对

6、称点，则直线 AB 与 l 垂直，线段 AB 中点在直线上。 解：设 B（a，b）是 A（2，2）关于直线0942 yx的对称点，根据直线 AB 与l垂直，线段 AB 中点在直线0942 yx上， 则有 09 2 2 4 2 2 2 1 2 2 2 1 ba a b 解得 所求对称点的坐标为（1，4）。 评注：中点在0942 yx上；所求点与已知点的连线与0942 yx垂直。 4、直线关于直线的对称 例 4 求直线02: 1 yxl关于直线033: 0 yxl对称的直线 2 l的方程。 解法 1（动点转移法）分析：设所求直线 1 l上任一点为 P（ 1 x， 1 y），求其对称点坐标，并将其对

7、称点坐 标代入直线 1 l方程进行求解。 解：设所求直线 1 l上任意一点 P（ 1 x， 1 y）（P 不在 2 l上）关于 2 l的对称点为 Q（ 2 x， 2 y）， 姓名：日期：高一直线中对称问题归类解析 要想得到最好的就必须努力争第一知元教育赵老师整理 第 3 页 共 4 页 则 1 03 22 3 12 12 2121 xx yy yyxx 解得 5 343 5 934 22 1 22 1 yx y yx x 又因为点 P 在 1 l上运动，则02 yx代入 P 点的02 5 343 5 934 2222 yxyx ，解得 0227 yx。即直线 2 l的方程为0227 yx。 评

8、注：直线关于直线对称实质是点关于线的对称。此题还可在直线上任取一点（非两直线交点）并求其 关于直线的对称点，则该对称点与两直线交点的连线便是所求对称直线。 解法 2（特殊点法）分析：三条直线共同点为 O（ 2 5 ， 2 9 ）,设直线 1 l上任意一点 A（2，0）而 2 l上的 对称点 A(a，b)则中点坐标为（ 2 2a ， 2 b ），中点代入 0 l，利用 k 值构造方程解出 解：公共点为 O（ 2 5 ， 2 9 ），A(a，b)，中点坐标为（ 2 2a ， 2 b ）得 3 1 2 03 22 2 3 a b ba 解得 a=-3.4，b=1.8，再利用两点法求出直线0227 y

9、x 解法 3：（角平分线法）分析：三条直线共点 O（ 2 5 ， 2 9 ），此刻 0 l为 1 l、 2 l的角平分线，利用角平分 线性质，可设 0 l上的点 P（1,6）到 1 l、 2 l的距离相等，设 2 l为 2 9 ) 2 5 (xky，用点到直线公式解决 解：共点 O（ 2 5 ， 2 9 ）， 0 l上的点 P（1,6），设 2 l为 2 9 ) 2 5 (xky可得 11 261 1 2 9 6) 2 5 1 ( 2 k k d解得 k=-7，k=1（舍）所以得0227 yx 解法 4：（到角公式法） 解：共点 O（ 2 5 ， 2 9 ），设 2 l为 2 9 ) 2 5

10、(xky即为0 2 9 2 5 kykx，02: 1 yxl的 k1=1，033: 0 yxl的 k0=3 由题意可知 1 l到 1 l与 0 l到 2 l的角相等， （到角公式： 1 l到 0 l角为，则 10 10 1 tan kk kk ） 则 k k 31 3 31 13 ，解得 k=-7 所以得 2 l：0227 yx 注：如果直线与直线对称且直线平行则利用直线关于点对称的类似方法解 姓名：日期：高一直线中对称问题归类解析 要想得到最好的就必须努力争第一知元教育赵老师整理 第 4 页 共 4 页 习题： 1、已知直线033: yxl，求 （1）点 P（4,5）关于l的对称点坐标； （2）直线l关于点 A